2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)章節(jié)小測(cè)（第七章）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）下列關(guān)于隨機(jī)變量的說(shuō)法中正確的是（）A.離散型隨機(jī)變量的取值可以是無(wú)限個(gè)B.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是間斷的C.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了其取值的集中趨勢(shì)D.方差越小的隨機(jī)變量，其取值越分散已知隨機(jī)變量X的分布列為：|X|1|2|3||---|---|---|---||P|0.2|0.5|0.3|則E(X)的值為（）A.2.0B.2.1C.2.2D.2.3設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，若E(X)=3，D(X)=2.1，則p的值為（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7已知隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，且P(X≤μ-1)=0.2，則P(X≤μ+1)的值為（）A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8設(shè)A、B為兩個(gè)隨機(jī)事件，P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(A|B)=0.6，則P(A∪B)的值為（）A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊3次，設(shè)X為命中目標(biāo)的次數(shù)，則P(X=2)的值為（）A.0.384B.0.488C.0.512D.0.640已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列結(jié)論正確的是（）A.F(x)是單調(diào)遞減函數(shù)B.F(x)的值域?yàn)?0,1)C.P(a<X≤b)=F(b)-F(a)D.F(-∞)=1，F(xiàn)(+∞)=0設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，則對(duì)任意常數(shù)c，下列結(jié)論正確的是（）A.E[(X-c)2]=E(X2)-c2B.E[(X-c)2]=σ2+(μ-c)2C.E[(X-c)2]≥σ2D.當(dāng)c=μ時(shí)，E[(X-c)2]取得最小值二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)X為取出的紅球個(gè)數(shù)，則X的分布列為________。已知隨機(jī)變量X~U(1,5)（均勻分布），則P(2<X≤4)=，E(X)=。設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2，方差D(X)=1，則E(2X-3)=，D(2X-3)=。某班有50名學(xué)生，其中男生30人，女生20人?，F(xiàn)從中隨機(jī)選取5人參加活動(dòng)，則選出的5人中恰有3名男生的概率為________。設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，Φ(x)為其分布函數(shù)，已知Φ(1.96)=0.975，則P(|X|>1.96)=________。某射手每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.7，現(xiàn)連續(xù)獨(dú)立射擊，直到首次命中目標(biāo)為止，則射擊次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=________。三、解答題（共4小題，共80分）（18分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：|X|-1|0|1|2||---|----|---|---|---||P|0.1|0.2|0.3|0.4|求：（1）E(X)和D(X)；（2）Y=2X+1的分布列；（3）E(Y)和D(Y)。（20分）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和次品三個(gè)等級(jí)，其中一等品率為0.7，二等品率為0.2，次品率為0.1。現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)X為其中的一等品件數(shù)，Y為二等品件數(shù)。（1）求X和Y的分布列；（2）求P(X=8,Y=1)；（3）求E(X)和D(Y)。（20分）某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：參與者每次從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后放回。若連續(xù)摸出3個(gè)紅球則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金1000元；若連續(xù)摸出2個(gè)紅球則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金200元；若摸出的球中有1個(gè)紅球則獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金50元；否則沒有獎(jiǎng)金。（1）求參與者一次抽獎(jiǎng)獲得一等獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)X為參與者一次抽獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金金額，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若每次抽獎(jiǎng)需要支付100元，求參與者一次抽獎(jiǎng)的期望收益。（22分）某保險(xiǎn)公司推出一種醫(yī)療保險(xiǎn)產(chǎn)品，規(guī)定：每年繳納保費(fèi)1000元，若在一年內(nèi)發(fā)生重大疾病，則可獲得50000元的賠償；若發(fā)生一般疾病，則可獲得5000元的賠償；若未發(fā)生疾病，則無(wú)賠償。根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，該產(chǎn)品的參保人群中，每年發(fā)生重大疾病的概率為0.001，發(fā)生一般疾病的概率為0.02，未發(fā)生疾病的概率為0.979。（1）設(shè)X為保險(xiǎn)公司對(duì)一位參保人的年賠償金額，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若有10000人參保，求保險(xiǎn)公司一年的期望利潤(rùn)；（3）若保險(xiǎn)公司希望年期望利潤(rùn)達(dá)到100萬(wàn)元，則保費(fèi)應(yīng)定為多少元？（精確到10元）四、應(yīng)用題（共2小題，共60分）（28分）某工廠生產(chǎn)一種電子元件，其壽命X（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布N(1000,1002)。（1）求該電子元件壽命在900小時(shí)到1100小時(shí)之間的概率；（2）若規(guī)定壽命低于800小時(shí)為不合格品，求該電子元件的不合格品率；（3）現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，求其中不合格品數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望；（4）若工廠希望將不合格品率控制在0.001以下，問應(yīng)將壽命下限標(biāo)準(zhǔn)定為多少小時(shí)？（精確到1小時(shí)）（32分）某投資公司有A、B兩種投資方案可供選擇，兩種方案的年收益（單位：萬(wàn)元）與市場(chǎng)狀況有關(guān)，其分布如下：方案A：|市場(chǎng)狀況|好|中|差||----------|----|---|---||概率|0.3|0.5|0.2||收益|10|5|-2|方案B：|市場(chǎng)狀況|好|中|差||----------|----|---|---||概率|0.2|0.6|0.2||收益|15|4|-3|（1）分別計(jì)算兩種方案的期望收益和收益的方差；（2）若該公司有100萬(wàn)元資金，可選擇其中一種方案進(jìn)行投資，從風(fēng)險(xiǎn)和收益的角度分析應(yīng)選擇哪種方案；（3）若該公司采用組合投資策略，將資金的60%用于方案A，40%用于方案B，假設(shè)兩種方案的收益相互獨(dú)立，求組合投資的期望收益和收益的方差；（4）比較單一方案投資和組合投資的風(fēng)險(xiǎn)收益情況，為公司提供投資建議。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.B3.A4.D5.B6.A7.C8.B二、填空題X012P3/2815/2810/280.5,31,4C(30,3)C(20,2)/C(50,5)0.0510/7三、解答題（1）E(X)=(-1)×0.1+0×0.2+1×0.3+2×0.4=1.0D(X)=(-1-1)2×0.1+(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.3+(2-1)2×0.4=1.0（2）Y的分布列為：|Y|-1|1|3|5||---|----|---|---|---||P|0.1|0.2|0.3|0.4|（3）E(Y)=2E(X)+1=3.0D(Y)=4D(X)=4.0（1）X~B(10,0.7)，Y~B(10,0.2)；（2）P(X=8,Y=1)=C(10,8)(0.7)?(0.2)1(0.1)1=0.1211；（3）E(X)=10×0.7=7，D(Y)=10×0.2×0.8=1.6。（1）P(一等獎(jiǎng))=(3/5)3=27/125=0.216；（2）X的分布列為：|X|0|50|200|1000||---|---|----|-----|------||P|8/125|54/125|36/125|27/125|E(X)=0×8/125+50×54/125+200×36/125+1000×27/125=288（元）；（3）期望收益=288-100=188（元）。（1）X的分布列為：|X|0|5000|50000||---|---|------|-------||P|0.979|0.02|0.001|E(X)=0×0.979+5000×0.02+50000×0.001=150（元）；（2）期望利潤(rùn)=10000×(1000-150)=850（萬(wàn)元）；（3）設(shè)保費(fèi)為x元，則有10000×(x-150)=1000000，解得x=250（元）。四、應(yīng)用題（1）P(900<X≤1100)=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1≈0.6826；（2）P(X<800)=Φ(-2)=1-Φ(2)≈0.0228；（3）Y~B(20,0.0228)，E(Y)=20×0.0228≈0.456；（4）設(shè)下限標(biāo)準(zhǔn)為a，則P(X<a)=0.001，即Φ((a-1000)/100)=0.001，解得a≈1000-3.09×100=691（小時(shí)）。（1）E(A)=10×0.3+5×0.5+(-2)×0.2=5.1（萬(wàn)元）D(A)=(10-5.1)2×0.3+(5-5.1)2×0.5+(-2-5.1)2×0.2=15.49E(B)=15×0.2+4×0.6+(-3)×0.2=4.8（萬(wàn)元）D(B)=(15-4.8)2×0.2+(4-4.8)2×0.6+(-3-4.8)2×0.2=33.36（2）方案A的期望收益高于方案B，方差低于方案B，因此從風(fēng)險(xiǎn)和收益角度應(yīng)選擇方案A；（3）組合投資的期望收益=0.6×5.1+0.4×4.8=4.98（萬(wàn)元）組合投資的方差=0.62×15.49+0.42×33.36≈9.5