2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”設(shè)計(jì)試題（一）題目背景隨著城市電動(dòng)自行車(chē)保有量的快速增長(zhǎng)，校園及周邊區(qū)域的交通安全問(wèn)題日益凸顯。某中學(xué)門(mén)口的十字路口在上下學(xué)高峰期頻繁出現(xiàn)電動(dòng)自行車(chē)與行人搶道、闖紅燈等現(xiàn)象，導(dǎo)致交通擁堵和安全隱患。為優(yōu)化該路口的交通管理，學(xué)校聯(lián)合交管部門(mén)計(jì)劃通過(guò)數(shù)學(xué)建模方法制定更合理的信號(hào)燈配時(shí)方案，并評(píng)估不同管理措施的效果?；A(chǔ)數(shù)據(jù)交通流量調(diào)查：通過(guò)智能攝像頭采集到該路口連續(xù)5天（周一至周五）的早高峰（7:30-8:30）交通數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下表（單位：輛/小時(shí)）：時(shí)段東向西（直行）西向東（直行）南向北（直行）北向南（直行）右轉(zhuǎn)車(chē)輛（全方向）行人流量（人次/小時(shí)）7:30-7:50180160120110802407:50-8:102402201801601003208:10-8:30150140908060180道路條件：路口為標(biāo)準(zhǔn)十字交叉，東西方向道路寬12米，南北方向?qū)?0米；右轉(zhuǎn)車(chē)輛不受信號(hào)燈控制，但需禮讓行人?，F(xiàn)有信號(hào)燈配時(shí)：東西方向直行綠燈30秒，黃燈5秒，紅燈25秒南北方向直行綠燈25秒，黃燈5秒，紅燈30秒行人過(guò)街綠燈15秒（與對(duì)應(yīng)方向機(jī)動(dòng)車(chē)綠燈同步）問(wèn)題設(shè)計(jì)問(wèn)題1：交通流量分析與可視化（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，繪制早高峰三個(gè)時(shí)段各方向機(jī)動(dòng)車(chē)流量的柱狀圖，并計(jì)算全時(shí)段（7:30-8:30）的平均流量；（2）通過(guò)計(jì)算方差分析不同時(shí)段流量的波動(dòng)程度，判斷哪個(gè)方向的交通流量最不穩(wěn)定，并分析原因。問(wèn)題2：信號(hào)燈配時(shí)優(yōu)化模型（1）定義“車(chē)輛等待時(shí)間”為某方向所有車(chē)輛在路口的平均滯留時(shí)間（秒/輛），假設(shè)車(chē)輛到達(dá)服從均勻分布，且綠燈期間車(chē)輛能以2輛/秒的速度通過(guò)路口。建立單方向車(chē)輛等待時(shí)間與綠燈時(shí)長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系（提示：考慮紅燈期間的車(chē)輛累積量）；（2）若將信號(hào)燈周期（紅+黃+綠燈總時(shí)長(zhǎng)）固定為60秒，且東西方向與南北方向綠燈時(shí)長(zhǎng)之和為50秒（黃燈各5秒），建立以“全路口平均等待時(shí)間最小”為目標(biāo)的優(yōu)化模型，求解最優(yōu)綠燈配時(shí)方案。問(wèn)題3：管理措施效果評(píng)估為減少電動(dòng)自行車(chē)違規(guī)行為，交管部門(mén)擬采取以下兩種措施：措施A：增設(shè)行人過(guò)街天橋，預(yù)計(jì)可使地面行人流量減少40%，但會(huì)增加建設(shè)成本；措施B：在路口設(shè)置電動(dòng)自行車(chē)專(zhuān)用等待區(qū)，預(yù)計(jì)可提高綠燈期間車(chē)輛通過(guò)率至2.5輛/秒，但需占用部分道路空間。（1）分別建立兩種措施下的車(chē)輛等待時(shí)間模型，計(jì)算優(yōu)化后的全路口平均等待時(shí)間；（2）若措施A的成本為15萬(wàn)元，措施B的成本為5萬(wàn)元，假設(shè)每減少1秒平均等待時(shí)間可產(chǎn)生2萬(wàn)元的社會(huì)效益（如減少擁堵、降低事故風(fēng)險(xiǎn)），從成本效益角度選擇更優(yōu)方案（假設(shè)措施使用壽命均為5年）。模型構(gòu)建提示問(wèn)題2（1）參考模型：設(shè)某方向綠燈時(shí)長(zhǎng)為(G)秒，紅燈時(shí)長(zhǎng)為(R)秒，流量為(q)輛/小時(shí)。紅燈期間累積車(chē)輛數(shù)為(\frac{q\cdotR}{3600})，綠燈期間通過(guò)車(chē)輛數(shù)為(2G)。若(2G\geq\frac{q\cdotR}{3600})（即綠燈期間能清空累積車(chē)輛），則等待時(shí)間(T=\frac{R}{2})（均勻到達(dá)時(shí)的平均等待時(shí)間）；否則需考慮排隊(duì)車(chē)輛的額外等待時(shí)間。優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)：全路口平均等待時(shí)間(\overline{T}=\sum\frac{q_i\cdotT_i}{\sumq_i})，其中(q_i)為各方向流量，(T_i)為對(duì)應(yīng)方向的車(chē)輛等待時(shí)間。數(shù)據(jù)處理工具：可使用Excel或Python（推薦庫(kù)：matplotlib、numpy）進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化和模型求解，允許使用計(jì)算器輔助計(jì)算。數(shù)據(jù)處理要求圖表規(guī)范：所有圖表需標(biāo)注坐標(biāo)軸名稱(chēng)、單位及圖例，問(wèn)題1（1）的柱狀圖需按時(shí)段分組對(duì)比；模型假設(shè)：需明確列出建模過(guò)程中的關(guān)鍵假設(shè)（如車(chē)輛到達(dá)分布、通過(guò)率恒定等），并分析假設(shè)對(duì)結(jié)果的影響；結(jié)果分析：對(duì)求解得到的綠燈配時(shí)方案和措施評(píng)估結(jié)果進(jìn)行合理性解釋?zhuān)懻撃Ｐ偷木窒扌裕ㄈ缥纯紤]左轉(zhuǎn)車(chē)輛、突發(fā)交通事件等）。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（總分100分）數(shù)據(jù)處理與可視化（20分）：圖表準(zhǔn)確性、方差計(jì)算正確、波動(dòng)原因分析合理；模型構(gòu)建與求解（40分）：?jiǎn)栴}2中函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)正確（15分），優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)及約束條件完整（15分），求解過(guò)程規(guī)范（10分）；措施評(píng)估（30分）：兩種措施的模型修正合理（15分），成本效益分析方法正確（10分），方案選擇依據(jù)充分（5分）；創(chuàng)新性與表達(dá)（10分）：提出額外優(yōu)化建議（如動(dòng)態(tài)配時(shí)、智能監(jiān)測(cè)等），論文結(jié)構(gòu)清晰、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。說(shuō)明本試題鼓勵(lì)團(tuán)隊(duì)協(xié)作（3人一組），需提交建模報(bào)告（1500字左右），包含問(wèn)題分析、模型構(gòu)建、求解過(guò)程、結(jié)果討論及參考文獻(xiàn)；可使用計(jì)算器、Excel或編程軟件輔助計(jì)算，但需在報(bào)告中