2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)玩具”中的數(shù)學(xué)知識(shí)試題（一）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）魔方配色問題：標(biāo)準(zhǔn)三階魔方有6個(gè)面，每個(gè)面使用一種顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、白六種顏色供選擇，若規(guī)定紅色面必須與橙色面相對(duì)，黃色面必須與白色面相對(duì)，則不同的配色方案共有（）A.6種B.12種C.24種D.48種九連環(huán)拆解步數(shù)：九連環(huán)的拆解步數(shù)滿足遞推公式(a_n=2a_{n-1}+1)（(n\geq2)），其中(a_1=1)，則拆解7連環(huán)所需的步數(shù)為（）A.63B.127C.255D.511魯班鎖結(jié)構(gòu)幾何：某魯班鎖組件為正三棱柱，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，現(xiàn)將兩個(gè)完全相同的該組件垂直交叉拼接（中軸線重合），則拼接后幾何體的表面積為（）A.(24\sqrt{3}+32)B.(18\sqrt{3}+24)C.(12\sqrt{3}+16)D.(6\sqrt{3}+8)七巧板面積比例：在標(biāo)準(zhǔn)七巧板中，最小的等腰直角三角形與最大的等腰直角三角形的面積之比為（）A.1:4B.1:8C.1:16D.1:32數(shù)獨(dú)網(wǎng)格計(jì)數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)棋盤為9×9網(wǎng)格，劃分為9個(gè)3×3小宮格，若只考慮第一行的數(shù)字排列，要求1-9每個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)一次，且第1、2、3列的數(shù)字分別位于不同的小宮格，則不同的排列方式有（）A.(3!\times3!\times3!)B.(3^3\times3^3\times3^3)C.(9!/(3!)^3)D.(3!\times(3!)^3)漢諾塔移動(dòng)次數(shù)：將5個(gè)圓盤從A柱移到C柱（每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤，且大盤不能疊在小盤上），最少需要移動(dòng)次數(shù)為（）A.15B.31C.63D.127華容道滑塊概率：4×4華容道棋盤（含1個(gè)空格）中，隨機(jī)移動(dòng)一次滑塊（將空格相鄰的滑塊移入空格），則空格從角落位置移到中心位置的概率為（）A.1/4B.1/8C.1/12D.1/16魔方轉(zhuǎn)動(dòng)群階數(shù)：三階魔方的轉(zhuǎn)動(dòng)群階數(shù)（即所有可能的狀態(tài)數(shù)）為（）A.(6!\times3^5\times4!\times2^3)B.(6!\times3^6\times4!\times2^4)C.(8!\times3^7\times12!\times2^11)D.(12!\times3^11\times8!\times2^7)多米諾骨牌覆蓋：用2×1的多米諾骨牌完全覆蓋3×4的矩形區(qū)域，不同的覆蓋方式有（）A.11種B.12種C.13種D.14種九連環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：九連環(huán)的每個(gè)環(huán)都與前一個(gè)環(huán)相連，形成鏈狀結(jié)構(gòu)，若將其抽象為連通圖，則該圖的頂點(diǎn)連通度為（）A.1B.2C.3D.9魔方轉(zhuǎn)動(dòng)周期：將三階魔方的一個(gè)面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°記為操作R，若連續(xù)執(zhí)行操作R，至少需要多少次操作才能使魔方回到初始狀態(tài)（）A.2B.3C.4D.6數(shù)學(xué)華容道最優(yōu)路徑：在3×3華容道中，目標(biāo)滑塊從右下角移到中心位置，若每次只能向上下左右移動(dòng)一格，且不能穿越其他滑塊，則最短路徑包含的移動(dòng)步數(shù)為（）A.3B.4C.5D.6二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）七巧板坐標(biāo)變換：在平面直角坐標(biāo)系中，將七巧板中的正方形板塊以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，若旋轉(zhuǎn)前正方形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)、(1,0)、(1,1)、(0,1)，則旋轉(zhuǎn)后正方形的面積為________。漢諾塔時(shí)間估算：若移動(dòng)漢諾塔的一個(gè)圓盤需要1秒，且遵循遞歸移動(dòng)規(guī)則，則移動(dòng)10個(gè)圓盤所需的時(shí)間為________分鐘（精確到整數(shù)）。魯班鎖體積計(jì)算：某十字形魯班鎖由5個(gè)完全相同的正四棱柱組成，每個(gè)棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為5，若將它們垂直交叉拼接（中軸線重合），則該組合體的體積為________。數(shù)獨(dú)對(duì)角線規(guī)則：在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)基礎(chǔ)上增加“兩條主對(duì)角線也必須包含1-9每個(gè)數(shù)字”的規(guī)則（即對(duì)角線數(shù)獨(dú)），則第一行第一列的單元格（位于左上角）可填入的數(shù)字有________種可能（假設(shè)其他單元格尚未填數(shù)）。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）魔方組合計(jì)數(shù)問題三階魔方的每個(gè)面中心塊顏色固定，邊緣塊有2種顏色，角塊有3種顏色。（1）求魔方邊緣塊的總數(shù)量及不同類型邊緣塊的種數(shù)；（2）若某魔方的白色面中心塊固定在頂面，藍(lán)色面中心塊固定在前面，求頂面邊緣塊中含有藍(lán)色的概率。（12分）九連環(huán)遞推數(shù)列九連環(huán)的安裝步數(shù)滿足遞推關(guān)系(a_n=2a_{n-1}+1)（(n\geq2)），其中(a_1=1)。（1）證明數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求安裝n連環(huán)所需步數(shù)的通項(xiàng)公式；（3）若安裝時(shí)間與步數(shù)成正比，且安裝5連環(huán)需要2分鐘，求安裝10連環(huán)需要的時(shí)間。（12分）魯班鎖空間幾何某魯班鎖組件是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體，在其四個(gè)頂點(diǎn)處各截去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正四面體（截面均為正三角形）。（1）求截去后幾何體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)；（2）求該幾何體的表面積；（3）求該幾何體的體積。（12分）數(shù)獨(dú)邏輯推理標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)中，已知某3×3小宮格內(nèi)數(shù)字分布如下表所示（其中A、B、C為待填數(shù)字）：|2|A|5||---|---|---||B|7|C||8|3|1|且滿足以下條件：①該宮格內(nèi)數(shù)字之和為45②同一行內(nèi)數(shù)字不重復(fù)③A是B和C的等差中項(xiàng)（1）求A、B、C的值；（2）若該宮格位于數(shù)獨(dú)棋盤的中心位置，且其右側(cè)宮格內(nèi)已填數(shù)字包含2、5、8，求A所在列的其他兩個(gè)宮格中不能出現(xiàn)的數(shù)字。（12分）漢諾塔遞歸算法漢諾塔問題中，將n個(gè)圓盤從A柱移到C柱（B柱為輔助柱）的最少步數(shù)為(H(n))。（1）寫出(H(n))的遞歸關(guān)系式及初始條件；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明(H(n)=2^n-1)；（3）若每次移動(dòng)需要1秒，求移動(dòng)完64個(gè)圓盤所需時(shí)間（以年為單位，1年按365天計(jì)算，結(jié)果保留整數(shù)）。（12分）七巧板組合概率標(biāo)準(zhǔn)七巧板由以下7塊組成：1個(gè)正方形、1個(gè)平行四邊形、2個(gè)大三角形、1個(gè)中三角形、2個(gè)小三角形。（1）若隨機(jī)選取2塊，求這2塊能拼成一個(gè)矩形的概率；（2）若將七巧板拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的大正方形，求其中小三角形的內(nèi)切圓半徑；（3）在拼成的大正方形中隨機(jī)投擲一點(diǎn)，求該點(diǎn)落在平行四邊形內(nèi)的概率。四、選做題（本大題共2小題，每小題10分，考生任選一題作答）（10分）魔方群論初步三階魔方的每個(gè)面可以進(jìn)行順時(shí)針（+）或逆時(shí)針（-）90°旋轉(zhuǎn)，定義操作：R：右面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)U：頂面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)F：前面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（1）計(jì)算操作組合(R\cdotU\cdotR^{-1}\cdotU^{-1})的周期（即最小正整數(shù)n使得該組合操作n次后魔方復(fù)原）；（2）若連續(xù)執(zhí)行R操作4次，相當(dāng)于什么操作？說明理由。（10分）多米諾骨牌排列用1×2的多米諾骨牌和2×2的正方形骨牌覆蓋2×n的矩形區(qū)域，設(shè)不同的覆蓋方式數(shù)為(f(n))。（1）求(f(1))、(f(2))、(f(3))的值；（2）建立(f(n))的遞推關(guān)系式；（3）求(f(10))的值。試題設(shè)計(jì)說明：全卷共24題，滿分1