實對稱陣的合同實對稱矩陣作為線性代數(shù)中的重要概念，其合同關(guān)系在二次型、幾何變換等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。合同關(guān)系不僅揭示了矩陣之間的深層聯(lián)系，也為解決實際問題提供了有力工具。本文將從合同的定義出發(fā)，深入探討實對稱陣合同的性質(zhì)、判定方法及其在二次型標(biāo)準(zhǔn)化中的應(yīng)用，幫助讀者全面理解這一重要概念。一、實對稱陣合同的定義與基本性質(zhì)（一）合同的定義設(shè)A和B是n階實對稱矩陣，如果存在一個n階可逆矩陣C，使得(B=C^TAC)，則稱矩陣A與B合同。其中，(C^T)表示矩陣C的轉(zhuǎn)置矩陣。這一定義體現(xiàn)了矩陣之間通過可逆線性變換建立的等價關(guān)系，與矩陣的相似關(guān)系既有聯(lián)系又有區(qū)別：相似關(guān)系關(guān)注矩陣的特征值不變性，而合同關(guān)系則更側(cè)重于二次型的標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化。（二）合同關(guān)系的基本性質(zhì)反身性：任一實對稱矩陣A與自身合同。取可逆矩陣C為單位矩陣I，顯然有(A=I^TAI)。對稱性：若A與B合同，則B與A合同。由(B=C^TAC)可知(A=(C^{-1})^TBC^{-1})，其中(C^{-1})為C的逆矩陣。傳遞性：若A與B合同，B與C合同，則A與C合同。設(shè)(B=C_1^TAC_1)，(C=C_2^TBC_2)，則(C=(C_1C_2)^TA(C_1C_2))，且(C_1C_2)仍為可逆矩陣。秩不變性：合同變換不改變矩陣的秩。由于可逆矩陣與矩陣相乘不改變矩陣的秩，因此(r(B)=r(C^TAC)=r(A))。二、實對稱陣合同的判定方法（一）慣性定理：合同的本質(zhì)特征實對稱矩陣的合同關(guān)系由其慣性指數(shù)唯一確定，這一結(jié)論被稱為慣性定理。慣性指數(shù)包括正慣性指數(shù)（矩陣對應(yīng)的二次型標(biāo)準(zhǔn)形中正數(shù)項的個數(shù)）和負(fù)慣性指數(shù)（負(fù)數(shù)項的個數(shù)）。具體而言，兩個n階實對稱矩陣A與B合同的充分必要條件是：A與B具有相同的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)；等價表述：A與B的秩相等，且正慣性指數(shù)相等（或負(fù)慣性指數(shù)相等）。慣性定理揭示了合同關(guān)系的本質(zhì)：合同變換可以改變矩陣的元素值，但不會改變二次型中正負(fù)項的個數(shù)。例如，矩陣(A=\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix})與(B=\begin{pmatrix}2&0\0&-3\end{pmatrix})合同，因為它們的正慣性指數(shù)均為1，負(fù)慣性指數(shù)均為1，秩均為2。（二）基于特征值的判定方法實對稱矩陣必可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q（滿足(Q^T=Q^{-1})），使得(Q^TAQ=\Lambda)，其中(\Lambda)為對角矩陣，對角線元素為A的特征值。由于正交矩陣的轉(zhuǎn)置等于其逆矩陣，因此正交相似變換同時也是合同變換。這意味著實對稱矩陣與其特征值構(gòu)成的對角矩陣合同。結(jié)合慣性定理，兩個實對稱矩陣合同的充要條件可進(jìn)一步表述為：它們的特征值中正、負(fù)、零的個數(shù)對應(yīng)相等。例如，若矩陣A的特征值為3、-2、0，矩陣B的特征值為5、-1、0，則A與B合同，因為它們的正慣性指數(shù)（1）、負(fù)慣性指數(shù)（1）和零慣性指數(shù)（1）均相同。（三）特殊情形：正定矩陣的合同判定正定矩陣是一類特殊的實對稱矩陣（正慣性指數(shù)等于階數(shù)），其合同關(guān)系具有更簡潔的判定條件：n階實對稱矩陣A正定的充要條件是A與單位矩陣I合同。這是因為正定矩陣的特征值全為正數(shù)，正慣性指數(shù)為n，而單位矩陣的正慣性指數(shù)也為n，因此二者必合同。三、實對稱陣合同在二次型標(biāo)準(zhǔn)化中的應(yīng)用（一）二次型與實對稱矩陣的對應(yīng)關(guān)系二次型是關(guān)于變量的二次齊次多項式，其一般形式為(f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j)，其中(a_{ij}=a_{ji})。二次型可表示為矩陣形式(f(x)=x^TAx)，其中(x=(x_1,x_2,...,x_n)^T)，A為實對稱矩陣（稱為二次型的矩陣）。這種一一對應(yīng)關(guān)系使得二次型的問題可以轉(zhuǎn)化為實對稱矩陣的問題，而合同變換則是二次型標(biāo)準(zhǔn)化的核心工具。（二）用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二次型標(biāo)準(zhǔn)化的目標(biāo)是通過可逆線性變換(x=Cy)（其中C為可逆矩陣），將二次型(f(x)=x^TAx)轉(zhuǎn)化為只含平方項的標(biāo)準(zhǔn)形(f(y)=y^TBy)，其中(B=C^TAC)為對角矩陣。常用的合同變換方法包括：配方法：通過代數(shù)配方將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，適用于變量較少的情形。例如，對于二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2)，可配方為((x_1+2x_2)^2-x_2^2)，對應(yīng)的可逆變換為(\begin{cases}y_1=x_1+2x_2\y_2=x_2\end{cases})，標(biāo)準(zhǔn)形為(y_1^2-y_2^2)。正交變換法：利用實對稱矩陣的正交相似對角化性質(zhì)，通過正交矩陣Q將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。由于正交矩陣滿足(Q^T=Q^{-1})，因此正交變換既是相似變換也是合同變換。該方法的優(yōu)勢是保持幾何圖形的形狀不變（如二次曲線的主軸方向不變），在解析幾何中有重要應(yīng)用。初等變換法：對實對稱矩陣A同時進(jìn)行行變換和列變換（即合同變換），將其化為對角矩陣。具體操作是構(gòu)造分塊矩陣(\begin{pmatrix}A\I\end{pmatrix})，對A進(jìn)行一系列初等行變換后，立即對列進(jìn)行相同的初等變換，當(dāng)A化為對角矩陣時，I將化為所需的可逆矩陣C。（三）二次型的規(guī)范形：合同變換的終極目標(biāo)二次型的規(guī)范形是標(biāo)準(zhǔn)形的進(jìn)一步簡化，其形式為(z_1^2+z_2^2+...+z_p^2-z_{p+1}^2-...-z_{p+q}^2)，其中p為正慣性指數(shù)，q為負(fù)慣性指數(shù)，且(p+q=r(A))。根據(jù)慣性定理，任一二次型的規(guī)范形是唯一的，它完全由矩陣的慣性指數(shù)決定。例如，標(biāo)準(zhǔn)形(2y_1^2-3y_2^2)可通過變換(z_1=\sqrt{2}y_1)，(z_2=\sqrt{3}y_2)化為規(guī)范形(z_1^2-z_2^2)。四、實對稱陣合同的幾何意義與應(yīng)用（一）幾何意義：二次曲線/曲面的分類在解析幾何中，二次曲線（如橢圓、雙曲線、拋物線）和二次曲面的方程可表示為二次型。通過合同變換將二次型化為規(guī)范形，可以簡化曲線或曲面的方程，從而實現(xiàn)分類。例如：平面二次曲線(ax^2+bxy+cy^2=1)的類型由二次型矩陣(\begin{pmatrix}a&b/2\b/2&c\end{pmatrix})的慣性指數(shù)決定：正慣性指數(shù)為2（正定矩陣）時，曲線為橢圓；正慣性指數(shù)為1、負(fù)慣性指數(shù)為1（不定矩陣）時，曲線為雙曲線；秩為1時，曲線為兩條平行直線。（二）物理應(yīng)用：能量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化在物理學(xué)中，許多系統(tǒng)的能量函數(shù)可表示為二次型（如彈簧系統(tǒng)的勢能、量子力學(xué)中的哈密頓量）。通過合同變換將能量函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，可以分離變量、簡化系統(tǒng)的運動方程。例如，在多自由度振動系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的合同變換可將耦合振動轉(zhuǎn)化為獨立的簡諧振動。（三）優(yōu)化問題：二次函數(shù)的極值判定實值二次函數(shù)(f(x)=x^TAx+b^Tx+c)的極值問題可通過矩陣A的合同性質(zhì)判定。當(dāng)A正定時，函數(shù)有唯一極小值；當(dāng)A負(fù)定時，函數(shù)有唯一極大值；當(dāng)A不定時，函數(shù)無極值。這一結(jié)論在機器學(xué)習(xí)（如線性回歸的損失函數(shù)）、經(jīng)濟學(xué)（如效用函數(shù)最大化）等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。五、合同與相似、等價的關(guān)系辨析（一）三者的聯(lián)系矩陣的等價、相似、合同均為等價關(guān)系（滿足反身性、對稱性、傳遞性），且三者的核心區(qū)別在于變換矩陣的要求不同：等價：存在可逆矩陣P、Q，使得(B=PAQ)，關(guān)注矩陣的秩不變性；相似：存在可逆矩陣P，使得(B=P^{-1}AP)，關(guān)注特征值不變性；合同：存在可逆矩陣P，使得(B=P^TAP)，關(guān)注慣性指數(shù)不變性。對于實對稱矩陣而言，正交相似變換既是相似變換也是合同變換（因(P^T=P^{-1})），因此實對稱矩陣的相似矩陣必合同，但合同矩陣未必相似（相似要求特征值相同，合同僅要求慣性指數(shù)相同）。（二）三者的區(qū)別等價是最寬泛的關(guān)系：任意兩個同型矩陣若秩相等則等價；而相似和合同僅適用于方陣，且要求更高的條件。相似與合同的交叉情形：正交相似矩陣必合同，但合同矩陣未必相似。例如，(A=\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix})與(B=\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix})合同（正慣性指數(shù)均為2），但不相似（特征值不同）。實對稱矩陣的相似與合同：實對稱矩陣相似必合同（因相似矩陣特征值相同，慣性指數(shù)相同），但合同未必相似（如上述A與B的例子）。六、典型例題與解題技巧（一）合同矩陣的判定例1：判斷矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix})與(B=\begin{pmatrix}1&0\0&-3\end{pmatrix})是否合同。解：首先計算A的特征值。由特征方程(|\lambdaI-A|=(\lambda-3)(\lambda+1)=0)，得特征值3、-1，正慣性指數(shù)1，負(fù)慣性指數(shù)1。B的特征值為1、-3，正慣性指數(shù)1，負(fù)慣性指數(shù)1。由于慣性指數(shù)相同，故A與B合同。（二）二次型的規(guī)范形求解例2：求二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3)的規(guī)范形。解：二次型的矩陣為(A=\begin{pmatrix}1&2&2\2&2&2\2&2&3\end{pmatrix})。通過配方法或特征值計算，可得A的特征值為1、1、6（正慣性指數(shù)3，負(fù)慣性指數(shù)0），故規(guī)范形為(z_1^2+z_2^2+z_3^2)。七、總結(jié)與拓展實對稱陣的合同關(guān)系是線性代數(shù)中的核心概念，其