2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)直觀想象試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）如圖1，在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E)為棱(C_1D_1)的中點(diǎn)，則異面直線(AE)與(BD)所成角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{2}}{4})B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{\sqrt{6}}{6})如圖2，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.12B.16C.20D.24在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)(A(1,2,3))，(B(4,5,6))，則線段(AB)在坐標(biāo)平面(yOz)上的射影長(zhǎng)度為（）A.(\sqrt{14})B.(\sqrt{13})C.(\sqrt{10})D.(\sqrt{5})如圖3，圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4，(M)為母線(PA)的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)(M)沿圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)(A)，則最短路徑長(zhǎng)為（）A.(2\sqrt{3})B.(2\sqrt{5})C.4D.(2\sqrt{7})已知三棱錐(P-ABC)的四個(gè)頂點(diǎn)都在球(O)的球面上，(PA=PB=PC=2)，(\angleACB=90^\circ)，(AC=BC=1)，則球(O)的表面積為（）A.(\frac{16\pi}{3})B.(\frac{20\pi}{3})C.(\frac{25\pi}{3})D.8π如圖4，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(\angleBAC=90^\circ)，(AB=AC=AA_1=2)，(D)為(BC)中點(diǎn)，則直線(A_1D)與平面(BCC_1B_1)所成角的正弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{6})C.(\frac{\sqrt{2}}{2})D.(\frac{\sqrt{3}}{2})已知平面(\alpha)的一個(gè)法向量為(\vec{n}=(2,-1,3))，直線(l)的方向向量為(\vec{m}=(1,2,-1))，則直線(l)與平面(\alpha)所成角的正弦值為（）A.(\frac{\sqrt{14}}{14})B.(\frac{\sqrt{21}}{21})C.(\frac{\sqrt{35}}{35})D.(\frac{\sqrt{42}}{42})如圖5，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，(P)為底面(ABCD)內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線(D_1P)與平面(A_1BD)所成角的正弦值為(\frac{\sqrt{6}}{3})，則點(diǎn)(P)的軌跡為（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線已知正四棱錐(S-ABCD)的側(cè)棱長(zhǎng)為(\sqrt{5})，底面邊長(zhǎng)為2，(E)為(SC)的中點(diǎn)，則異面直線(BE)與(SA)之間的距離為（）A.(\frac{\sqrt{2}}{2})B.1C.(\sqrt{2})D.2如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格線由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，(\triangleABC)的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，將(\triangleABC)繞原點(diǎn)(O)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(90^\circ)后得到(\triangleA'B'C')，則點(diǎn)(B')的坐標(biāo)為（）A.(2,-1)B.(-2,1)C.(1,-2)D.(-1,2)已知三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)的側(cè)棱垂直于底面，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=120^\circ)，則該三棱柱外接球的體積為（）A.(\frac{32\pi}{3})B.(\frac{16\sqrt{2}\pi}{3})C.(\frac{20\sqrt{5}\pi}{3})D.(\frac{28\sqrt{7}\pi}{3})如圖7，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器(ABCD-A_1B_1C_1D_1)內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊(BC)于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜角度的變化，下列說(shuō)法正確的是（）A.水面始終為矩形B.水面面積保持不變C.水的體積逐漸增大D.(BC)邊上的高始終不變二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）如圖8，在正三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=2)，(AA_1=3)，則點(diǎn)(A)到平面(A_1BC)的距離為_(kāi)_______．已知某幾何體的三視圖如圖9所示（單位：cm），則該幾何體的表面積為_(kāi)_______(cm^2)．如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，(\vec{a})，(\vec)為單位向量，(\vec{a})與(\vec)的夾角為(60^\circ)，若(\vec{c}=2\vec{a}+\vec)，則(|\vec{c}|)的值為_(kāi)_______，(\vec{c})在(\vec{a})方向上的投影為_(kāi)_______．（第一空2分，第二空3分）已知正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)(P)在側(cè)面(BCC_1B_1)內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，若(AP\perpBD_1)，則線段(AP)長(zhǎng)度的取值范圍為_(kāi)_______．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）如圖11，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為菱形，(\angleABC=60^\circ)，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(E)為(PC)的中點(diǎn)．（1）求證：(BE\parallel)平面(PAD)；（2）求三棱錐(E-PBD)的體積．（本小題滿分12分）如圖12，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC=AA_1=2)，(\angleACB=90^\circ)，(D)為(AB)的中點(diǎn)．（1）求異面直線(A_1D)與(B_1C)所成角的余弦值；（2）求平面(A_1CD)與平面(B_1CD)所成銳二面角的余弦值．（本小題滿分12分）如圖13，在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)(A(0,0,0))，(B(2,0,0))，(C(0,2,0))，(D(0,0,2))，(E)為線段(CD)的中點(diǎn)．（1）求直線(AE)與平面(BCD)所成角的正弦值；（2）設(shè)平面(ABE)與平面(ACD)的交線為(l)，求點(diǎn)(D)到直線(l)的距離．（本小題滿分12分）如圖14，在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=120^\circ)，(PB=2\sqrt{5})．（1）求(PA)的長(zhǎng)；（2）在線段(PC)上是否存在點(diǎn)(M)，使得(BM\perp)平面(PAC)？若存在，求出(\frac{PM}{MC})的值；若不存在，說(shuō)明理由．（本小題滿分12分）如圖15，在正四棱柱(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(AB=2)，(AA_1=4)，(E)為(A_1D_1)的中點(diǎn)，(F)為(CC_1)上一點(diǎn)，且(CF=1)．（1）求證：(EF\perp)平面(BDE)；（2）求點(diǎn)(F)到平面(BDE)的距離．（本小題滿分12分）如圖16，在多面體(ABCDEF)中，底面(ABCD)為正方形，(DE\perp)底面(ABCD)，(CF\parallelDE)，(AB=DE=2CF=2)．（1）求證：平面(AEF\perp)平面(BDE)；（2）設(shè)(G)為線段(AE)上一點(diǎn)，若二面角(G-BD-E)的余弦值為(\frac{\sqrt{3}}{3})，求(\frac{AG}{GE})的值．（注：所有題目中的“如圖x”需結(jié)合實(shí)際圖形作答，此處省略圖形編號(hào)對(duì)應(yīng)的示意圖。）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分提示）：D2.C3.A4.B5.B6.B7.C8.A9.B10.C11.A12.A(\frac{3\sqrt{3}}{2})14.(24+8\sqrt{2})15.(\sqrt{7})，(\frac{5}{2})16.([\sqrt{2},\sqrt{3}])（2）(\frac{2\sqrt{3}}{3})18.（1）(\frac{\sqrt{10}}{5})（2）(\frac{1}{3})19.（1）(\frac{\sqrt{3}}{3})（2）(\frac{2\sqrt{6}}{3})（1）4（2）存在，(\frac{PM}{MC}=\fra