2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)專(zhuān)題突破（函數(shù)與方程）一、函數(shù)的概念與性質(zhì)深化（一）函數(shù)定義域的拓展求解函數(shù)定義域的求解是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，高二階段需掌握含參變量的定義域求解方法。對(duì)于分式函數(shù)(f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e})，需同時(shí)考慮分母不為零和偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)的情況。例如，求解函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{\log_2(x+1)})的定義域，需滿足：(x^2-4\geq0)（偶次根式條件）(x+1>0)（對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)條件）(\log_2(x+1)\neq0)（分母不為零條件）通過(guò)聯(lián)立不等式組解得(x\in[2,+\infty)\cup(-1,0)\cup(0,1))，此類(lèi)問(wèn)題需特別注意對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與真數(shù)限制條件。（二）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定復(fù)合函數(shù)(y=f(g(x)))的單調(diào)性遵循"同增異減"法則，即：當(dāng)內(nèi)層函數(shù)(u=g(x))與外層函數(shù)(y=f(u))單調(diào)性相同時(shí)，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相反時(shí)，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)以(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-2x-3))為例，內(nèi)層函數(shù)(u=x^2-2x-3)在區(qū)間((-\infty,1))單調(diào)遞減，在((3,+\infty))單調(diào)遞增；外層函數(shù)(y=\log_{\frac{1}{2}}u)為減函數(shù)。根據(jù)復(fù)合法則，原函數(shù)的增區(qū)間為((-\infty,-1))，減區(qū)間為((3,+\infty))。解題時(shí)需先確定內(nèi)層函數(shù)的定義域(x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty))，避免忽略定義域限制導(dǎo)致單調(diào)性判斷錯(cuò)誤。二、基本初等函數(shù)的綜合應(yīng)用（一）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像變換指數(shù)函數(shù)(y=a^x)與對(duì)數(shù)函數(shù)(y=\log_ax)（(a>0,a\neq1)）的圖像變換包括：平移變換：(y=a^{x+h}+k)表示將(y=a^x)向左平移(h)個(gè)單位（(h>0)），向上平移(k)個(gè)單位（(k>0)）對(duì)稱(chēng)變換：(y=-a^x)與(y=a^x)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；(y=a^{-x})與(y=a^x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)翻折變換：(y=|a^x-1|)的圖像可由(y=a^x)向下平移1個(gè)單位后，將x軸下方部分沿x軸翻折得到在解決方程(|2^x-1|=k)的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)繪制函數(shù)圖像可知：當(dāng)(k<0)時(shí)無(wú)解；當(dāng)(k=0)或(k\geq1)時(shí)有1個(gè)解；當(dāng)(0<k<1)時(shí)有2個(gè)解。這種數(shù)形結(jié)合的方法是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的重要手段。（二）冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)(y=x^\alpha)的圖像與性質(zhì)取決于指數(shù)(\alpha)的取值：當(dāng)(\alpha>0)時(shí)，函數(shù)在((0,+\infty))單調(diào)遞增，圖像過(guò)原點(diǎn)當(dāng)(\alpha<0)時(shí)，函數(shù)在((0,+\infty))單調(diào)遞減，圖像不過(guò)原點(diǎn)特別地，需掌握常見(jiàn)冪函數(shù)的圖像特征：(y=x^{\frac{1}{2}})（定義域([0,+\infty))，上凸曲線）(y=x^3)（奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，過(guò)原點(diǎn)）(y=x^{-1})（反比例函數(shù)，圖像為雙曲線）在比較冪值大小時(shí)，可采用中間值法，如比較(2.1^{0.3})、(0.3^{2.1})、(\log_{2.1}0.3)的大小，通過(guò)與中間值0和1比較，得到(\log_{2.1}0.3<0.3^{2.1}<2.1^{0.3})。三、函數(shù)與方程的核心題型解析（一）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：若函數(shù)(f(x))在閉區(qū)間([a,b])上連續(xù)，且(f(a)f(b)<0)，則函數(shù)在((a,b))內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。使用該定理時(shí)需注意：定理僅能判斷存在性，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)需保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性若(f(a)f(b)>0)，函數(shù)仍可能存在零點(diǎn)（如二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)）在判斷方程(2^x=x^2)的實(shí)根個(gè)數(shù)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)(f(x)=2^x-x^2)，通過(guò)計(jì)算特殊點(diǎn)函數(shù)值：(f(-1)=2^{-1}-(-1)^2=-0.5<0)(f(0)=1-0=1>0)(f(3)=8-9=-1<0)(f(5)=32-25=7>0)結(jié)合函數(shù)圖像可知方程有三個(gè)實(shí)根，分別位于區(qū)間((-1,0))、((2,3))和((4,5))內(nèi)。（二）二分法求方程近似解二分法是求方程近似解的重要數(shù)值方法，其步驟包括：確定初始區(qū)間([a,b])，滿足(f(a)f(b)<0)計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)(c=\frac{a+b}{2})根據(jù)(f(c))與(f(a))的符號(hào)關(guān)系確定新的有根區(qū)間重復(fù)步驟2-3，直至達(dá)到精度要求以方程(x^3-2x-5=0)在區(qū)間([2,3])內(nèi)的近似解（精確到0.01）為例：初始區(qū)間：(f(2)=-1)，(f(3)=16)，區(qū)間([2,3])第一次二分：(c=2.5)，(f(2.5)=5.625>0)，新區(qū)間([2,2.5])第二次二分：(c=2.25)，(f(2.25)=1.8906>0)，新區(qū)間([2,2.25])經(jīng)過(guò)6次二分后得到近似解(x\approx2.09)使用二分法時(shí)需注意控制迭代次數(shù)與精度的關(guān)系，通常滿足(\frac{b-a}{2^n}<\epsilon)（(\epsilon)為精度要求）。四、函數(shù)不等式的證明技巧（一）構(gòu)造函數(shù)法證明不等式對(duì)于形如(f(x)>g(x))的不等式證明，可構(gòu)造輔助函數(shù)(h(x)=f(x)-g(x))，通過(guò)證明(h(x)_{\min}>0)實(shí)現(xiàn)。以證明(x>\ln(x+1))（(x>0)）為例：構(gòu)造函數(shù)(h(x)=x-\ln(x+1))求導(dǎo)得(h'(x)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1})當(dāng)(x>0)時(shí)，(h'(x)>0)，函數(shù)(h(x))單調(diào)遞增因此(h(x)>h(0)=0)，即(x>\ln(x+1))此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特征合理構(gòu)造函數(shù)，常見(jiàn)構(gòu)造形式包括差函數(shù)、商函數(shù)及輔助參數(shù)函數(shù)等。（二）利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式當(dāng)函數(shù)(f(x))在區(qū)間(I)上單調(diào)遞增時(shí)，對(duì)于任意(x_1,x_2\inI)，若(x_1>x_2)則有(f(x_1)>f(x_2))。證明不等式(e^x>x+1)（(x\neq0)）時(shí)：構(gòu)造函數(shù)(f(x)=e^x-x-1)求導(dǎo)得(f'(x)=e^x-1)分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)：當(dāng)(x>0)時(shí)，(f'(x)>0)；當(dāng)(x<0)時(shí)，(f'(x)<0)函數(shù)在(x=0)處取得最小值(f(0)=0)，因此當(dāng)(x\neq0)時(shí)，(f(x)>0)該方法適用于證明與函數(shù)增量相關(guān)的不等式，需注意找準(zhǔn)函數(shù)的極值點(diǎn)與單調(diào)區(qū)間。五、函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用（一）含參函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題含參函數(shù)零點(diǎn)分布問(wèn)題需結(jié)合函數(shù)圖像與根的判別式求解，以二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0))在區(qū)間((m,n))內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn)為例，需滿足以下條件：(\Delta=b^2-4ac>0)（判別式條件）(a\cdotf(m)>0)（端點(diǎn)函數(shù)值同號(hào)）(a\cdotf(n)>0)（端點(diǎn)函數(shù)值同號(hào)）(m<-\frac{2a}<n)（對(duì)稱(chēng)軸位置條件）例如，已知函數(shù)(f(x)=x^2+(m-1)x+1)在區(qū)間((0,2))內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(m)的取值范圍：判別式：((m-1)^2-4>0\Rightarrowm<-1)或(m>3)端點(diǎn)值：(f(0)=1>0)，(f(2)=2m+3>0\Rightarrowm>-\frac{3}{2})對(duì)稱(chēng)軸：(0<\frac{1-m}{2}<2\Rightarrow-3<m<1)聯(lián)立解得(m\in(-\frac{3}{2},-1))，此類(lèi)問(wèn)題需注意結(jié)合二次函數(shù)開(kāi)口方向靈活調(diào)整不等號(hào)方向。（二）函數(shù)建模與優(yōu)化問(wèn)題函數(shù)建模是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的重要工具，常見(jiàn)模型包括：二次函數(shù)模型：用于解決利潤(rùn)最大化、用料最省等優(yōu)化問(wèn)題指數(shù)函數(shù)模型：用于描述人口增長(zhǎng)、放射性衰變等指數(shù)增長(zhǎng)/衰減過(guò)程分段函數(shù)模型：用于處理不同區(qū)間有不同對(duì)應(yīng)法則的問(wèn)題以成本優(yōu)化問(wèn)題為例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品成本增加10元，已知總收益函數(shù)為(R(x)=\begin{cases}40x-0.5x^2&(0\leqx\leq40)\800&(x>40)\end{cases})（單位：元），則利潤(rùn)函數(shù)為(L(x)=R(x)-C(x))，其中(C(x)=2000+10x)。通過(guò)求導(dǎo)可得當(dāng)產(chǎn)量(x=30)時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大值(L(30)=-1550)元，此時(shí)應(yīng)判斷繼續(xù)生產(chǎn)是否經(jīng)濟(jì)，若長(zhǎng)期虧損則需考慮停產(chǎn)決策。解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需注意：合理設(shè)定自變量與因變量確定函數(shù)定義域的實(shí)際意義通過(guò)求導(dǎo)或二次函數(shù)頂點(diǎn)公式求最值驗(yàn)證結(jié)果的實(shí)際可行性六、高考熱點(diǎn)題型突破（一）函數(shù)圖像的識(shí)別與應(yīng)用函數(shù)圖像識(shí)別題需掌握常見(jiàn)圖像變換規(guī)律，如：函數(shù)(f(|x|))的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)(|f(x)|)的圖像將原函數(shù)x軸下方部分翻折到上方函數(shù)(f(x+a))的圖像由(f(x))向左平移(|a|)個(gè)單位得到在解決函數(shù)圖像選擇題時(shí)，可采用特殊值法與導(dǎo)數(shù)法結(jié)合：代入特殊點(diǎn)（如(x=0,1,-1)）判斷函數(shù)值符號(hào)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)位置觀察函數(shù)的奇偶性與周期性特征例如，識(shí)別函數(shù)(f(x)=\frac{x\cdote^x}{e^x-1})的圖像：定義域：(x\neq0)奇偶性：(f(-x)=\frac{-x\cdote^{-x}}{e^{-x}-1}=\frac{x}{e^x-1}=f(x))，為偶函數(shù)當(dāng)(x>0)時(shí)，(f(x)>0)且單調(diào)遞增，據(jù)此可準(zhǔn)確識(shí)別圖像特征。（二）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題解題策略函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題通常包含以下考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線方程求解）函數(shù)單調(diào)性與極值、最值的求法導(dǎo)數(shù)不等式的證明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論解題基本步驟：確定函數(shù)定義域求導(dǎo)并化簡(jiǎn)導(dǎo)函數(shù)分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)結(jié)合函數(shù)圖像解決相關(guān)問(wèn)題以2024年高考數(shù)學(xué)真題為例：已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-bx-1)，當(dāng)(a=0,b=1)時(shí)，證明(f(x)\geq0)恒成立。求導(dǎo)：(f'(x)=e^x-1)極值點(diǎn)：令(f'(x)=0)得(x=0)單調(diào)性：(x<0)時(shí)(f'(x)<0)，(x>0)時(shí)(f'(x)>0)最小值：(