2025年上學期高三數(shù)學“數(shù)學軟件應用”初步試題（一）注意事項本試卷共6道大題，滿分150分，考試時間90分鐘?？忌枋褂脭?shù)學軟件（如GeoGebra、MATLAB、Python編程環(huán)境等）完成數(shù)據(jù)處理、圖像繪制及模型求解，保留操作步驟截圖或代碼片段作為答題依據(jù)。所有答案需寫出具體計算過程及軟件輸出結果，結果精確到小數(shù)點后兩位（特殊要求除外）。一、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）1.已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2x+1)，使用數(shù)學軟件繪制其在區(qū)間([-1,3])上的圖像，并判斷下列說法正確的是（）A.函數(shù)在(x=1)處取得極大值B.函數(shù)有兩個零點C.圖像在區(qū)間((2,3))內下凸D.函數(shù)的最小值為(-1)2.用GeoGebra繪制橢圓(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1)，并測量其焦距長度，結果為（）A.(2\sqrt{7})B.(5)C.(2\sqrt{25})D.(7)3.某班級40名學生的數(shù)學成績數(shù)據(jù)如下（單位：分）：85,92,78,90,88,76,95,82,89,80,75,93,86,84,91,79,83,87,94,81,77,96,85,90,82,88,79,86,92,84,80,89,93,87,78,81,95,83,85,91.使用Excel或Python計算該組數(shù)據(jù)的方差，結果最接近（）A.35.6B.42.3C.51.8D.60.24.在空間直角坐標系中，用數(shù)學軟件構建棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)，其中(A(0,0,0))，(B(2,0,0))，(D(0,2,0))，(A_1(0,0,2))。則直線(AC_1)與平面(A_1BD)所成角的正弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{3})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{\sqrt{2}}{2})二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）5.用MATLAB求解微分方程(y''+2y'+y=e^{-x})，初始條件為(y(0)=1)，(y'(0)=0)，則當(x=1)時，(y)的值為________。6.某城市2015-2024年的人口數(shù)量（單位：萬人）如下表所示：|年份|2015|2016|2017|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024||------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------||人口|120|128|135|142|150|158|165|172|180|188|使用Python的numpy.polyfit函數(shù)擬合人口增長的線性回歸方程(y=kx+b)（其中(x)為年份-2015，(y)為人口），則斜率(k)的值為________。7.用GeoGebra繪制函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx)在區(qū)間([0,2\pi])上的圖像，并標記出所有極值點的坐標，其中極大值點的橫坐標為________。三、解答題（本大題共5小題，共115分）8.（20分）已知函數(shù)(f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1)。（1）用數(shù)學軟件繪制函數(shù)圖像，判斷其零點個數(shù)及奇偶性；（2）求函數(shù)在區(qū)間([-1,3])上的最大值和最小值；（3）利用導數(shù)工具分析函數(shù)的單調性，并求出所有拐點的坐標。9.（25分）某工廠生產(chǎn)一種零件，其質量指標(X)服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))?，F(xiàn)隨機抽取100個零件，測量其質量指標值，得到如下頻數(shù)分布表：|質量指標區(qū)間|[18,22)|[22,26)|[26,30)|[30,34)|[34,38)|[38,42]||--------------|---------|---------|---------|---------|---------|---------||頻數(shù)|5|15|30|30|15|5|（1）用Excel或Python計算樣本均值(\bar{x})和樣本標準差(s)，并估計(\mu)和(\sigma)；（2）繪制該正態(tài)分布的概率密度曲線，并計算(P(26<X<38))；（3）若質量指標值在([\mu-2\sigma,\mu+2\sigma])內為合格品，估計該批零件的合格率。10.（20分）在平面直角坐標系中，曲線(C_1:y=x^2-2x+3)與曲線(C_2:y=-x^2+4x-1)相交于A、B兩點。（1）用GeoGebra繪制兩曲線圖像，并求出交點A、B的坐標；（2）計算兩曲線所圍成圖形的面積；（3）求曲線(C_1)在點A處的切線方程，并判斷該切線與曲線(C_2)是否有其他交點。11.（25分）某公司計劃投資A、B兩種理財產(chǎn)品，已知A產(chǎn)品的年化收益率(X)（單位：%）服從均勻分布(U(4,8))，B產(chǎn)品的年化收益率(Y)（單位：%）服從正態(tài)分布(N(6,1))。（1）用MATLAB或Python生成10000個A產(chǎn)品收益率的隨機數(shù)，繪制頻率分布直方圖，并計算樣本均值；（2）計算(P(X>6))和(P(Y>6))，比較兩種產(chǎn)品收益率超過6%的概率；（3）若該公司投資A產(chǎn)品100萬元，B產(chǎn)品200萬元，求總收益(Z=100X+200Y)的數(shù)學期望(E(Z))和方差(D(Z))。12.（25分）如圖，在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(BC=2\sqrt{2})，(PA=3)。（1）用GeoGebra構建該三棱錐的三維模型，并測量二面角(P-BC-A)的大??；（2）建立空間直角坐標系，求出平面(PBC)的法向量；（3）若點M為線段PB的中點，用向量方法求直線AM與平面PBC所成角的正弦值。參考答案及評分標準（部分提示）選擇題：1.C2.A3.B4.B填空題：5.(1+e^{-1})（約1.37）6.8.57.(\frac{\pi}{4})解答題：8.（2）最大值為16（x=3時），