2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)專題三試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-4x+5)+\sqrt{3-2x})的定義域?yàn)椋ǎ〢.((-\infty,\frac{3}{2}])B.((-\infty,1)\cup(5,+\infty))C.((-\infty,1])D.([\frac{3}{2},5))已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))，則(m=)（）A.(-1)或(4)B.(1)或(-4)C.(-2)或(3)D.(2)或(-3)函數(shù)(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))的最小正周期和對稱軸方程分別為（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))B.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{5\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))C.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbb{Z}))D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbb{Z}))已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.(3)或(-4)B.(-3)或(4)C.(3)D.(-4)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)（注：此處需配圖，俯視圖為半徑為2的圓，主視圖和側(cè)視圖為高為4的矩形）已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\lnx,&x>0,\end{cases})則(f(f(e))=)（）A.(-1)B.(0)C.(1)D.(e^2-2e)若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq0,\y\leq3,\end{cases})則(z=2x-y)的最大值為（）A.(-1)B.(2)C.(3)D.(4)已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:(x-2)^2+(y-3)^2=1)相交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=\sqrt{2})，則(k=)（）A.(1)B.(\frac{3}{4})C.(\frac{4}{3})D.(2)函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.(0)B.(1)C.(2)D.(3)已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則雙曲線(C)的漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)在([0,+\infty))上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍為（）A.((-\infty,1])B.((-\infty,e])C.([1,+\infty))D.([e,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計(jì)算：(\log_28+(\frac{1}{2})^{-2}-(\pi-3)^0=)________。已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3+a_7=10)，則(S_9=)________。從(1,2,3,4,5)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，記事件(A)為“這3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”，則(P(A)=)________。在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(b=5)，(c=4)。（1）求(a)的值；（2）求(\sinB)的值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A_1-AD-C_1)的余弦值。（注：此處需配圖，直三棱柱底面為等腰直角三角形，側(cè)棱垂直于底面）（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左焦點(diǎn)為(F(-1,0))，離心率為(\frac{1}{2})。（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)(F)的直線(l)與橢圓(E)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=\frac{24}{7})，求直線(l)的方程。（本小題滿分12分）為了研究某地區(qū)高中生的數(shù)學(xué)成績與物理成績的相關(guān)性，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績進(jìn)行分析，得到如下列聯(lián)表：數(shù)學(xué)成績物理成績優(yōu)秀物理成績不優(yōu)秀總計(jì)優(yōu)秀201030不優(yōu)秀254070總計(jì)4555100（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理成績優(yōu)秀有關(guān)”；（2）從物理成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)為(X)，求(X)的分布列和數(shù)學(xué)期望。參考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)。臨界值表：(P(K^2\geqk_0))0.0500.0100.001(k_0)3.8416.63510.828（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)，(a\in\mathbb{R})。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。（本小題滿分12分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+n-1)，(n\in\mathbb{N}^*)。（1）證明：數(shù)列({a_n+n})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)；（3）設(shè)(b_n=\frac{a_n}{2^n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)，并證明：(T_n<2)。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.A3.B4.A5.A6.C7.A8.C9.C10.C11.A12.A二、填空題(6)14.(45)15.(\frac{2}{5})16.(19\pi)三、解答題（1）由余弦定理得(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=25+16-2\times5\times4\times\frac{3}{5}=13)，故(a=\sqrt{13})；（5分）（2）由(\cosA=\frac{3}{5})得(\sinA=\frac{4}{5})，由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})得(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{5\times\frac{4}{5}}{\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{13}}{13})。（10分）（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(diǎn)(O)，連接(OD)，則(O)為(A_1C)中點(diǎn)，又(D)為(BC)中點(diǎn)，故(OD\parallelA_1B)，又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，因此(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（6分）（2）以(A)為原點(diǎn)，(AB,AC,AA_1)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，得平面(A_1AD)的法向量(\vec{n}=(1,0,0))，平面(C_1AD)的法向量(\vec{m}=(0,1,0))，二面角余弦值為(0)。（12分）（1）由題意得(c=1)，(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2})，故(a=2)，(b^2=a^2-c^2=3)，橢圓方程為(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)；（4分）（2）設(shè)直線(l:y=k(x+1))，聯(lián)立橢圓方程得((3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0)，由弦長公式得(|AB|=\frac{12(1+k^2)}{3+4k^2}=\frac{24}{7})，解得(k=\pm1)，直線方程為(y=x+1)或(y=-x-1)。（12分）（1）計(jì)算(K^2=\frac{100\times(20\times40-10\times25)^2}{30\times70\times45\times55}\approx3.03<3.841)，故無95%把握認(rèn)為相關(guān)；（4分）（2）(X)的可能取值為0,1,2，(P(X=0)=\frac{C_{25}^2}{C_{45}^2}=\frac{60}{198})，(P(X=1)=\frac{C_{20}^1C_{25}^1}{C_{45}^2}=\frac{100}{198})，(P(X=2)=\frac{C_{20}^2}{C_{45}^2}=\frac{38}{198})，分布列略，期望(E(X)=0\times\frac{60}{198}+1\times\frac{100}{198}+2\times\frac{38}{198}=\frac{176}{198}=\frac{8}{9})。（12分）（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)，令(f'(x)=0)得(x=1)，當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)(f'(x)>0)，(x\in(1,+\infty))時(shí)(f'(x)<0)，故單調(diào)遞增區(qū)間為((0,1))，遞減區(qū)間為((1,+\infty))；（6分）（2）(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，(f''(x)=\frac{1}{x}-2a)，若(a\leq0)，(f'(x))在((0,+\infty))遞增，(x=1)為極小值點(diǎn)；若(a>0)，當(dāng)(x\in(0,\frac{1}{2a}))時(shí)(f''(x)>0)，(x\in(\frac{1}{2a},+\infty))時(shí)(f''(x)<0)，要使(x=1)為極大值點(diǎn)，則(\frac{1}{2a}<1)，即(a>\frac{1}{2})，綜上(a>\frac{1}{2})。（12分）（1）由(a_{n+1}+(n+1)=2(a_n+n))，且(a_1+1=2)，故({a_n+n})是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（3分）（2）由（1）得(a_n+n=2^n)，故(a_n=2^n-n)，(S_n=(2+2^2+\cdots+2^n)-(1+2+\cdots+n)=2^{n+1}-2-\frac{n(n+1)}{2})；（7分