2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)虛擬化技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）VR函數(shù)實驗室場景：在虛擬函數(shù)建模系統(tǒng)中，學(xué)生通過手勢操作生成函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1$的圖像。若系統(tǒng)自動標(biāo)注該函數(shù)的極值點坐標(biāo)，則以下坐標(biāo)正確的是（）A.$(1,\frac{7}{3})$B.$(3,1)$C.$(1,\frac{7}{3})$和$(3,1)$D.不存在極值點虛擬空間幾何題：在VR立體幾何模塊中，學(xué)生觀察一個棱長為$2\sqrt{3}$的正四面體。系統(tǒng)提示該四面體的外接球體積為$V$，則$V$的值為（）A.$4\sqrt{3}\pi$B.$\frac{32}{3}\pi$C.$8\pi$D.$\frac{20}{3}\pi$概率模擬實驗：在虛擬擲骰子實驗中，系統(tǒng)生成兩個質(zhì)地均勻的骰子，學(xué)生連續(xù)投擲1000次并記錄點數(shù)之和。若事件$A$為“點數(shù)之和為7”，則以下說法正確的是（）A.事件$A$發(fā)生的頻率必為$\frac{1}{6}$B.隨著投擲次數(shù)增加，頻率穩(wěn)定在$\frac{1}{6}$附近C.若投擲2000次，事件$A$發(fā)生次數(shù)必為$\frac{2000}{6}$D.事件$A$的概率與投擲次數(shù)正相關(guān)動態(tài)函數(shù)圖像題：在VR函數(shù)變換系統(tǒng)中，函數(shù)$f(x)=\sinx$的圖像先沿$x$軸方向壓縮為原來的$\frac{1}{2}$，再向左平移$\frac{\pi}{3}$個單位，得到新函數(shù)$g(x)$。則$g(x)$的解析式為（）A.$g(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$B.$g(x)=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$C.$g(x)=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3})$D.$g(x)=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})$虛擬數(shù)據(jù)統(tǒng)計題：某VR教育平臺記錄了500名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長（單位：小時），數(shù)據(jù)分布如下表：|時長區(qū)間|[0,10)|[10,20)|[20,30)|[30,40]||----------|--------|---------|---------|---------||人數(shù)|50|150|200|100|則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在（）A.[0,10)B.[10,20)C.[20,30)D.[30,40]空間向量應(yīng)用題：在虛擬建筑建模中，某長方體房間的墻角坐標(biāo)為$O(0,0,0)$，相鄰三面墻的交點分別為$A(3,0,0)$、$B(0,4,0)$、$C(0,0,5)$。則對角線$OA_1$（$A_1$為$O$的對角頂點）與底面$OAB$所成角的正弦值為（）A.$\frac{5}{\sqrt{50}}$B.$\frac{3}{\sqrt{50}}$C.$\frac{4}{\sqrt{50}}$D.$\frac{5}{\sqrt{25}}$導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題：在VR物理模擬中，小球沿斜坡滾動的位移函數(shù)為$s(t)=t^3-3t^2+2t$（單位：米），則$t=2$秒時小球的加速度為（）A.$0\\text{m/s}^2$B.$2\\text{m/s}^2$C.$6\\text{m/s}^2$D.$12\\text{m/s}^2$概率模型題：在虛擬抽獎系統(tǒng)中，某抽獎箱內(nèi)有3個紅球和2個白球，每次隨機抽取1個球后放回，連續(xù)抽取3次。則至少抽到2個紅球的概率為（）A.$\frac{81}{125}$B.$\frac{54}{125}$C.$\frac{27}{125}$D.$\frac{28}{125}$解析幾何題：在VR坐標(biāo)系中，拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，過$F$的直線與拋物線交于$A$、$B$兩點，若$|AF|=3$，則$|BF|$的值為（）A.$\frac{3}{2}$B.$2$C.$\frac{5}{2}$D.$3$虛擬數(shù)列生成題：在VR斐波那契數(shù)列模擬中，系統(tǒng)生成數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$。若學(xué)生截取該數(shù)列的前$m$項，其和為$S_m=144$，則$m$的值為（）A.10B.11C.12D.13不等式應(yīng)用題：在虛擬資源分配系統(tǒng)中，某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，需消耗甲、乙兩種原料。生產(chǎn)1噸A需甲3噸、乙1噸，生產(chǎn)1噸B需甲1噸、乙2噸。甲原料每日供應(yīng)量不超過12噸，乙原料不超過8噸。若A產(chǎn)品每噸利潤5萬元，B產(chǎn)品每噸利潤3萬元，則每日最大利潤為（）A.20萬元B.21萬元C.22萬元D.23萬元虛擬幾何證明題：在VR空間證明模塊中，三棱錐$P-ABC$的底面$ABC$為等邊三角形，$PA=PB=PC$，且$PA\perp$平面$ABC$。則二面角$P-BC-A$的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）虛擬數(shù)據(jù)擬合題：在VR實驗中，學(xué)生測量某物體自由下落的高度$h$（米）與時間$t$（秒）的關(guān)系，得到數(shù)據(jù)$(0,0)$、$(1,4.9)$、$(2,19.6)$。若用二次函數(shù)$h(t)=at^2+bt+c$擬合，則$a=$__________。復(fù)數(shù)運算題：在VR電路模擬中，某交流電路的阻抗$Z$滿足$Z=\frac{2+i}{1-i}$（單位：歐姆），則$|Z|=$__________。立體幾何體積題：在虛擬3D打印中，某模型由半球和圓柱組合而成，半球半徑為3，圓柱高為4，則該模型的體積為__________（結(jié)果保留$\pi$）。概率分布題：在VR游戲闖關(guān)系統(tǒng)中，每次闖關(guān)成功概率為0.6，失敗則終止。若學(xué)生連續(xù)闖關(guān)，直到失敗為止，則闖關(guān)次數(shù)$X$的數(shù)學(xué)期望$E(X)=$__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）在VR三角函數(shù)實驗室中，已知$\triangleABC$的三個內(nèi)角$A$、$B$、$C$對應(yīng)的邊長分別為$a$、$b$、$c$，且滿足$\sinA+\sinB=2\sinC$，$a=2b$。（1）求$\cosC$的值；（2）若$c=3$，求$\triangleABC$的面積。（12分）在虛擬經(jīng)濟模型中，某商品的需求函數(shù)為$Q_d=100-2P$，供給函數(shù)為$Q_s=3P-50$，其中$P$為價格（單位：元），$Q$為數(shù)量（單位：件）。（1）求市場均衡價格$P_0$和均衡數(shù)量$Q_0$；（2）若政府對每件商品征收$t$元稅，新的均衡價格為$P_1$，且$P_1-P_0=2$，求$t$的值；（3）在VR動態(tài)演示中，若需求函數(shù)變?yōu)?Q_d'=120-2P$，供給函數(shù)不變，求新的均衡點與原均衡點之間的距離（以價格和數(shù)量為坐標(biāo)軸）。（12分）在VR立體幾何模塊中，直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的底面$ABC$為直角三角形，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=AA_1=2$。（1）求證：$A_1C\perp$平面$AB_1C_1$；（2）求直線$BC_1$與平面$AB_1C_1$所成角的正弦值；（3）若在虛擬場景中，點$P$為線段$B_1C_1$上的動點，求$AP+PC$的最小值。（12分）在VR函數(shù)迭代系統(tǒng)中，函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$，定義數(shù)列${x_n}$滿足$x_1=1$，$x_{n+1}=f(x_n)$。（1）求證：數(shù)列${x_n-2}$為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${x_n}$的通項公式；（3）在虛擬圖像中，若$y=f(x)$的圖像與直線$y=kx$有且僅有一個交點，求$k$的值。（12分）在VR概率模擬實驗室中，某批產(chǎn)品分為A、B、C三個等級，合格率分別為0.9、0.8、0.7，且等級概率分布為$P(A)=0.5$，$P(B)=0.3$，$P(C)=0.2$。（1）求該批產(chǎn)品的平均合格率；（2）若隨機抽取3件產(chǎn)品，求至少有2件合格的概率；（3）在虛擬質(zhì)檢中，系統(tǒng)采用“不放回抽樣”，若前2件均為A級合格產(chǎn)品，求第3件為B級產(chǎn)品的概率。（12分）在VR解析幾何系統(tǒng)中，橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$M$、$N$兩點，且$OM\perpON$（$O$為原點），求$\triangleOMN$面積的最大值；（3）在虛擬動態(tài)演示中，若橢圓$C$上的點$P$與焦點$F_1$、$F_2$構(gòu)成$\trianglePF_1F_2$，求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍。四、選考題（共10分，請考生在第23、24題中任選一題作答）（10分）[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在VR極坐標(biāo)實驗中，曲線$C$的極坐標(biāo)方程為$\rho=4\cos\theta$，直線$l$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\y=t\sin\alpha\end{cases}$（$t$為參數(shù)，$\alpha$為傾斜角）。（1）求曲線$C$的直角坐標(biāo)