第1講復(fù)數(shù)(重點題型方法與技巧)目錄類型一：復(fù)數(shù)的基本概念類型二：復(fù)數(shù)相等的充要條件類型三：求復(fù)數(shù)的實部與虛部類型四：復(fù)數(shù)的分類類型五：已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)類型六：復(fù)數(shù)的模及由復(fù)數(shù)的模求參數(shù)類型七：復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義類型八：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算類型九：共軛復(fù)數(shù)類型十：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求參數(shù)類型十一：復(fù)數(shù)與三角函數(shù)，集合的綜合類型十二：新定義題類型一：復(fù)數(shù)的基本概念典型例題例題1．下列命題中正確的是（

）．A．；B．；C．若，，則的充要條件是；D．若，則．【答案】A【詳解】，故A

正確；，故B錯誤；若x，，若有；若有；故是的充分不必要條件，C錯誤；若，取則，故D錯，故選：A例題2．已知復(fù)數(shù)，則______．【答案】5【詳解】由模的定義，.故答案為：5同類題型演練1．已知（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程的一個根，若，則（

）A．0 B． C．2 D．【答案】A【詳解】由題知，，整理得所以，故選：A2．若復(fù)數(shù)，則的虛部為______．【答案】5【詳解】復(fù)數(shù)的實部為2，虛部為5，故答案為：5類型二：復(fù)數(shù)相等的充要條件典型例題例題1．已知（），則的值為（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【詳解】，故，所以，.故選：C例題2．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，因為，則，所以，，解得，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.例題3．已知其中，則適合等式的____，_____.【答案】

##2.5

4【詳解】由題設(shè)，可得.故答案為：，4.同類題型演練1．設(shè)i為虛數(shù)單位，（a，），且，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】由題意，，故，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限故選：D2．已知，則復(fù)數(shù)________．【答案】##【詳解】，可得：．故答案為：3．若，，則______．【答案】【詳解】依題意，，而，則有，解得，所以.故答案為：類型三：求復(fù)數(shù)的實部與虛部典型例題例題1．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B．10 C．100 D．或10【答案】A【詳解】為純虛數(shù)，同時，故選：A例題2．若是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的實部與虛部的和是______________．【答案】【詳解】解：因為z是純虛數(shù)，所以,解得，從而復(fù)數(shù)z的實部與虛部分別是0和，其和是．故答案為：-2.例題3．已知復(fù)數(shù)的實部大于虛部，則的取值范圍為________．【答案】【詳解】由已知可得，即，解得或．因此，的取值范圍是．故答案為：．同類題型演練1．的實部與虛部互為相反數(shù)，則的取值不可能（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得：,，解得：或,,或或.故選：B.2．若復(fù)數(shù)，則的虛部為______．【答案】5【詳解】復(fù)數(shù)的實部為2，虛部為5，故答案為：53．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實部為___________.【答案】##【詳解】解：所以復(fù)數(shù)的實部為；故答案為：類型四：復(fù)數(shù)的分類典型例題例題1．“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（

）A．必要非充分條件 B．充分非必要條件C．充要條件 D．既非充分條件也非必要條件【答案】A【詳解】數(shù)為純虛數(shù)應(yīng)滿足：.所以“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的必要非充分條件.故選：A.例題2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（

）A．-1 B．1 C．0或1 D．-1或1【答案】B【詳解】由，解得，故選：B.例題3．當(dāng)實數(shù)取什么值時，復(fù)數(shù)分別滿足下列條件？（1）復(fù)數(shù)實數(shù)；（2）復(fù)數(shù)純虛數(shù)；【答案】（1）或；（2）；【詳解】解：由題可知，復(fù)數(shù)，（1）當(dāng)為實數(shù)時，則虛部為0，由，解得：或；（2）當(dāng)純虛數(shù)時，實部為0且虛部不為0，由，解得：；例題4．當(dāng)為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)（1）是虛數(shù)；（2）是純虛數(shù).【答案】（1）m≠5且m≠－3；（2）m＝3或m＝－2【詳解】（1）當(dāng)即m≠5且m≠－3時，z是虛數(shù).（2）當(dāng)即m＝3或m＝－2時，z是純虛數(shù).同類題型演練1．已知復(fù)數(shù)，，其中R，問m為何值時．【答案】.【詳解】∵復(fù)數(shù)，，又因為，則,解得，故當(dāng)時，有．2．已知：復(fù)數(shù)，其中x∈R.求證：復(fù)數(shù)不可能是純虛數(shù).【答案】證明見解析.【詳解】假設(shè)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則有,由得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4.當(dāng)x＝－1時，log2(x－3)無意義；當(dāng)x＝4時，log2(x－3)＝0，這與log2(x－3)0矛盾，故假設(shè)不成立，所以復(fù)數(shù)z不可能是純虛數(shù).3．實數(shù)m分別為何值時，復(fù)數(shù)是（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).【答案】（1）m=0或m=3；（2）且；（3）m=2.【詳解】復(fù)數(shù).（1）要使z為實數(shù)，只需，解得：m=0或m=3；（2）要使z為虛數(shù)，只需，解得：且；（3）要使z為純虛數(shù)，只需，解得：m=2.類型五：已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)典型例題例題1．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是（

）A． B．且C．且 D．且【答案】D【詳解】要使復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，若，則；若，則，所以且．故選：D．例題2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B．10 C．100 D．或10【答案】A【詳解】為純虛數(shù)，同時，故選：A例題3．已知復(fù)數(shù)，試求實數(shù)的值或取值范圍，使得分別為：(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).【答案】(1)；(2)；(3)不存在實數(shù)使得為純虛數(shù).【詳解】(1)當(dāng)為實數(shù)時，有得所以，即當(dāng)時，為實數(shù).(2)當(dāng)為虛數(shù)時，有且，所以且且，即當(dāng)時，為虛數(shù).(3)當(dāng)為純虛數(shù)時，有所以故不存在實數(shù)使得為純虛數(shù).同類題型演練1．已知純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．1或3 D．0【答案】B【詳解】因為為純虛數(shù)，故，則，解得.故選：B2．已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實數(shù)______．【答案】1【詳解】解：因為復(fù)數(shù)，且是純虛數(shù)，所以，解得，故答案為：13．已知復(fù)數(shù)．當(dāng)實數(shù)取什么值時，復(fù)數(shù)是：(1)虛數(shù)；(2)純虛數(shù)．【答案】(1)且(2)【詳解】（1）∵，∴，．當(dāng)復(fù)數(shù)為虛數(shù)時，，且，故當(dāng)實數(shù)且時，復(fù)數(shù)為虛數(shù)．（2）當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時，，解得，故當(dāng)時，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)．類型六：復(fù)數(shù)的模及由復(fù)數(shù)的模求參數(shù)典型例題例題1．已知，復(fù)數(shù)，，且為純虛數(shù)，，則（

）A．0 B．0或-2 C．1 D．1或-2【答案】B【詳解】因為，所以，因為為純虛數(shù)，，所以，解得或，所以或0.故選：B.例題2．復(fù)數(shù)的模為，則實數(shù)________【答案】或.【詳解】，，解得或.故答案為：或.例題3．設(shè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為___________.【答案】【詳解】由題設(shè)，，解得，所以，故的模為.故答案為：例題4．已知復(fù)數(shù)滿足，且，則______．【答案】3【詳解】因為，，所以，得，因為，所以，故答案為：3同類題型演練1．已知是實數(shù)，方程的一個實根是（為虛數(shù)單位），則的值為_____________．【答案】【詳解】因為是方程的一個實根，則，即，所以，解得，所以．故答案為：2．已知復(fù)數(shù)，則________．【答案】【詳解】故答案為：3．若m為實數(shù)，復(fù)數(shù)，則|z|＝___．【答案】0【詳解】解：因為復(fù)數(shù)不能比較大小，所以為實數(shù)，可得，解得，所以，則．故答案為：0.類型七：復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義典型例題例題1．在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意，，∵，∴對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1－2i.故選：A.例題2．已知復(fù)數(shù)，，，它們在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為，若，()，則的值是__________．【答案】1【詳解】由題設(shè)得三點的坐標(biāo)分別為，將三向量的坐標(biāo)代入得，因此，即，所以，故答案為1.例題3．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點是一個正方形的3個頂點，求這個正方形的第4個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對應(yīng)點設(shè)正方形的第四個頂點對應(yīng)的坐標(biāo)是,則其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為,則,又故這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是同類題型演練1．設(shè)z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，則z1－z2＝__________【答案】－1＋10i【詳解】∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，即，∴即，∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.故答案為：－1＋10i.2．已知復(fù)數(shù)，，若所對應(yīng)的點在實軸上，則__________．【答案】【詳解】因為，，所以因為所對應(yīng)的點在實軸上，所以，即故答案為：3．化簡下列復(fù)數(shù)（1）（2）【答案】（1）；（2）.【詳解】（1），，.（2）.類型八：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算典型例題例題1．復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由可得，所以．故選：A例題2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，故選：A例題3．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），其所對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】解：，又其所對應(yīng)的點在第二象限，所以，即，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例題4．______．（其中i是虛數(shù)單位）【答案】【詳解】解：.故答案為：例題5．若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為__________.【答案】1【詳解】，因為純虛數(shù)，所以，且，解得，得，所以虛部為1.故答案為：1.同類題型演練1．復(fù)數(shù).若，則（

）的值與a、b的值無關(guān).A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，所以，又，所以，，所以，因為，所以，所以，所以，所以，即的值與a、b的值無關(guān).故選：A.2．若，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【詳解】設(shè)，則∵∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在圓上圓的圓心，半徑，則的最大值為，其中O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點故選:D.3．若（，為虛數(shù)單位），則______．【答案】73【詳解】因為，所以，解得，則.故答案為：734．設(shè)，為虛數(shù)單位.若，則___________.【答案】##-0.5【詳解】，因為，所以，所以，所以，故答案為：.5．已知，且（i是虛數(shù)單位），求a，b的值．【答案】或.【詳解】因為，且，所以，所以，解得：或.類型九：共軛復(fù)數(shù)典型例題例題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）．A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限．【答案】D【詳解】解：，所以其共軛復(fù)數(shù)為，它在復(fù)平面所對應(yīng)的點坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.例題2．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意知.故選：A.例題3．已知復(fù)數(shù)滿足，為的共軛復(fù)數(shù)，則的最大值為（

）A．1 B．4 C．9 D．16【答案】C【詳解】設(shè)，則，由，得，即，所以所對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心為半徑的圓，因為為z的共軛復(fù)數(shù)，所以即，而可看作該圓上的點到原點的距離的平方，所以.故選：C.例題4．如果復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，那么______．【答案】4【詳解】因為，又因為其實部與虛部互為相反數(shù)，即，解得故，所以故答案為:同類題型演練1．是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】因為，所以，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第一象限，故選：A2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．4 B． C．16 D．17【答案】D【詳解】因為，所以，所以，所以，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以.故選：D.3．已知，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】由題設(shè)，，，∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為在第二象限.故選：.4．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，，，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A類型十：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求參數(shù)典型例題例題1．若，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以，所以，解得：，因為，所以，解得：或，則實數(shù)的取值范圍是.故選：B.例題2．已知，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】由可得，即，故，故，故選：A例題3．已知，為虛數(shù)單位.（1）若，求；（2）若，求實數(shù)，的值.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）已知，，，.（2），，，解得.同類題型演練1．已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【詳解】由，可得又，則，則故選：B2．實數(shù)滿足，則_____．【答案】1【詳解】由得：，即，故，故答案為：13．已知，復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），若，則___________，___________.【答案】

【詳解】，因為，故，得，故.故答案為：；.類型十一：復(fù)數(shù)與三角函數(shù)，集合的綜合典型例題例題1．已知集合，則下列復(fù)數(shù)：①；②；③；④，其中屬于集合M的為（

）．A．①②； B．①③； C．①④； D．①③④．【答案】C【詳解】①；②；③④故選：C例題2．化簡（

）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】故選：A.例題3．歐拉公式（為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）是瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，是英國科學(xué)期刊《物理世界》評選出的十大最偉大的公式之一．根據(jù)歐拉公式可知，復(fù)數(shù)虛部為______．【答案】##【詳解】由公式得，所以復(fù)數(shù)虛部為，故答案為：例題4．復(fù)數(shù)是方程的一個根，則______．【答案】【詳解】解：由題意可知，故答案為：同類題型演練1．歐拉公式建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，現(xiàn)有以下兩個結(jié)論：①；②．下列說法正確的是（

）A．①②均正確 B．①②均錯誤 C．①對②錯 D．①錯②對【答案】A【詳解】①②則①②均正確故選：A2．已知復(fù)數(shù)（）的實部與虛部互為相反數(shù)，則的取值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，,或·故選：B．3．已知為虛數(shù)單位，，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，.故選：D.4．計算下列各式，并給出幾何解釋．(1)；(2)．【答案】(1)，幾何解釋見解析(2)，幾何解釋見解析【詳解】（1），幾何解釋：設(shè)，，作與、對應(yīng)的向量、，然后把繞原點順時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其?？s短為原來的，得到一個模為、輻角為的，則即為所對應(yīng)的向量．（2），因為，同理：，所以原式，幾何解釋：設(shè)，，作與、對應(yīng)的向量、，然后把繞原點順時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其?？s短為原來的，得到一個長度為、輻角為的，則即為所對應(yīng)的向量．類型十二：新定義題1．人們對數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動著數(shù)域