北師大版八年級(jí)上冊(cè)

第七章

證明回顧與思考學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解命題的概念與命題的結(jié)構(gòu).2.進(jìn)一步熟練掌握平行線的性質(zhì)定理與判定定理、三角形內(nèi)角和定理及三角形外角定理等推論.3.體會(huì)證明的必要性，發(fā)展推理能力.4.掌握證明的過程與書寫格式.知識(shí)構(gòu)架證明命題分類結(jié)構(gòu)條件結(jié)論真命題假命題定理推論公理反例證明應(yīng)用平行線判定性質(zhì)考點(diǎn)一定義與命題定義與命題定義：對(duì)名稱和術(shù)語的含義加以描述，作出明確規(guī)定命題定義：_____一件事情的句子組成：由_____和_____兩部分組成形式：“如果……那么……”的形式分類____________判斷條件結(jié)論真命題假命題定理與證明公理：公認(rèn)的_______稱為公理定理：經(jīng)過_____的真命題稱為定理證明概念：________的過程稱為證明真命題的證明形式：因?yàn)椤浴罁?jù)：定義、基本事實(shí)、定理、推論等假命題的證明：______真命題證明演繹推理舉反例符合命題條件，但不符合命題結(jié)論的例子例1下列語句不是命題的是（）A．三角形的內(nèi)角和是180° B．角是幾何圖形C．對(duì)頂角相等嗎 D．兩個(gè)銳角的和是一個(gè)直角C疑問句不是命題【歸納】不是命題的形式：疑問句；感嘆句；祈使句.例2對(duì)于命題“若a2＞b2，則a＞b”，下面四組關(guān)于a，b的值中，能說明這個(gè)命題是假命題的是（）A.a=3，b=2B.a=-3，b=2C.a=3，b=-1D.a=-1，b=3舉反例a2＞b2，a≤ba＞ba＞ba2＜b2B考點(diǎn)二平行線的判定與性質(zhì)平行線的判定定理平行線的性質(zhì)定理兩直線平行，同位角相等∵a∥b，∴∠1=∠2兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等∵a∥b，∴∠3=∠2兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)∵a∥b，∴∠2+∠4=180°同位角相等，兩直線平行∵∠1=∠2，∴a∥b內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行∵∠3=∠2，∴a∥b同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行∵∠2+∠4=180°，∴a∥b互逆例3如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的條件是（）DA.∠3=∠CB.∠1+∠4=180°C.∠1=∠AFED.∠1+∠2=180°同位角相等，DE∥AC同旁內(nèi)角互補(bǔ)，DE∥AC內(nèi)錯(cuò)角相等，DE∥AC同旁內(nèi)角互補(bǔ)，EF∥BC例4如圖，AB∥CD，∠C=110°，∠B=120°，則∠BEC等于（）A．110° B．120° C．130° D．150°C分析：過點(diǎn)E作EF∥AB12FEF∥AB∥CD∠B+∠1=180°，∠C+∠2=180°∠B+∠BEC+∠C=360°例5如圖，直線AB∥ED.求證：∠B+∠D=∠BCD.證法一：如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB

.

∴∠B

=∠

BCF

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥ED（已知）,

∴ED∥CF

（平行于同一直線的兩條直線互相平行）,

∴∠D

=∠

FCD

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）,

∴∠BCF

+∠

FCD

=∠

B

+∠

D

（等式性質(zhì)）,

即∠BCD

=∠

B

+∠

D.

F例5如圖，直線AB∥ED.求證：∠B+∠D=∠BCD.證法二：如圖，延長(zhǎng)BC交DE于點(diǎn)G.

∵AB∥DE（已知）,

∴∠B

=∠

CGD

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

∵∠BCD是△CDG的一個(gè)外角（外角定義）,

∴∠BCD

=∠

CGD

+∠

D

（三角形的外角定理1）,

∴∠BCD

=∠

B

+∠

D（等量代換）G隨堂演練1.如圖是一副三角尺拼成的圖案，則∠AEB的度數(shù)為（）A．105°

B．90°

C．75°

D．60°C2．下列命題中是真命題的是（）A．同位角相等，兩直線平行B．鈍角三角形的兩個(gè)銳角互余C．若實(shí)數(shù)a，b滿足a2＝b2，則a＝bD．若實(shí)數(shù)a，b滿足a<0，b>0，則ab>0A3．下列命題是假命題的是（）A.正比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點(diǎn)B.直角三角形的兩銳角互余C.x軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為0D.兩直線平行，同位角相等C4.在一次游戲活動(dòng)中，鐘老師將三個(gè)顏色不同的小球分發(fā)給小雅、小培和小粹三個(gè)同學(xué)，其中有一個(gè)小球顏色是紅色.小雅說：“紅色球在我手上”；小培說：“紅色球不在我手上”；小粹說：“紅色球肯定不在小雅手上”.三個(gè)同學(xué)只有一個(gè)說對(duì)了，則紅色球在______的手上。小培5.如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠A″EF=105°，則∠CFE=__________°.1556.如圖，已知DC∥AB，E，F(xiàn)分別在DC，AB的延長(zhǎng)線上，∠DCB=∠DAB，∠AGB=30°，∠AFE=60°，AE平分∠DAB.（1）AD是否平行于BC？并說明理由；（2）試說明：AE⊥EF.

知識(shí)技能1.已知：如圖，點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠AOD，且OC⊥OE.求證：∠DOE=∠BOE.【選自教材P197復(fù)習(xí)題

第1題】證明：OC平分∠AOD，∴∠AOC=∠COD.∵OC⊥OE∴∠COE=90°.∴∠COD+∠DOE=90°，∠AOC+∠BOE=180°－∠COE=90°.∴∠DOE=∠BOE.2.將正方形的四個(gè)頂點(diǎn)用線段連接，什么樣的連法線段之和最短？研究發(fā)現(xiàn)，并非對(duì)角線最短，而是如圖所示的連法線段之和最短（即用線段AE，DE，EF，BF，CF把四個(gè)頂點(diǎn)連接起來）.已知圖中∠DAE=∠ADE=30°，∠AEF=∠BFE=120°，請(qǐng)證明AB∥EF.【選自教材P197復(fù)習(xí)題

第2題】證明：∵∠DAB=90°（正方形的定義），∠DAE=30°（已知），∴∠EAB=90°－30°=60°（等式的性質(zhì)）.又∵∠AEF=120°（已知），∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°（等式的性質(zhì)）.∴AB∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.3.已知：如圖，AB//CD，PM和QN分別是∠BPE和∠DQE內(nèi)的兩條射線，且∠BPM=∠DON.

求證：PM//QN.【選自教材P198復(fù)習(xí)題

第3題】證明：

∵AB∥CD，∴∠BPE=∠DQE.∵∠BPM=∠DQN，∴∠BPE－∠BPM=∠DQE－∠DQN，即∠MPE=∠NQE.∴PM//QN.【選自教材P198復(fù)習(xí)題第4題】4.小華將n=0，1，2分別代入代數(shù)式n4－6n3+11n2-6n，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這個(gè)代數(shù)式的值都是0.于是他猜想：對(duì)于所有的自然數(shù)，代數(shù)式n4－6n3+11n2-6n的值都是0.你認(rèn)為小華的猜想正確嗎？為什么？數(shù)學(xué)理解解：不正確.理由：當(dāng)n=4時(shí)，44-6×43+11×42-6×4=24≠0，所以小華的猜想不正確.

【選自教材P198復(fù)習(xí)題

第5題】

6.如圖，直線a，b被直線c所截.（1）如果a∥b，那么圖中有哪些相等的角？（2）寫出能夠證明a∥b的條件（能寫幾個(gè)就寫幾個(gè)）.【選自教材P198復(fù)習(xí)題

第6題】解：（1）∠1=∠5，∠4=∠8，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠6，∠3=∠5，∠6=∠8，∠5=∠7，∠2=∠4，∠1=∠3，∠1=∠7，∠2=∠8.6.如圖，直線a，b被直線c所截.（1）如果a∥b，那么圖中有哪些相等的角？（2）寫出能夠證明a∥b的條件（能寫幾個(gè)就寫幾個(gè)）.【選自教材P198復(fù)習(xí)題

第6題】解：（2）∠1=∠5，∠4=∠8，∠3=∠5，∠4=∠6，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4+∠5=180°，∠3+∠6=180°，∠1=∠7，∠2=∠8，∠1+∠6=180°，∠3+∠8=180°，∠4+∠7=180°，∠2+∠5=180°.7.如圖，直線а，b被直線OA，OB所截.已知∠1=120°，∠2=60°，∠3=70°，你還能求出哪些角的度數(shù)？【選自教材P198復(fù)習(xí)題

第7題】解：如圖.∠HDE=120°，∠EDQ=60°，∠ODH=60°，∠MHF=70°，∠FHD=110°，∠OHM=110°，∠FEB=120°，∠BEP=60°，∠DEP=120°，∠NFA=70°，∠NFH=110°，∠AFE=110°，∠EFO=70°，∠O=50°.HMDQFNEP8.有三個(gè)紙箱，一個(gè)箱內(nèi)裝有橘子，一個(gè)箱內(nèi)裝有蘋果，一個(gè)箱內(nèi)混裝了一些橘子和蘋果.三個(gè)箱子外面分別貼有“橘子”“蘋果”“混合水果”的標(biāo)簽，可是工作人員不慎將所有標(biāo)簽都貼錯(cuò)了.請(qǐng)你只檢查一個(gè)箱子即確定各箱子內(nèi)的水果品種.【選自教材P199復(fù)習(xí)題

第8題】問題解決解：檢查貼有“混合水果”的標(biāo)簽，如果里面為蘋果，那么貼有“蘋果”的標(biāo)簽的箱子里面為橘子，貼有“橘子”標(biāo)簽的箱子里面為混合水果；如果里面為橘子，那么貼有“蘋果”標(biāo)簽的箱子里面為混合水果，貼有“橘子”標(biāo)簽的箱子里面為蘋果.（答案不唯一）9.小明、小亮、小穎三人參加一項(xiàng)比賽，比賽包括A，B，C三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目三人都要排出名次，第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，不存在并列情況.經(jīng)過比賽，三人的部分得分見下表，已知小亮僅在兩個(gè)項(xiàng)目中得分相同，并且三人的總分各不相同，請(qǐng)你判斷此次比賽誰是冠軍.【選自教材P199復(fù)習(xí)題

第9題】參賽者比賽項(xiàng)目總分ABC小明2小亮3小穎1解：當(dāng)小亮B項(xiàng)目的得分為1時(shí)，C項(xiàng)目的得分為3，那么小明A，B，C三項(xiàng)得分為1，2，2或2，2，2，小穎A，B，C三項(xiàng)得分為2，3，1或1，3，1，此時(shí)小亮是冠軍，當(dāng)小亮B項(xiàng)目的得分為3時(shí)，C項(xiàng)目的得分為2，則小明A，B，C三項(xiàng)得分為2，2，3或1，2，3，小穎A，B，C三項(xiàng)得分為1，1，1或2，1，1，此時(shí)小亮是冠軍.綜上，這次比賽小亮是冠軍.10.如圖，MN，EF分別表示兩面互相平行的鏡面，一束光線AB照射到鏡面MN上，反射光線為BC，此時(shí)，∠1=∠2