2025年上學期高二數(shù)學閱讀理解型試題一、空間向量與立體幾何（一）空間向量的概念與運算在空間直角坐標系中，向量是描述空間位置和方向的重要工具。已知空間向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec=(x_2,y_2,z_2)$，則它們的數(shù)量積為$\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$，向量的模$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$，兩向量的夾角$\theta$滿足$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}$。問題1：在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，建立以$A$為原點，$AB$，$AD$，$AA_1$所在直線分別為$x$軸、$y$軸、$z$軸的空間直角坐標系。（1）求向量$\overrightarrow{AC_1}$和$\overrightarrow{BD_1}$的坐標表示；（2）計算$\overrightarrow{AC_1}\cdot\overrightarrow{BD_1}$及兩向量的夾角余弦值；（3）若點$M$是棱$CC_1$的中點，求點$M$到平面$ABD_1$的距離。（二）立體幾何中的向量方法利用空間向量可以解決立體幾何中的平行、垂直關(guān)系證明以及空間角的計算問題。設(shè)直線$l$的方向向量為$\vec{u}$，平面$\alpha$的法向量為$\vec{n}$，則：直線$l\parallel$平面$\alpha$等價于$\vec{u}\cdot\vec{n}=0$；直線$l\perp$平面$\alpha$等價于$\vec{u}\parallel\vec{n}$（即存在實數(shù)$\lambda$使得$\vec{u}=\lambda\vec{n}$）；二面角的大小$\theta$可通過兩平面法向量的夾角計算，$\cos\theta=\pm\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$，符號由二面角類型確定。問題2：在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$的中點。（1）求證：$A_1D\perp$平面$B_1C_1D$；（2）求平面$A_1BD$與平面$B_1C_1D$所成銳二面角的余弦值。二、平面解析幾何（一）直線與圓的方程直線的傾斜角$\alpha$的取值范圍是$[0,\pi)$，斜率$k=\tan\alpha$（$\alpha\neq\frac{\pi}{2}$）。直線的點斜式方程為$y-y_0=k(x-x_0)$，圓的標準方程為$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$為圓心坐標，$r$為半徑。直線與圓的位置關(guān)系可通過圓心到直線的距離$d$與半徑$r$比較判斷：$d\gtr$時相離，$d=r$時相切，$d\ltr$時相交。問題3：已知圓$C$的圓心在直線$l_1:2x-y-3=0$上，且與直線$l_2:4x-3y+10=0$相切于點$P(1,2)$。（1）求圓$C$的標準方程；（2）若直線$l:mx-y+1-m=0$與圓$C$相交于$A$，$B$兩點，求弦$AB$長度的最小值及此時直線$l$的方程。（二）圓錐曲線的定義與性質(zhì)橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點$F_1$，$F_2$的距離之和等于常數(shù)$2a$（$2a\gt|F_1F_2|$）的點的軌跡。其標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$），離心率$e=\frac{c}{a}$（$c=\sqrt{a^2-b^2}$），反映橢圓的扁平程度。雙曲線的定義為平面內(nèi)到兩定點距離之差的絕對值等于常數(shù)$2a$（$0\lt2a\lt|F_1F_2|$）的點的軌跡，標準方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$），漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$。拋物線的定義是平面內(nèi)到定點$F$和定直線$l$（$F$不在$l$上）距離相等的點的軌跡，開口向右的拋物線標準方程為$y^2=2px$（$p\gt0$），焦點坐標為$(\frac{p}{2},0)$。問題4：已知橢圓$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$。（1）求橢圓$E$的標準方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$E$交于$M$，$N$兩點，$O$為坐標原點，若$k_{OM}\cdotk_{ON}=-\frac{1}{4}$，求證：$\triangleOMN$的面積為定值。三、數(shù)列（一）等差與等比數(shù)列的概念等差數(shù)列${a_n}$的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，前$n$項和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$；等比數(shù)列${b_n}$的通項公式為$b_n=b_1q^{n-1}$（$q\neq0$），前$n$項和$T_n=\begin{cases}nb_1,&q=1\\frac{b_1(1-q^n)}{1-q},&q\neq1\end{cases}$。問題5：已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\inN^*$）。（1）證明：數(shù)列${a_n+1}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的通項公式及前$n$項和$S_n$。（二）數(shù)列求和與遞推關(guān)系數(shù)列求和的常用方法有錯位相減法、裂項相消法等。對于形如$a_n=(kn+b)q^{n-1}$的數(shù)列，可用錯位相減法求和；對于$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$的形式，可采用裂項相消法。問題6：已知數(shù)列${b_n}$的前$n$項和為$T_n$，且$b_n=\frac{n}{2^n}$。（1）求$T_1$，$T_2$，$T_3$的值；（2）猜想$T_n$的表達式，并利用錯位相減法證明。四、導數(shù)及其應用（一）導數(shù)的概念與運算函數(shù)$f(x)$在$x=x_0$處的導數(shù)$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$，幾何意義是曲線在該點處切線的斜率。常見導數(shù)公式：$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$，$(\sinx)^\prime=\cosx$，$(\cosx)^\prime=-\sinx$，$(e^x)^\prime=e^x$，$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$。導數(shù)的四則運算法則：$(f\pmg)^\prime=f^\prime\pmg^\prime$，$(fg)^\prime=f^\primeg+fg^\prime$，$(\frac{f}{g})^\prime=\frac{f^\primeg-fg^\prime}{g^2}$（$g\neq0$）。問題7：已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$。（1）求$f(x)$在點$(1,f(1))$處的切線方程；（2）求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和極值。（二）導數(shù)在函數(shù)中的應用利用導數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值。若$f^\prime(x)\gt0$，則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增；若$f^\prime(x)\lt0$，則單調(diào)遞減。函數(shù)的極值點處導數(shù)為0且左右導數(shù)異號，最值需比較極值與端點值。問題8：已知函數(shù)$g(x)=e^x-ax-1$（$a\inR$）。（1）討論$g(x)$的單調(diào)性；（2）若$g(x)\geq0$對任意$x\inR$恒成立，求實數(shù)$a$的值；（3）證明：當$x\gt0$時，$e^x\gtx^2+x+1$。五、統(tǒng)計與概率（一）隨機抽樣與樣本估計簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣是三種基本抽樣方法。分層抽樣中，各層樣本容量與層內(nèi)個體總數(shù)的比等于總體樣本容量與總體個體總數(shù)的比。頻率分布直方圖中，小矩形的面積表示頻率，各小矩形面積之和為1，中位數(shù)是使左右面積均為0.5的點。問題9：某中學高二年級有學生500人，其中男生300人，女生200人。為了解學生數(shù)學學習情況，采用分層抽樣的方法從全年級抽取50人進行調(diào)查。（1）求男生和女生應分別抽取的人數(shù)；（2）若抽取的50人中，數(shù)學成績優(yōu)秀的有15人，其中男生10人，女生5人，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關(guān)。優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生女生合計（參考公式：$K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$）（二）獨立性檢驗與回歸分析獨立性檢驗用于判斷兩個分類變量是否相關(guān)，回歸分析則用于研究變量間的線性相關(guān)關(guān)系。線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$中，$\hat=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}$。問題10：某商店統(tǒng)計了過去6個月的月銷售額$y$（萬元）與廣告投入$x$（萬元）的數(shù)據(jù)如下表：廣告投入$x$123456月銷售額$y$235679（1）畫出散點圖（無需作答），判斷$y$與$x$是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）求$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程；（3）若下個月廣告投入為7萬元，預測月銷售額。六、附加題（創(chuàng)新題型）（一）新定義問題定義“矩陣的特征值”：對于二階矩陣$M=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$，若存在實數(shù)$\lambda$和非零向量$\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}$，使得$M\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}$，則$\lambda$稱為矩陣$M$的特征值，$\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}$為對應的特征向量。問題11：已知矩陣$M=\begin{pmatrix}3&1\2&2\end{pmatrix}$。（1）求矩陣$M$的特征值；（2）求對應特征值的一個特征向量