2025年下學期高中數(shù)學綜合化技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,+∞)C.[2,3]D.[1,3]函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)B.2π，x=kπ+π/12(k∈Z)C.π，x=kπ+π/12(k∈Z)D.2π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，a?=1，a?=9，則該數(shù)列的前10項和S??=（）A.100B.110C.120D.130某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=（）A.30°B.45°C.60°D.90°已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m=（）A.-2B.-1C.1D.2若函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+1在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.(-∞,2]D.(-∞,3]從5名男生和4名女生中選出3人參加志愿者活動，則至少有1名女生的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(2,√3)，則該雙曲線的方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/2-y2/4=1C.x2/1-y2/2=1D.x2/4-y2/8=1執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S=（）A.10B.15C.20D.25已知函數(shù)f(x)=|log?x|，若f(a)=f(b)且a≠b，則ab=（）A.1B.2C.4D.8已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)=x3，則f(2025)=（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復數(shù)z=(1+i)(2-i)，則|z|=________.若變量x,y滿足約束條件{x+y≤3,x-y≥-1,y≥0}，則z=2x+y的最大值為________.已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線交拋物線于A,B兩點，若|AF|=3，則|BF|=________.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則該三棱錐的外接球的表面積為________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1(n∈N*).(1)證明：數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{a?}的前n項和S?.（本小題滿分12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足2bcosA=ccosA+acosC.(1)求角A的大小；(2)若a=√3，b+c=3，求△ABC的面積.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D為AB的中點.(1)求證：AC?//平面B?CD；(2)求二面角B?-CD-B的余弦值.（本小題滿分12分）某學校為了解學生的數(shù)學學習情況，隨機抽取了100名學生進行數(shù)學成績調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（注：頻率分布直方圖缺失，此處假設(shè)有相關(guān)數(shù)據(jù)）(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計這100名學生數(shù)學成績的平均數(shù)和中位數(shù)；(3)若從成績在[80,90)和[90,100]的學生中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率.（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(1,√2/2).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點x?,x?(x?<x?)，求證：x?+x?>2.四、選做題（本大題共2小題，每小題10分，考生任選一題作答）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ}(θ為參數(shù)).(1)求曲線C的普通方程；(2)過點P(2,1)的直線l與曲線C交于A、B兩點，若|PA|·|PB|=8/5，求直線l的斜率.已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|.(1)求不等式f(x)≥5的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案及評分標準一、選擇題C2.A3.A4.B5.C6.A7.A8.B9.C10.B11.A12.C二、填空題√1014.515.3/216.14π三、解答題(1)證明：∵a???=2a?+1，∴a???+1=2(a?+1).又∵a?+1=2≠0，∴數(shù)列{a?+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.(2)解：由(1)知a?+1=2×2??1=2?，∴a?=2?-1.∴S?=(21-1)+(22-1)+…+(2?-1)=2(2?-1)/(2-1)-n=2??1-n-2.(1)解：由正弦定理得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB.∵sinB≠0，∴cosA=1/2.又∵0°<A<180°，∴A=60°.(2)解：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc.∵a=√3，b+c=3，∴3=9-3bc，∴bc=2.∴S△ABC=1/2bcsinA=1/2×2×√3/2=√3/2.(1)證明：連接BC?交B?C于點O，連接OD.∵ABC-A?B?C?是直三棱柱，∴四邊形BCC?B?是矩形，∴O為BC?的中點.又∵D為AB的中點，∴OD//AC?.∵OD?平面B?CD，AC??平面B?CD，∴AC?//平面B?CD.(2)解：以C為原點，CA、CB、CC?所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.則C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)，B?(0,2,2).∴CD=(1,1,0)，CB?=(0,2,2).設(shè)平面B?CD的法向量n=(x,y,z)，則{n·CD=0,n·CB?=0}，即{x+y=0,2y+2z=0}.令x=1，則y=-1，z=1，∴n=(1,-1,1).又∵平面BCD的法向量m=(0,0,1)，∴cos<n,m>=n·m/|n||m|=1/√3=√3/3.∵二面角B?-CD-B為銳二面角，∴其余弦值為√3/3.(1)解：由頻率分布直方圖得(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1，解得a=0.01.(2)解：平均數(shù)=45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5.設(shè)中位數(shù)為x，則0.05+0.15+0.1+(x-70)×0.03=0.5，解得x=73.33.(3)解：成績在[80,90)的學生有0.25×100=25人，成績在[90,100]的學生有0.15×100=15人.從40名學生中隨機抽取2人，共有C??2=780種不同的選法.至少有1人成績在[90,100]的選法有C??2+C??1C??1=105+375=480種.∴所求概率P=480/780=8/13.(1)解：由題意得{c/a=√2/2,1/a2+1/(2b2)=1,a2=b2+c2}，解得{a2=2,b2=1,c2=1}.∴橢圓C的方程為x2/2+y2=1.(2)解：設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，聯(lián)立{x2/2+y2=1,y=kx+m}，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.∴x?+x?=-4km/(1+2k2)，x?x?=(2m2-2)/(1+2k2).∵OA⊥OB，∴x?x?+y?y?=0，即x?x?+(kx?+m)(kx?+m)=0.整理得(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0，代入得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)-4k2m2/(1+2k2)+m2=0.化簡得3m2=2(1+k2)，∴m2=2(1+k2)/3.∵|AB|=√(1+k2)|x?-x?|=√(1+k2)√[(x?+x?)2-4x?x?]=√(1+k2)√[16k2m2/(1+2k2)2-8(m2-1)/(1+2k2)]=√(1+k2)√[8(1+2k2-m2)/(1+2k2)2]=√(1+k2)√[8(1+2k2-2(1+k2)/3)/(1+2k2)2]=√(1+k2)√[8(1+4k2)/3(1+2k2)2]=2√6√[(1+k2)(1+4k2)]/3(1+2k2).又∵點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√[2(1+k2)/3]/√(1+k2)=√6/3.∴S△AOB=1/2|AB|d=1/2×2√6√[(1+k2)(1+4k2)]/3(1+2k2)×√6/3=2√[(1+k2)(1+4k2)]/3(1+2k2).令t=1+2k2(t≥1)，則k2=(t-1)/2，代入得S=2√[(1+(t-1)/2)(1+4×(t-1)/2)]/3t=2√[(t+1)/2×(2t-1)]/3t=2√[(t+1)(2t-1)]/3√2t=√2√(2t2+t-1)/3t.令u=1/t(0<u≤1)，則S=√2√(2/u2+1/u-1)/3=√2√(-u2+u+2)/3.當u=1/2，即t=2時，S取得最大值√2√(-1/4+1/2+2)/3=√2×3/2/3=√2/2.(1)解：f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x-a.當a≤0時，f'(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.當a>0時，令f'(x)=0，得x=1/a.當0<x<1/a時，f'(x)>0；當x>1/a時，f'(x)<0.∴f(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減.(2)證明：由(1)知a>0，且f(1/a)=ln(1/a)-1+1=-lna>0，∴0<a<1.∵f(1)=-a+1>0，f(1/a2)=ln(1/a2)-a×1/a2+1=-2lna-1/a+1.令g(a)=-2lna-1/a+1(0<a<1)，則g'(a)=-2/a+1/a2=(1-2a)/a2.當0<a<1/2時，g'(a)>0；當1/2<a<1時，g'(a)<0.∴g(a)≤g(1/2)=-2ln(1/2)-2+1=2ln2-1>0，∴f(1/a2)>0.∴存在x?∈(1,1/a)，x?∈(1/a,1/a2)，使得f(x?)=f(x?)=0.令h(x)=f(x)-f(2/a-x)(0<x<1/a)，則h'(x)=f'(x)+f'(2/a-x)=1/x-a+1/(2/a-x)-a=1/x+a/(2-ax)-2a=(2-ax+ax-2ax(2-ax))/[x(2-ax)]=(2-4ax+2a2x2)/[x(2-ax)]=2(ax-1)2/[x(2-ax)]≥0.∴h(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，∴h(x?)<h(1/a)=0，即f(x?)-f(2/a-x?)<0.∵f(x?)=f(x?)，∴f(x?)<f(2/a-x?).∵x?>1/a，2/a-x?>2/a-1/a=1/a，且f(x)在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減，∴x?>2/a-x?，∴x?+x?>2/a>2.四、選做題(1)解：∵{x=2cosθ,y=sinθ}，∴cosθ=x/2，sinθ=y.∵cos2θ+sin2θ=1，∴x2/4+y2=1.(2)解：設(shè)直線l的參數(shù)方程為{x=2+tcosα,y=1+tsinα}(t為參數(shù)，α為傾斜角).代入曲線C的普通方程得(2+tcosα)2/4+(1+tsinα)2=1，整理得(4sin2α+cos2α)t2+4(2sinα+cosα)t+4=0.設(shè)A、B對應的參數(shù)分別為t?、t?，則t?t?=4/(4sin2α+cos2α).∵|PA|·|PB|=|t?t?|=4/(4sin2α+cos2α)=8/5，∴4/(4sin2α+cos2α)=8/5，∴4sin2α+cos2α=5/2.∵sin2α+cos2α=1，∴3sin2α=3/2，∴sin2α=1/2，∴sinα=√2/2或sinα=-√2/2.∴α=45°或135°，∴直線l的斜率k=tanα=1或k=-1.(1)解：f(x)=|x+1|+|x-2|={-2x+1,x≤-