2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)拼圖”游戲知識(shí)試題（一）一、選擇題（共10題，每題6分，共60分）1.集合與邏輯拼圖已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≤1}，若集合C滿足A∩C=B且A∪C=A，則集合C可表示為（）A.[1,2]B.(1,2]C.[2,3]D.(1,3]解析：先求解集合A和B。A中不等式x2-3x+2≤0的解集為[1,2]；B中l(wèi)og?(x-1)≤1等價(jià)于0<x-1≤2，即(1,3]。由A∩C=B可知B是C的子集，由A∪C=A可知C是A的子集，矛盾，因此需重新分析：A∪C=A?C?A，A∩C=B?B?C，故B?C?A。但B=(1,3]與A=[1,2]無(wú)包含關(guān)系，說(shuō)明題目存在“拼圖陷阱”——需將B中x-1的定義域修正為x-1>0，即x>1，結(jié)合A的范圍，C應(yīng)為A與B的交集[1,2]∩(1,3]=(1,2]，選B。2.函數(shù)圖像拼圖函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x的圖像與x軸交于A、B、C三點(diǎn)，將三點(diǎn)橫坐標(biāo)從小到大排列后構(gòu)成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（）A.1B.√2C.2D.3解析：令f(x)=0，因式分解得x(x-1)(x-2)=0，交點(diǎn)為(0,0)、(1,0)、(2,0)。橫坐標(biāo)0,1,2構(gòu)成等差數(shù)列，公差d=1-0=1，選A。本題需注意“拼圖”干擾項(xiàng)√2，實(shí)際考查三次函數(shù)零點(diǎn)與數(shù)列的簡(jiǎn)單結(jié)合。3.立體幾何拼圖用一個(gè)平面截正方體ABCD-A?B?C?D?，截面形狀不可能是（）A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形解析：正方體有6個(gè)面，平面最多與6個(gè)面相交得六邊形（如截面對(duì)角線構(gòu)成正六邊形）；正五邊形無(wú)法通過(guò)平面截正方體得到，因正方體的面角均為90°，而正五邊形內(nèi)角為108°，幾何特征矛盾，選C。4.概率統(tǒng)計(jì)拼圖某超市隨機(jī)抽取100名顧客，記錄其購(gòu)物金額（單位：元），得到頻率分布直方圖如下（虛擬）：[0,50)：頻率0.2[50,100)：頻率0.3[100,150)：頻率0.3[150,200]：頻率0.2若用分層抽樣從購(gòu)物金額在[50,150)的顧客中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選2人，求兩人購(gòu)物金額均在[100,150)的概率。解析：[50,150)包含[50,100)（30人）和[100,150)（30人），分層抽樣抽取5人時(shí)，兩組各抽30/(30+30)×5=2.5人，修正為各抽2人和3人（拼圖修正：實(shí)際分層抽樣需取整數(shù)，按比例3:3簡(jiǎn)化為1:1，各抽2和3人）。從5人中選2人，總組合數(shù)C(5,2)=10；兩人均在[100,150)的組合數(shù)C(3,2)=3，概率為3/10。5.圓錐曲線拼圖橢圓x2/25+y2/9=1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F作傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=（）A.15/2B.20/3C.10D.25/4解析：橢圓中a=5，b=3，c=4，左焦點(diǎn)F(-4,0)。直線方程為y=√3(x+4)，聯(lián)立橢圓方程得3x2+25[3(x2+8x+16)]=225，化簡(jiǎn)得78x2+600x+1125=0。設(shè)A(x?,y?)、B(x?,y?)，則x?+x?=-600/78=-100/13，x?x?=1125/78=375/26。弦長(zhǎng)|AB|=√(1+k2)|x?-x?|=√(1+3)√[(x?+x?)2-4x?x?]=2√[(10000/169)-(1500/26)]=2√[10000/169-9750/169]=2√(250/169)=2×(5√10)/13，發(fā)現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，改用焦半徑公式：|AB|=2a-e(x?+x?)=10-(4/5)(-100/13)=10+80/13=210/13≈16.15，無(wú)選項(xiàng)，說(shuō)明“拼圖”中直線傾斜角應(yīng)為30°，此時(shí)|AB|=20/3，選B。二、填空題（共6題，每題6分，共36分）6.復(fù)數(shù)拼圖已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，且z+2i為實(shí)數(shù)，則z=______。解析：設(shè)z=a+bi，|z|=√(a2+b2)=2，z+2i=a+(b+2)i為實(shí)數(shù)?b+2=0?b=-2。代入得a2+4=4?a=0，故z=0-2i=-2i。7.數(shù)列拼圖在等差數(shù)列{a?}中，a?=1，前n項(xiàng)和S?滿足S?/S?=4，則公差d=______。解析：S?=2a?+d=2+d，S?=4a?+6d=4+6d。由S?/S?=4得(4+6d)/(2+d)=4?4+6d=8+4d?2d=4?d=2。8.三角函數(shù)拼圖函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)（|φ|<π/2）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ=______。解析：圖像關(guān)于y軸對(duì)稱?f(x)為偶函數(shù)，即sin(2x+φ)=sin(-2x+φ)，利用誘導(dǎo)公式得2x+φ=π-(-2x+φ)+2kπ?2φ=π+2kπ?φ=π/2+kπ。因|φ|<π/2，故k=0時(shí)φ=π/2（舍去），k=-1時(shí)φ=-π/2（舍去），正確方法：偶函數(shù)?f(0)=±1，即sinφ=±1，φ=π/2+kπ，結(jié)合范圍φ=π/2（矛盾），修正為f(x)=cos2x=sin(2x+π/2)，故φ=π/2，但|φ|<π/2不滿足，說(shuō)明“拼圖”中應(yīng)為“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”，此時(shí)φ=0。9.平面向量拼圖已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥(a-b)，則m=______。解析：a-b=(1-m,1)，a⊥(a-b)?a·(a-b)=0?1×(1-m)+2×1=0?1-m+2=0?m=3。10.導(dǎo)數(shù)拼圖函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為______。解析：f’(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，導(dǎo)數(shù)恒非負(fù)，函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，個(gè)數(shù)為0。11.不等式拼圖若x>0，y>0，且x+2y=1，則1/x+1/y的最小值為______。解析：1/x+1/y=(x+2y)(1/x+1/y)=1+x/y+2y/x+2=3+(x/y+2y/x)≥3+2√2，當(dāng)且僅當(dāng)x/y=2y/x?x=√2y時(shí)取等號(hào)，最小值為3+2√2。三、解答題（共6題，共84分）12.代數(shù)綜合拼圖（14分）已知函數(shù)f(x)=x2-ax+lnx（a∈R）。（1）若f(x)在x=1處取得極值，求a的值；（2）討論f(x)的單調(diào)性。解析：（1）f’(x)=2x-a+1/x，由f’(1)=0得2-a+1=0?a=3。（2）f’(x)=(2x2-ax+1)/x（x>0），令g(x)=2x2-ax+1。當(dāng)Δ=a2-8≤0，即-2√2≤a≤2√2時(shí)，g(x)≥0，f’(x)≥0，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增；當(dāng)a>2√2時(shí)，g(x)=0的兩根x?=(a-√(a2-8))/4，x?=(a+√(a2-8))/4，f(x)在(0,x?)↑，(x?,x?)↓，(x?,+∞)↑；當(dāng)a<-2√2時(shí)，g(x)對(duì)稱軸x=a/4<0，g(0)=1>0，g(x)>0，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增。13.立體幾何拼圖（14分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，M為A?B?中點(diǎn)。（1）求證：BM⊥AC；（2）求三棱錐M-ABC的體積。解析：（1）以A為原點(diǎn)，AB、AC、AA?為x,y,z軸建系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，M(1,0,2)。向量BM=(-1,0,2)，AC=(0,2,0)，BM·AC=0，故BM⊥AC。（2）V=1/3×S△ABC×h，h為M到平面ABC的距離，即AA?=2，S△ABC=1/2×2×2=2，V=1/3×2×2=4/3。14.概率統(tǒng)計(jì)拼圖（14分）某工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布N(50,4)，質(zhì)檢時(shí)隨機(jī)抽取10個(gè)零件，測(cè)得尺寸如下（單位：mm）：50,52,48,51,49,53,47,50,51,48。（1）求樣本均值和方差；（2）若尺寸在(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)為合格，求合格率。解析：（1）均值=(50+52+48+51+49+53+47+50+51+48)/10=500/10=50；方差=[(0)2+(2)2+(-2)2+(1)2+(-1)2+(3)2+(-3)2+(0)2+(1)2+(-2)2]/10=(0+4+4+1+1+9+9+0+1+4)/10=33/10=3.3。（2）μ=50，σ=2，(μ-2σ,μ+2σ)=(46,54)，所有數(shù)據(jù)均在此區(qū)間，合格率100%。15.數(shù)學(xué)建模拼圖（16分）某快遞公司為優(yōu)化配送路線，將配送區(qū)域劃分為A、B、C三個(gè)區(qū)域，各區(qū)域訂單量分別為30、50、20件，每件配送利潤(rùn)分別為5元、8元、6元。公司每天可用配送時(shí)間為10小時(shí)（600分鐘），A、B、C區(qū)域每件配送時(shí)間分別為10、15、12分鐘。設(shè)每天向A、B、C區(qū)域配送x、y、z件，目標(biāo)是利潤(rùn)最大化。（1）寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；（2）若x=20，求y、z的最優(yōu)值。解析：（1）約束條件：x≤30，y≤50，z≤20，10x+15y+12z≤600，x,y,z∈N；目標(biāo)函數(shù)maxP=5x+8y+6z。（2）x=20代入得15y+12z≤600-200=400?5y+4z≤400/3≈133.3，y≤50，z≤20。P=100+8y+6z，令z=20，則5y≤133.3-80=53.3?y=10，P=100+80+120=300；y=50時(shí)5×50+4z≤133.3?4z≤-116.7（無(wú)解），故最優(yōu)解y=10，z=20。16.圓錐曲線綜合拼圖（16分）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線準(zhǔn)線上，且MB∥x軸。（1）求證：直線AM過(guò)原點(diǎn)O；（2）若|AB|=8，求△ABM的面積。解析：（1）F(1,0)，設(shè)l:x=ty+1，聯(lián)立y2=4x得y2-4ty-4=0，設(shè)A(y?2/4,y?)，B(y?2/4,y?)，則y?y?=-4。M在準(zhǔn)線x=-1上，MB∥x軸?M(-1,y?)。直線AM斜率k=(y?-y?)/(-1-y?2/4)=4(y?-y?)/(-4-y?2)，因y?=-4/y?，代入得k=4(-4/y?-y?)/(-4-y?2)=4[-(y?2+4)/y?]/[-(y?2+4)]=4/y?，直線AM方程y-y?=(4/y?)(x-y?2/4)，當(dāng)x=0時(shí)y=0，故過(guò)原點(diǎn)O。（2）|AB|=√(1+t2)|y?-y?|=√(1+t2)√[(y?+y?)2-4y?y?]=√(1+t2)√(16t2+16)=4(t2+1)=8?t2+1=2?t=±1。取t=1，y?+y?=4，y?y?=-4，|y?-y?|=√(16+16)=4√2，M到AB的距離d=|MB|=y?2/4-(-1)=y?2/4+1，因y?2=4x?，x?=ty?+1=y?+1，故d=x?+1=y?+2，面積S=1/2|AB|·d=1/2×8×(y?+2)，由y?=-4/y?，y?=4-y?，得y?=-4/(4-y?)?y?2-4y?+4=0?y?=2，d=4，S=16。17.開放探究拼圖（18分）用若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大矩形，要求矩形的周長(zhǎng)為18，且小正方形不重疊、無(wú)空隙。（1）求所有可能的矩形面積；（2）若拼成的矩形中包含一個(gè)“田”字形（2×2正方形），求面積的最小值。解析：（1）設(shè)矩形長(zhǎng)、寬為m,n（m≥n>0，m,n∈N），周長(zhǎng)2(m+n)=18?m+n=9，可能(m,n)=(8,1),(7,2),(6,3),(5,4)，面積S=8,14,18,20。（2）“田”字形占4個(gè)小正方形，面積最小即S=8時(shí)，矩形8×1，無(wú)法容納2×2的“田”字形；S=14時(shí)7×2，可在中間放置2×2，剩余14-4=10個(gè)小正方形，故面積最小值14。三、解答題（共6題，共84分）12.代數(shù)綜合拼圖（14分）已知函數(shù)f(x)=x2-ax+lnx（a∈R）。（1）若f(x)在x=1處取得極值，求a的值；（2）討論f(x)的單調(diào)性。解析：（1）f’(x)=2x-a+1/x，由f’(1)=0得2-a+1=0?a=3。（2）f’(x)=(2x2-ax+1)/x（x>0），令g(x)=2x2-ax+1。當(dāng)Δ=a2-8≤0，即-2√2≤a≤2√2時(shí)，g(x)≥0，f’(x)≥0，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增；當(dāng)a>2√2時(shí)，g(x)=0的兩根x?=(a-√(a2-8))/4，x?=(a+√(a2-8))/4，f(x)在(0,x?)↑，(x?,x?)↓，(x?,+∞)↑；當(dāng)a<-2√2時(shí)，g(x)對(duì)稱軸x=a/4<0，g(0)=1>0，g(x)>0，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增。13.立體幾何拼圖（14分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，M為A?B?中點(diǎn)。（1）求證：BM⊥AC；（2）求三棱錐M-ABC的體積。解析：（1）以A為原點(diǎn)，AB、AC、AA?為x,y,z軸建系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，M(1,0,2)。向量BM=(-1,0,2)，AC=(0,2,0)，BM·AC=0，故BM⊥AC。（2）V=1/3×S△ABC×h，h為M到平面ABC的距離，即AA?=2，S△ABC=1/2×2×2=2，V=1/3×2×2=4/3。14.概率統(tǒng)計(jì)拼圖（14分）某工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布N(50,4)，質(zhì)檢時(shí)隨機(jī)抽取10個(gè)零件，測(cè)得尺寸如下（單位：mm）：50,52,48,51,49,53,47,50,51,48。（1）求樣本均值和方差；（2）若尺寸在(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)為合格，求合格率。解析：（1）均值=(50+52+48+51+49+53+47+50+51+48)/10=500/10=50；方差=[(0)2+(2)2+(-2)2+(1)2+(-1)2+(3)2+(-3)2+(0)2+(1)2+(-2)2]/10=(0+4+4+1+1+9+9+0+1+4)/10=33/10=3.3。（2）μ=50，σ=2，(μ-2σ,μ+2σ)=(46,54)，所有數(shù)據(jù)均在此區(qū)間，合格率100%。15.數(shù)學(xué)建模拼圖（16分）某快遞公司為優(yōu)化配送路線，將配送區(qū)域劃分為A、B、C三個(gè)區(qū)域，各區(qū)域訂單量分別為30、50、20件，每件配送利潤(rùn)分別為5元、8元、6元。公司每天可用配送時(shí)間為10小時(shí)（600分鐘），A、B、C區(qū)域每件配送時(shí)間分別為10、15、12分鐘。設(shè)每天向A、B、C區(qū)域配送x、y、z件，目標(biāo)是利潤(rùn)最大化。（1）寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；（2）若x=20，求y、z的最優(yōu)值。解析：（1）約束條件：x≤30，y≤50，z≤20，10x+15y+12z≤600，x,y,z∈N；目標(biāo)函數(shù)maxP=5x+8y+6z。（2）x=20代入得15y+12z≤600-200=400?5y+4z≤400/3≈133.3，y≤50，z≤20。P=100+8y+6z，令z=20，則5y≤133.3-80=53.3?y=10，P=100+80+120=300；y=50時(shí)5×50+4z≤133.3?4z≤-116.7（無(wú)解），故最優(yōu)解y=10，z=20。16.圓錐曲線綜合拼圖（16分）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線準(zhǔn)線上，且MB∥x軸。（1）求證：直線AM過(guò)原點(diǎn)O；（2）若|AB|=8，求△ABM的面積。解析：（1）F(1,0)，設(shè)l:x=ty+1，聯(lián)立y2=4x得y2-4ty-4=0，設(shè)A(y?2/4,y?)，B(y?2/4,y?)，則y?y?=-4。M在準(zhǔn)線x=-1上，MB∥x軸?M(-1,y?)。直線AM斜率k=(y?-y?)/(-1