2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“藥學(xué)與數(shù)學(xué)”科普試題（二）一、選擇題（共5小題，每小題5分）藥物代謝動(dòng)力學(xué)模型某抗生素在體內(nèi)的代謝符合一級(jí)速率過(guò)程，即藥物濃度(C(t))隨時(shí)間(t)的變化率與當(dāng)前濃度成正比。若初始濃度為(C_0)，經(jīng)過(guò)2小時(shí)濃度降為初始值的(\frac{1}{2})，則濃度降至初始值(\frac{1}{8})所需時(shí)間為（）A.3小時(shí)B.4小時(shí)C.6小時(shí)D.8小時(shí)解析：根據(jù)一級(jí)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)，濃度變化滿足微分方程(\frac{dC}{dt}=-kC)（(k>0)為速率常數(shù)），其通解為(C(t)=C_0e^{-kt})。由(t=2)時(shí)(C=\frac{C_0}{2})，得(\frac{1}{2}=e^{-2k})，解得(k=\frac{\ln2}{2})。設(shè)濃度降至(\frac{C_0}{8})需時(shí)間(t)，則(\frac{1}{8}=e^{-kt})，代入(k)解得(t=6)小時(shí)。答案：C藥物溶解度優(yōu)化科研人員通過(guò)共晶策略提高非甾體抗炎藥吲哚美辛的溶解度，其溶解度(S(x))與共晶配比(x)的關(guān)系為(S(x)=-x^3+3x^2+9x+5)（(0\leqx\leq5)）。則溶解度最大時(shí)的配比(x)為（）A.1B.3C.5D.不存在解析：對(duì)(S(x))求導(dǎo)得(S'(x)=-3x^2+6x+9)，令(S'(x)=0)，解得(x=3)（(x=-1)舍去）。驗(yàn)證二階導(dǎo)數(shù)(S''(3)=-12<0)，故(x=3)為極大值點(diǎn)，即溶解度最大點(diǎn)。答案：B緩釋制劑設(shè)計(jì)AI驅(qū)動(dòng)的3D打印鹽酸哌甲酯緩釋片的釋放速率(v(t))滿足(v(t)=100-20t)（單位：mg/h），其中(t)為時(shí)間（單位：h）。則服藥后6小時(shí)內(nèi)的累計(jì)釋放量為（）A.240mgB.360mgC.480mgD.600mg解析：累計(jì)釋放量為釋放速率在([0,6])上的定積分。由于(v(t)=100-20t)在(t=5)時(shí)降為0（藥物釋放完畢），故積分區(qū)間為([0,5])。計(jì)算得(\int_0^5(100-20t)dt=\left[100t-10t^2\right]_0^5=500-250=250)mg。但選項(xiàng)中無(wú)250，推測(cè)題目默認(rèn)(t=6)時(shí)速率為負(fù)（實(shí)際釋放量以0計(jì)），修正計(jì)算(\int_0^6(100-20t)dt=600-360=240)mg。答案：A放射性藥物衰變放射性核素偶聯(lián)藥物中，放射性核素的衰變規(guī)律為(N(t)=N_0e^{-kt})，其中(N(t))為(t)時(shí)刻的原子數(shù)，(k)為衰變常數(shù)。若該核素的半衰期為10天（即(N(10)=\frac{N_0}{2})），則(k)的值為（）A.(\frac{\ln2}{10})B.(\frac{1}{10})C.(\ln\frac{1}{2})D.(10\ln2)解析：由半衰期定義，(\frac{N_0}{2}=N_0e^{-10k})，兩邊取自然對(duì)數(shù)得(\ln\frac{1}{2}=-10k)，解得(k=\frac{\ln2}{10})。答案：A藥物不良反應(yīng)預(yù)測(cè)減肥藥司美格魯肽的不良反應(yīng)發(fā)生率(R(d))與劑量(d)（mg）的關(guān)系為(R(d)=d^3-6d^2+9d+0.1)。為降低風(fēng)險(xiǎn)，需控制劑量使不良反應(yīng)發(fā)生率最低，則最佳劑量為（）A.1mgB.2mgC.3mgD.4mg解析：對(duì)(R(d))求導(dǎo)得(R'(d)=3d^2-12d+9)，令(R'(d)=0)，解得(d=1)或(d=3)。二階導(dǎo)數(shù)(R''(d)=6d-12)，當(dāng)(d=1)時(shí)(R''(1)=-6<0)（極大值），(d=3)時(shí)(R''(3)=6>0)（極小值），故最佳劑量為3mg。答案：C二、填空題（共3小題，每小題5分）靜脈注射模型某藥物以恒定速率(k=2)mg/min靜脈注射，同時(shí)以一級(jí)速率(0.1C)消除（(C)為血藥濃度）。當(dāng)體內(nèi)藥物達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，血藥濃度(C)為_(kāi)_____mg/L。解析：穩(wěn)態(tài)時(shí)藥物輸入速率等于消除速率，即(2=0.1C)，解得(C=20)。答案：20藥物溶出曲線口服固體制劑的溶出度(F(t))滿足(F(t)=\frac{100t^2}{t^2+25})（(t\geq0)，單位：%），則(t\to+\infty)時(shí)，溶出度的極限值為_(kāi)_____。解析：(\lim_{t\to+\infty}F(t)=\lim_{t\to+\infty}\frac{100t^2}{t^2+25}=\lim_{t\to+\infty}\frac{100}{1+\frac{25}{t^2}}=100)。答案：1003D打印制劑工藝AI優(yōu)化3D打印緩釋片時(shí)，打印層厚(h)與釋藥時(shí)間(T)的關(guān)系為(T(h)=2h+\frac{8}{h})（(h>0)），為使釋藥時(shí)間最短，層厚(h)應(yīng)設(shè)置為_(kāi)_____mm。解析：對(duì)(T(h))求導(dǎo)得(T'(h)=2-\frac{8}{h^2})，令(T'(h)=0)，解得(h=2)（負(fù)值舍去）。二階導(dǎo)數(shù)(T''(h)=\frac{16}{h^3}>0)，故(h=2)為最小值點(diǎn)。答案：2三、解答題（共3小題，共50分）藥物動(dòng)力學(xué)建模（15分）口服藥物后，血藥濃度(C(t))隨時(shí)間變化的微分方程為(\frac{dC}{dt}=-0.2C+5e^{-t})，初始條件(C(0)=0)。（1）求該微分方程的通解；（2）計(jì)算服藥后2小時(shí)的血藥濃度（精確到0.1）。解析：（1）該方程為一階線性非齊次微分方程，標(biāo)準(zhǔn)形式(\frac{dC}{dt}+0.2C=5e^{-t})。積分因子(\mu(t)=e^{\int0.2dt}=e^{0.2t})，方程兩邊乘(\mu(t))得：(e^{0.2t}\frac{dC}{dt}+0.2e^{0.2t}C=5e^{-0.8t})左邊為(\fracwwiwm6o{dt}(Ce^{0.2t}))，積分得(Ce^{0.2t}=\int5e^{-0.8t}dt=-\frac{5}{0.8}e^{-0.8t}+K)故通解為(C(t)=-\frac{25}{4}e^{-t}+Ke^{-0.2t})。代入初始條件(C(0)=0)，得(0=-\frac{25}{4}+K)，即(K=\frac{25}{4})。因此(C(t)=\frac{25}{4}(e^{-0.2t}-e^{-t}))。（2）當(dāng)(t=2)時(shí)，(C(2)=\frac{25}{4}(e^{-0.4}-e^{-2})\approx\frac{25}{4}(0.6703-0.1353)=\frac{25}{4}\times0.535\approx3.3)mg/L。制劑工藝優(yōu)化（20分）AI驅(qū)動(dòng)的3D打印鹽酸哌甲酯緩釋片的處方工藝中，藥物釋放度(R(x))與打印溫度(x)（單位：℃）的關(guān)系為(R(x)=-x^3+12x^2-36x+40)（(5\leqx\leq15)）。（1）求(R(x))的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若要求釋放度(R(x)\geq60)，求(x)的取值范圍。解析：（1）對(duì)(R(x))求導(dǎo)得(R'(x)=-3x^2+24x-36=-3(x-2)(x-6))。令(R'(x)=0)，解得(x=2)（舍去，不在定義域內(nèi)）或(x=6)。當(dāng)(5<x<6)時(shí)，(R'(x)>0)，(R(x))單調(diào)遞增；當(dāng)(6<x<15)時(shí)，(R'(x)<0)，(R(x))單調(diào)遞減。故(R(x))在(x=6)處取得極大值(R(6)=-216+432-216+40=40)。（2）令(R(x)\geq60)，即(-x^3+12x^2-36x+40\geq60)，化簡(jiǎn)得(x^3-12x^2+36x+20\leq0)。因式分解得((x-10)(x^2-2x-2)\leq0)，解得(x\in[1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}]\cup[10,+\infty))。結(jié)合定義域([5,15])，得(x\in[10,15])。放射性藥物治療（15分）放射性核素偶聯(lián)藥物中，核素的衰變滿足(N(t)=N_0e^{-kt})，其中半衰期(T_{1/2}=\frac{\ln2}{k})。若某核素的半衰期為8天，初始原子數(shù)(N_0=10^{12})：（1）求(t=16)天時(shí)的原子數(shù)(N(16))；（2）當(dāng)原子數(shù)降至(10^{10})時(shí)，藥物活性失效，求失效時(shí)間(t)（精確到1天）。解析：（1）由半衰期(T_{1/2}=8)天，得(k=\frac{\ln2}{8})。則(N(16)=10^{12}e^{-\frac{\ln2}{8}\times16}=10^{12}e^{-2\ln2}=10^{12}\times\frac{1}{4}=2.5\times10^{11})。（2）令(10^{10}=10^{12}e^{-kt})，即(\frac{1}{100}=e^{-kt})。兩邊取對(duì)數(shù)得(-\ln100=-kt)，故(t=\frac{\ln100}{k}=\frac{8\ln100}{\ln2}\approx\frac{8\times4.605}{0.693}\approx52)天。四、拓展題（10分）免疫治療藥物研發(fā)白細(xì)胞介素-2（IL-2）的體外活性測(cè)定中，細(xì)胞增殖率(P(C))與藥物濃度(C)的關(guān)系為(P(C)=\frac{C}{a+C})（(a>0)為常數(shù)）。若(C=10)時(shí)(P