2025年上學期高三數學“數學探究活動”設計試題（一）一、情境材料與探究任務情境材料某市為優(yōu)化城市交通網絡，計劃在市中心區(qū)域新建一個大型換乘樞紐。該樞紐選址需綜合考慮周邊居民區(qū)、商業(yè)區(qū)的分布以及現有道路的承載能力。為簡化問題，規(guī)劃部門將相關區(qū)域抽象為平面直角坐標系，其中：居民區(qū)A位于坐標(0,4)，居民區(qū)B位于坐標(6,0)，商業(yè)區(qū)C位于坐標(8,8)；現有主干道為直線l：x+2y-10=0，樞紐需建在主干道l上；為保障居民出行效率，要求樞紐到居民區(qū)A、B的距離之和不超過10km（坐標單位：km）；為促進商業(yè)發(fā)展，樞紐到商業(yè)區(qū)C的距離需盡可能縮短。探究任務建立樞紐位置的數學模型，確定其坐標(x,y)需滿足的約束條件；求出樞紐到商業(yè)區(qū)C的最短距離及對應的坐標；若后期規(guī)劃中主干道l的方程調整為ax+by+c=0（a,b,c為常數，且b≠0），試推廣上述問題的解法，給出樞紐到商業(yè)區(qū)C最短距離的一般表達式。二、具體題目與解題引導題目1：約束條件的數學表達（12分）問題：根據情境材料，寫出樞紐坐標(x,y)需滿足的所有約束條件（無需化簡）。解題引導關鍵信息提?。簶屑~在主干道l上，到A、B距離之和≤10，坐標(x,y)為平面直角坐標系中的點。數學模型轉化：主干道l的方程直接作為約束條件；兩點間距離公式：若點P(x,y)，則PA=√[x2+(y-4)2]，PB=√[(x-6)2+y2]；距離之和的不等關系：PA+PB≤10。注意事項：無需對不等式進行平方化簡，保留原始形式即可。參考答案[\begin{cases}x+2y-10=0,\\sqrt{x^2+(y-4)^2}+\sqrt{(x-6)^2+y^2}\leq10\end{cases}]題目2：最短距離的計算與驗證（20分）問題：在題目1的約束條件下，求樞紐到商業(yè)區(qū)C(8,8)的最短距離，并求出此時樞紐的坐標。解題引導步驟1：將主干道方程代入約束條件，減少變量個數。由x+2y-10=0得x=10-2y，代入距離之和不等式，得到關于y的一元不等式，確定y的取值范圍。步驟2：構建目標函數。樞紐到C的距離d=√[(x-8)2+(y-8)2]，將x=10-2y代入，轉化為關于y的函數d(y)，即：[d(y)=\sqrt{(10-2y-8)^2+(y-8)^2}=\sqrt{(2-2y)^2+(y-8)^2}]步驟3：化簡目標函數并求最值。平方去根號（距離非負，d最小等價于d2最?。篬d^2(y)=(2-2y)^2+(y-8)^2=4(y-1)^2+(y-8)^2]展開合并：d2(y)=4(y2-2y+1)+(y2-16y+64)=5y2-24y+68；二次函數求最值：對稱軸y=-b/(2a)=24/(2×5)=12/5=2.4，開口向上，故y=12/5時d2最小。步驟4：驗證約束條件是否成立。將y=12/5代入x=10-2y，得x=10-2×(12/5)=26/5=5.2。計算PA+PB：PA=√[(26/5)2+(12/5-4)2]=√[(676/25)+(64/25)]=√(740/25)=√29.6≈5.44，PB=√[(26/5-6)2+(12/5)2]=√[(-4/5)2+(144/25)]=√(160/25)=√6.4≈2.53，PA+PB≈7.97≤10，滿足約束條件。參考答案最短距離為√[5×(12/5)2-24×(12/5)+68]=√(5×144/25-288/5+68)=√(144/5-288/5+340/5)=√(196/5)=14√5/5km，樞紐坐標為(26/5,12/5)，即(5.2,2.4)。題目3：問題的推廣與證明（18分）問題：若主干道方程調整為ax+by+c=0（b≠0），商業(yè)區(qū)C坐標為(m,n)，試推導樞紐到C最短距離的一般表達式（用a,b,c,m,n表示）。解題引導類比遷移：沿用題目2的思路，將具體方程推廣為一般形式。步驟1：參數化主干道上的點。由ax+by+c=0（b≠0）得y=(-ax-c)/b，設樞紐坐標為(x,(-ax-c)/b)。步驟2：構建距離平方函數。樞紐到C(m,n)的距離平方：[d^2(x)=(x-m)^2+\left(\frac{-ax-c}-n\right)^2]步驟3：化簡并求導求最值。展開d2(x)：[d^2(x)=(x-m)^2+\left(\frac{-ax-c-bn}\right)^2=(x-m)^2+\frac{(ax+c+bn)^2}{b^2}]對x求導并令導數為0（二次函數開口向上，導數為0時取最小值）：[2(x-m)+\frac{2(ax+c+bn)\cdota}{b^2}=0]解得：[x=\frac{mb^2-a(c+bn)}{a^2+b^2}]代入y=(-ax-c)/b，得y=(\frac{na^2-b(c+am)}{a^2+b^2})。步驟4：計算最短距離。由點到直線的距離公式：點C(m,n)到直線ax+by+c=0的距離為(\frac{|am+bn+c|}{\sqrt{a^2+b^2}})，此即樞紐到C的最短距離（因主干道上的點到C的最短距離即為點到直線的垂線段長度）。參考答案最短距離為(\frac{|am+bn+c|}{\sqrt{a^2+b^2}})。三、拓展探究（選做題，10分）問題：在題目2的條件下，若要求樞紐到A、B的距離之和等于10km，此時樞紐的軌跡是什么曲線？并求出該曲線與主干道l的交點坐標。提示距離之和為定值的點的軌跡：橢圓（需滿足2a>|AB|）；計算|AB|=√[(6-0)2+(0-4)2]=√(36+16)=√52≈7.21，2a=10>7.21，故軌跡為橢圓；橢圓方程：以A、B為焦點，2a=10，c=√13，b2=a2-c2=25-13=12，方程為(\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{12}=1)；聯立橢圓與直線l的方程，解得交點坐標為(6,2)和(26/5,12/5)（即題目2中的最優(yōu)解）。四、評分標準與考查目標題目考查目標核心素養(yǎng)分值1數學建模、信息提取數學抽象、數學建模122函數最值、代數運算、條件驗證數學運算、邏輯推理203一般化推廣、參數運算邏輯推理、數學抽象18拓展圓錐曲線定義、方程聯立直觀想象、數學建模10五、教學建議情境化教學：結合城市規(guī)劃、交通優(yōu)化等真實場景，引導學生體會數學與生活的聯系，提升應用意識；分層探究：基礎層聚焦約束條件轉化和代數運算（題目1、2），提高層側重推廣證明和軌跡分析（題目3、拓展題），適應不同學生的思維水平；多方法對比：在題目2中可對