2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“幾何板塊”綜合拔高試題一、選擇題（本大題共10小題，每題6分，共60分）已知球O的半徑為3，平面α、β互相垂直且同時截球O得兩個圓，兩圓公共弦長為2√3，若其中一個圓的半徑為√5，則兩圓圓心距為（）A.√2B.√3C.2D.√5日晷是中國古代計時儀器，其原理是利用晷針投影測定時間。若地球半徑為R，在北緯60°處放置日晷，晷面與赤道平面平行，此時晷針與當(dāng)?shù)厮矫嫠山堑恼抑禐椋ǎ〢.1/2B.√3/2C.√2/2D.√3/3直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=120°，則外接球表面積為（）A.8πB.12πC.16πD.20π雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為√3的直線與C的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則C的離心率為（）A.√5B.2C.√7/2D.3/2圓錐底面半徑為1，高為2√2，過頂點(diǎn)作截面截圓錐為體積相等的兩部分，則截面與底面所成二面角的余弦值為（）A.1/3B.2/3C.√5/3D.2√2/3橢圓E：x2/4+y2/3=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在E上，且PF⊥x軸，過P作兩條直線分別與E交于A、B兩點(diǎn)，若直線PA、PB的斜率之和為0，則直線AB的斜率為（）A.-1/2B.-1/4C.1/4D.1/2正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√5，E為PC中點(diǎn)，過AE作平面α與PB交于F，則三棱錐F-ABE的體積為（）A.1/3B.2/3C.1D.4/3拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，AM⊥l于M，BM交x軸于N，若|FN|=2，則|AB|=（）A.3B.4C.5D.6直三棱柱ABC-A?B?C?中，∠ABC=90°，AB=BC=AA?=2，M為A?C?中點(diǎn)，N在線段BC?上，且BN=2NC?，則異面直線MN與AB?所成角的余弦值為（）A.√10/10B.√5/5C.2√5/5D.3√10/10在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC?B?內(nèi)運(yùn)動，且滿足AP與平面ADD?A?所成角的正切值是AP與平面CDD?C?所成角正切值的2倍，則點(diǎn)P的軌跡長度為（）A.√5B.2C.√3D.π/2二、填空題（本大題共6小題，每題6分，共36分）魯班鎖是中國傳統(tǒng)智力玩具，其核心部件為十字立方體（由6個棱長為1的正四棱柱組成），將該十字立方體放入球形容器中，則容器的最小表面積為________。已知圓C：(x-2)2+y2=4，點(diǎn)P在直線x+y+2=0上，過P作圓C的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，則向量PA·PB的最小值為________。菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，將△ABD沿BD折起，使二面角A-BD-C為120°，則三棱錐A-BCD的外接球表面積為________。雙曲線x2/4-y2=1的左頂點(diǎn)為A，過A作斜率為k的直線l與雙曲線交于另一點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，若|AB|=2|BC|，則k2=________。正三棱柱ABC-A?B?C?的底面邊長為2，高為4，點(diǎn)D在棱AA?上，且AD=1，點(diǎn)E在棱CC?上運(yùn)動，當(dāng)三棱錐D-B?C?E的體積最大時，異面直線BD與B?E所成角的正切值為________。在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，動點(diǎn)P滿足∠APB=45°，則點(diǎn)P的軌跡方程為________，該軌跡圍成圖形的面積為________。（本小題第一空3分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共84分）（14分）如圖，直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D為BB?中點(diǎn)，E為A?B?中點(diǎn)。（1）求證：A?C⊥平面CDE；（2）求二面角A-DE-C的正弦值。（14分）已知橢圓E：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在E上，且MF⊥x軸，|MF|=1。（1）求橢圓E的方程；（2）過F的直線l與E交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，若|AB|=4|PF|，求直線l的方程。（14分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD//BC，∠ABC=90°，AD=2BC=2AB=2，PA⊥底面ABCD，PA=3，E為PD中點(diǎn)。（1）在線段PC上是否存在點(diǎn)F，使BF//平面AEC？若存在，求PF/FC的值；若不存在，說明理由；（2）求點(diǎn)D到平面AEC的距離。（14分）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，且當(dāng)直線AB斜率為1時，|AB|=8。（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)Q(4,0)作直線l與C交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M'，求證：直線M'N恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。（14分）如圖，三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=√2，BC=2，D為BC中點(diǎn)。（1）求證：平面PBC⊥平面PAD；（2）點(diǎn)E在棱PB上，且PE=λEB，若二面角E-AC-B的余弦值為√3/3，求λ的值