2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“音樂(lè)與數(shù)學(xué)”科普試題（一）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）音樂(lè)中的音高由聲波的頻率決定，頻率越高，音調(diào)越高。若某音叉振動(dòng)產(chǎn)生的聲波函數(shù)為(f(t)=\sin(440\pit))（單位：秒），則該聲波的頻率為（）A.220HzB.440HzC.880HzD.(440\pi)Hz傅里葉定理指出，任何周期性樂(lè)聲都可表示為若干正弦函數(shù)的疊加：(f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[A_n\sin(n\omegat)+B_n\cos(n\omegat)])，其中(\omega)為基頻角頻率。若某樂(lè)聲的基頻為100Hz，則其三次泛音的角頻率為（）A.(100\pi)rad/sB.(200\pi)rad/sC.(300\pi)rad/sD.(600\pi)rad/s鋼琴的琴鍵按下后，弦振動(dòng)的頻率與弦長(zhǎng)近似成反比。若某鋼琴弦長(zhǎng)為(L)時(shí)頻率為(f)，則當(dāng)弦長(zhǎng)縮短為(\frac{L}{2})（張力不變）時(shí)，頻率變?yōu)椋ǎ〢.(\frac{f}{4})B.(\frac{f}{2})C.(2f)D.(4f)聲波的傅里葉變換將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)，其核心思想是將復(fù)雜波形分解為不同頻率的正弦波疊加。下列函數(shù)中，不能與(f(t)=\sin(2\pit))構(gòu)成樂(lè)音泛音的是（）A.(\sin(4\pit))B.(\sin(6\pit))C.(\sin(3\pit))D.(\sin(8\pit))某音叉振動(dòng)產(chǎn)生的聲波函數(shù)為(f(t)=2\sin(200\pit)+\sin(400\pit))，則該聲波的頻率成分中，能量最大的頻率為（）A.100HzB.200HzC.300HzD.400Hz傅里葉變換的尺度變換性質(zhì)表明：若(f(t))的傅里葉變換為(F(\omega))，則(f(at))（(a>0)）的傅里葉變換為(\frac{1}{a}F\left(\frac{\omega}{a}\right))。若某聲波信號(hào)(f(t))的頻譜寬度為(\Delta\omega)，則將信號(hào)時(shí)間壓縮為原來(lái)的(\frac{1}{2})后，頻譜寬度變?yōu)椋ǎ〢.(\frac{\Delta\omega}{2})B.(\Delta\omega)C.(2\Delta\omega)D.(4\Delta\omega)音樂(lè)中的“十二平均律”將一個(gè)八度音程分為12個(gè)半音，每個(gè)半音的頻率比為(\sqrt[12]{2})。若某音的頻率為440Hz（標(biāo)準(zhǔn)A音），則其上方大三度（4個(gè)半音）的頻率為（）A.(440\times(\sqrt[12]{2})^3)HzB.(440\times(\sqrt[12]{2})^4)HzC.(440\times(\sqrt[12]{2})^5)HzD.(440\times(\sqrt[12]{2})^7)Hz函數(shù)(f(t)=\sin(3t)-\cos(3t))的最小正周期為（）A.(\frac{\pi}{3})B.(\frac{2\pi}{3})C.(\pi)D.(2\pi)某聲波的時(shí)域信號(hào)為(f(t)=e^{-t}\sint)（(t\geq0)），其傅里葉變換的模值反映了各頻率成分的振幅。該信號(hào)中頻率為1Hz的振幅為（）A.(\frac{1}{\sqrt{2}})B.(\frac{1}{2})C.(\frac{1}{\sqrt{5}})D.(\frac{1}{5})鋼琴弦的振動(dòng)方程可近似為二階微分方程(y''+\omega^2y=0)，其中(\omega)與弦的張力和線密度有關(guān)。該方程的通解形式為（）A.(y=A\sin(\omegat)+B\cos(\omegat))B.(y=Ae^{\omegat}+Be^{-\omegat})C.(y=(A+Bt)e^{\omegat})D.(y=A\sin(\omegat)\cos(\omegat))傅里葉級(jí)數(shù)的帕塞瓦爾定理指出：信號(hào)在時(shí)域的能量等于頻域的能量，即(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega)。若某信號(hào)(f(t)=\sin(\omega_0t))，則其在一個(gè)周期內(nèi)的能量為（）A.(\frac{\pi}{\omega_0})B.(\frac{\omega_0}{\pi})C.(\frac{1}{2})D.(1)某音樂(lè)合成器產(chǎn)生的波形函數(shù)為(f(t)=\text{rect}(t))（矩形脈沖函數(shù)，在([-0.5,0.5])內(nèi)為1，其余為0），其傅里葉變換為(F(\omega)=\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2})（抽樣函數(shù)）。該波形的主要頻率成分集中在（）A.([-\omega_0,\omega_0])，其中(\omega_0\approx\pi)B.([-\omega_0,\omega_0])，其中(\omega_0\approx2\pi)C.([-\omega_0,\omega_0])，其中(\omega_0\approx3\pi)D.([-\omega_0,\omega_0])，其中(\omega_0\approx4\pi)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若某小提琴弦長(zhǎng)為60cm時(shí)發(fā)出頻率為440Hz的音，則當(dāng)手指按在弦長(zhǎng)的(\frac{1}{3})處（即有效弦長(zhǎng)為40cm）時(shí)，發(fā)出的頻率為______Hz。函數(shù)(f(t)=3\sin(100\pit)+2\sin(300\pit)+\sin(500\pit))的傅里葉級(jí)數(shù)展開中，基頻分量的振幅為______。某聲波的頻譜函數(shù)為(F(\omega)=\frac{1}{1+(\omega/100)^2})，則該聲波的主要頻率成分集中在______Hz附近（保留整數(shù)）。十二平均律中，八度音程的頻率比為2:1。若某音的頻率為220Hz（低音A），則經(jīng)過(guò)兩個(gè)八度后的頻率為______Hz。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（10分）鋼琴的某根弦振動(dòng)時(shí)，其位移函數(shù)為(y(t)=0.02\sin(880\pit)+0.01\sin(1760\pit))（單位：m）。（1）求該弦振動(dòng)的基頻和二次泛音的頻率；（2）計(jì)算該聲波在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率（功率定義為位移平方的時(shí)間平均）。（12分）傅里葉變換將時(shí)域信號(hào)(f(t))轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)(F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omegat}dt)。已知某音叉的振動(dòng)信號(hào)為(f(t)=\sin(\omega_0t))（(\omega_0=2\pif_0)，(f_0=500)Hz）。（1）求(f(t))的傅里葉變換(F(\omega))；（2）若該信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)理想低通濾波器，只保留頻率低于1000Hz的成分，畫出濾波后的頻譜圖。（12分）音樂(lè)中的“純五度”音程對(duì)應(yīng)頻率比為3:2。若某音的頻率為(f_1=261.63)Hz（中央C），其上方純五度音的頻率為(f_2=392.00)Hz。（1）驗(yàn)證(f_2)與(f_1)的頻率比是否符合純五度關(guān)系；（2）若將這兩個(gè)音同時(shí)演奏，產(chǎn)生的拍頻（頻率差）為多少？解釋拍頻對(duì)聽覺的影響。（12分）某揚(yáng)聲器播放的音樂(lè)信號(hào)可表示為(f(t)=A\sin(2\pif_1t)+B\sin(2\pif_2t))，其中(f_1=440)Hz，(f_2=660)Hz，(A=3)，(B=1)。（1）寫出該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式（只含正弦項(xiàng)）；（2）利用帕塞瓦爾定理計(jì)算該信號(hào)在1秒內(nèi)的能量（能量公式：(E=\int_{0}^{1}|f(t)|^2dt)）。（12分）傅里葉變換的時(shí)移性質(zhì)表明：若(f(t))的傅里葉變換為(F(\omega))，則(f(t-t_0))的傅里葉變換為(F(\omega)e^{-j\omegat_0})?，F(xiàn)有兩個(gè)聲波信號(hào)：(f_1(t)=\sin(2\pit))和(f_2(t)=\sin(2\pi(t-0.5)))。（1）求(f_2(t))的傅里葉變換；（2）比較(f_1(t))和(f_2(t))的頻譜差異，說(shuō)明時(shí)移對(duì)信號(hào)頻率成分的影響。（12分）某電子琴通過(guò)數(shù)字合成技術(shù)產(chǎn)生方波信號(hào)，其函數(shù)表達(dá)式為(f(t)=\text{sign}(\sin(\omega_0t)))（(\text{sign})為符號(hào)函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)([0,T))中，(\sin(\omega_0t)>0)時(shí)(f(t)=1)，否則(f(t