2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)性技術(shù)試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.某學(xué)校為了解學(xué)生每周體育鍛煉時長，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖.則這100名學(xué)生每周鍛煉時長的中位數(shù)約為（）A.6.5小時B.7.0小時C.7.5小時D.8.0小時解答過程：由頻率分布直方圖可知，組距為2小時，各區(qū)間頻率依次為：[4,6)：0.1×2=0.2[6,8)：0.2×2=0.4[8,10)：0.15×2=0.3[10,12]：0.05×2=0.1中位數(shù)需滿足前半部分頻率之和為0.5.前兩組頻率之和為0.2+0.4=0.6>0.5，故中位數(shù)在[6,8)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為x，則0.2+(x-6)×0.2=0.5，解得x=7.5.答案：C2.某工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布N(50,4)，現(xiàn)從一批零件中隨機(jī)抽取10個，測得尺寸如下（單位：mm）：48,51,50,49,52,50,47,53,50,49.則該樣本的方差為（）A.2.8B.3.0C.3.2D.3.6解答過程：樣本均值$\bar{x}=\frac{48+51+50+49+52+50+47+53+50+49}{10}=50$.方差$s^2=\frac{1}{10}[(48-50)^2+(51-50)^2+...+(49-50)^2]=\frac{1}{10}[4+1+0+1+4+0+9+9+0+1]=\frac{30}{10}=3$.答案：B3.為研究某藥物對高血壓患者的療效，隨機(jī)選取100名患者，其中50人服用藥物（實(shí)驗(yàn)組），50人服用安慰劑（對照組），結(jié)果如下表：療效有效無效實(shí)驗(yàn)組3515對照組2030則$\chi^2$統(tǒng)計(jì)量的值為（）A.6.25B.7.29C.8.33D.9.67解答過程：根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算期望頻數(shù)：實(shí)驗(yàn)組有效：$\frac{55×50}{100}=27.5$，無效：$\frac{45×50}{100}=22.5$對照組有效：$\frac{55×50}{100}=27.5$，無效：$\frac{45×50}{100}=22.5$$\chi^2=\frac{(35-27.5)^2}{27.5}+\frac{(15-22.5)^2}{22.5}+\frac{(20-27.5)^2}{27.5}+\frac{(30-22.5)^2}{22.5}\approx8.33$.答案：C4.已知一組數(shù)據(jù)$x_1,x_2,...,x_n$的方差為$s^2$，若將每個數(shù)據(jù)乘以2后加3，則新數(shù)據(jù)的方差為（）A.$2s^2+3$B.$4s^2$C.$2s^2$D.$4s^2+3$解答過程：設(shè)原數(shù)據(jù)均值為$\bar{x}$，新數(shù)據(jù)$y_i=2x_i+3$，則新均值$\bar{y}=2\bar{x}+3$.新方差$s_y^2=\frac{1}{n}\sum(y_i-\bar{y})^2=\frac{1}{n}\sum(2x_i+3-2\bar{x}-3)^2=\frac{1}{n}\sum[2(x_i-\bar{x})]^2=4×\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2=4s^2$.答案：B5.在回歸分析中，若變量x與y的樣本相關(guān)系數(shù)$r=-0.95$，則下列說法正確的是（）A.x與y正相關(guān)，相關(guān)性較弱B.x與y負(fù)相關(guān)，相關(guān)性較弱C.x與y正相關(guān)，相關(guān)性較強(qiáng)D.x與y負(fù)相關(guān)，相關(guān)性較強(qiáng)解答過程：相關(guān)系數(shù)$r$的取值范圍為$[-1,1]$，$|r|$越接近1，相關(guān)性越強(qiáng).$r=-0.95$表明x與y負(fù)相關(guān)，且$|r|$接近1，相關(guān)性較強(qiáng).答案：D6.某射手射擊命中率為0.8，現(xiàn)獨(dú)立射擊5次，記命中次數(shù)為X，則$P(X=3)$的值為（）A.$C_5^3×0.8^3×0.2^2$B.$C_5^3×0.8^2×0.2^3$C.$0.8^3×0.2^2$D.$0.8^2×0.2^3$解答過程：X服從二項(xiàng)分布$B(5,0.8)$，故$P(X=k)=C_5^k×0.8^k×0.2^{5-k}$.當(dāng)k=3時，$P(X=3)=C_5^3×0.8^3×0.2^2$.答案：A7.某地區(qū)高考數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(100,100)，現(xiàn)隨機(jī)抽取1名考生，其成績在[80,120]內(nèi)的概率為（）（參考數(shù)據(jù)：$P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=0.6827$，$P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)=0.9545$）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.8413解答過程：由X~N(100,100)可知，$\mu=100$，$\sigma=10$.[80,120]即$[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]$，故概率為0.9545.答案：B8.用系統(tǒng)抽樣法從1000名學(xué)生中抽取50名做問卷調(diào)查，將學(xué)生編號為1~1000，按編號順序平均分成50組（1~20號，21~40號，…，981~1000號），若第3組抽出的號碼為24，則第8組抽出的號碼為（）A.64B.84C.104D.124解答過程：系統(tǒng)抽樣的間隔為$\frac{1000}{50}=20$.設(shè)第1組抽出號碼為a，則第3組號碼為$a+2×20=24$，解得$a=4$.第8組號碼為$4+7×20=144$？（注：原選項(xiàng)無144，可能題目組距為20，第3組為21~40，抽出號碼為24=21+3，故第8組為141~160，抽出號碼為141+3=144.若題目選項(xiàng)設(shè)置有誤，推測正確答案應(yīng)為144，但根據(jù)現(xiàn)有選項(xiàng)，可能題目中“第3組抽出號碼為24”應(yīng)為“第3組抽出號碼為44”，則第8組為44+5×20=144，仍無匹配選項(xiàng).此處按原題數(shù)據(jù)，可能選項(xiàng)C應(yīng)為144，暫選C.）答案：C9.以下關(guān)于統(tǒng)計(jì)圖表的說法錯誤的是（）A.頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和為1B.莖葉圖可保留原始數(shù)據(jù)，便于記錄和比較C.扇形圖可直觀展示各部分占總體的比例D.折線圖適用于展示數(shù)據(jù)的分布特征解答過程：折線圖主要用于展示數(shù)據(jù)的變化趨勢，而非分布特征.分布特征通常用直方圖或箱線圖展示.答案：D10.已知樣本數(shù)據(jù)$x_1,x_2,...,x_5$的均值為5，方差為4，加入一個新數(shù)據(jù)5后，新樣本的方差為（）A.$\frac{10}{3}$B.$\frac{16}{5}$C.3D.4解答過程：原樣本總和為$5×5=25$，加入新數(shù)據(jù)5后，總和為30，新均值$\bar{x}=6$.原樣本方差$s^2=\frac{1}{5}\sum(x_i-5)^2=4$，故$\sum(x_i-5)^2=20$.新方差$s'^2=\frac{1}{6}[\sum(x_i-5)^2+(5-6)^2]=\frac{1}{6}(20+1)=\frac{21}{6}=3.5$？（注：原計(jì)算有誤，新均值應(yīng)為$\frac{25+5}{6}=5$，故$s'^2=\frac{1}{6}[20+(5-5)^2]=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\approx3.33$.答案：A）11.為比較甲、乙兩種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定性，分別抽取10畝田塊測產(chǎn)，得到方差$s_甲^2=20$，$s_乙^2=30$，則（）A.甲產(chǎn)量更穩(wěn)定B.乙產(chǎn)量更穩(wěn)定C.兩者穩(wěn)定性相同D.無法比較解答過程：方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.因$s_甲^2<s_乙^2$，故甲產(chǎn)量更穩(wěn)定.答案：A12.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若$\chi^2>6.635$，則有（）的把握認(rèn)為兩個變量相關(guān).（參考數(shù)據(jù)：$P(\chi^2\geq6.635)=0.01$）A.90%B.95%C.99%D.99.9%解答過程：$\chi^2>6.635$對應(yīng)的顯著性水平為0.01，故有99%的把握認(rèn)為兩個變量相關(guān).答案：C二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.某班50名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如下（單位：分）：6|02587|1346798|023568899|01245710|0則該班成績的眾數(shù)為________.解答過程：眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).由莖葉圖可知，88出現(xiàn)2次，其他數(shù)均出現(xiàn)1次，故眾數(shù)為88.答案：8814.已知隨機(jī)變量X的分布列為：X123P0.20.50.3則$E(X)=$________.解答過程：期望$E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=0.2+1+0.9=2.1$.答案：2.115.從5件正品和2件次品中隨機(jī)抽取2件，恰有1件次品的概率為________.解答過程：總基本事件數(shù)$C_7^2=21$，恰有1件次品的事件數(shù)$C_5^1×C_2^1=10$，故概率$P=\frac{10}{21}$.答案：$\frac{10}{21}$16.某線性回歸方程為$\hat{y}=1.5x+2$，若樣本點(diǎn)$(x=4,y=8)$在回歸直線上，則殘差為________.解答過程：殘差$e=y-\hat{y}=8-(1.5×4+2)=8-8=0$.答案：0三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）某中學(xué)為了解學(xué)生視力情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行視力檢測，結(jié)果如下表：視力[4.0,4.3)[4.3,4.6)[4.6,4.9)[4.9,5.2]人數(shù)5205025（1）求這100名學(xué)生視力的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值代替）；（2）估計(jì)該校1000名學(xué)生中視力在[4.6,5.2]內(nèi)的人數(shù).解答過程：（1）區(qū)間中點(diǎn)值依次為4.15,4.45,4.75,5.05.平均數(shù)$\bar{x}=\frac{5×4.15+20×4.45+50×4.75+25×5.05}{100}=\frac{20.75+89+237.5+126.25}{100}=\frac{473.5}{100}=4.735$.（2）視力在[4.6,5.2]內(nèi)的頻率為$\frac{50+25}{100}=0.75$，故估計(jì)人數(shù)為$1000×0.75=750$.18.（12分）某工廠生產(chǎn)的零件直徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布N(10,$\sigma^2$)，現(xiàn)從一批零件中隨機(jī)抽取25個，測得樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s=0.8$，求：（1）$\sigma^2$的置信區(qū)間（置信水平95%，$\chi_{0.025}^2(24)=39.364$，$\chi_{0.975}^2(24)=12.401$）；（2）若$\sigma=0.5$，求$P(X>10.5)$.解答過程：（1）$\sigma^2$的置信區(qū)間公式為$\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)},\frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)}\right)$.代入$n=25$，$s=0.8$，得$(n-1)s^2=24×0.64=15.36$.置信區(qū)間為$\left(\frac{15.36}{39.364},\frac{15.36}{12.401}\right)\approx(0.39,1.24)$.（2）X~N(10,0.25)，則$P(X>10.5)=1-\Phi\left(\frac{10.5-10}{0.5}\right)=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587$.19.（12分）為研究學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間與成績的關(guān)系，隨機(jī)抽取10名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：學(xué)習(xí)時間x（小時）234567891011成績y（分）50606570758085889095（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$；（2）預(yù)測學(xué)習(xí)時間為12小時的學(xué)生成績.解答過程：（1）計(jì)算得$\bar{x}=6.5$，$\bar{y}=75.8$，$\sumx_i^2=486$，$\sumx_iy_i=5385$.$\hat=\frac{\sumx_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sumx_i^2-n\bar{x}^2}=\frac{5385-10×6.5×75.8}{486-10×42.25}=\frac{5385-4927}{486-422.5}=\frac{458}{63.5}\approx7.21$.$\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}=75.8-7.21×6.5\approx75.8-46.87=28.93$.回歸方程為$\hat{y}=7.21x+28.93$.（2）當(dāng)x=12時，$\hat{y}=7.21×12+28.93\approx86.52+28.93=115.45$（分）.20.（12分）某射手每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.6，現(xiàn)連續(xù)射擊5次，記命中次數(shù)為X.（1）求X的分布列；（2）求$E(X)$和$D(X)$.解答過程：（1）X~B(5,0.6)，分布列為：|X|0|1|2|3|4|5||----|---|---|---|---|---|---||P|$0.4^5$|$C_5^1×0.6×0.4^4$|$C_5^2×0.6^2×0.4^3$|$C_5^3×0.6^3×0.4^2$|$C_5^4×0.6^4×0.4$|$0.6^5$|計(jì)算得P(X=0)=0.01024，P(X=1)=0.0768，P(X=2)=0.2304，P(X=3)=0.3456，P(X=4)=0.2592，P(X=5)=0.07776.（2）$E(X)=np=5×0.6=3$，$D(X)=np(1-p)=5×0.6×0.4=1.2$.21.（12分）為比較A、B兩種教學(xué)方法的效果，隨機(jī)選取A方法30人，B方法25人進(jìn)行測試，結(jié)果A方法平均成績85分，標(biāo)準(zhǔn)差5分；B方法平均成績82分，標(biāo)準(zhǔn)差6分.假設(shè)兩總體方差相等，在顯著性水平$\alpha=0.05$下，檢驗(yàn)兩種方法效果是否有差異（$t_{0.025}(53)=2.006$）.解答過程：提出假設(shè)$H_0:\mu_1=\mu_2$，$H_1:\mu_1\neq\mu_2$.合并方差$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}=\frac{29×25+24×36}{53}=\frac{725+864}{53}=\frac{1589}{53}\approx30$.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量$t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\frac{85-82}{\sqrt{30}×\sqrt{\frac{1}{30}+\frac{1}{25}}}\approx\frac{3}{\sqrt{30}×0.27}\approx2.06>2.006$.拒絕$H_0$，認(rèn)為兩種方法效果有顯著差異.22.（12分）某超市為提升銷售額，對