可化為一元次方程的分式方程

W內(nèi)容分析

理解分式方程及可化為一元一次方程的分式方程的意義.通過學(xué)習(xí)分式方程

的解法，理解分式方程的基本思想，重點知道解分式方程時可能產(chǎn)生增根的原因，

掌握驗根的方法.理解負(fù)整數(shù)指數(shù)源的意義，掌握整數(shù)指數(shù)賽的運算法則，在用

科學(xué)計算法表示絕對值較大的數(shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)會用它表示絕對值小于1的數(shù).

,Wi知識結(jié)構(gòu)

模塊一：可化為一元一次方程的分式方程

④）知識精講

1、分式方程的概念

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程

2、解分式方程

（1）解分式方程的基本思想:“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化

成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了.

（2）解分式方程的步驟：①轉(zhuǎn)化：在方程的兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化成整式方

程；②解這個整式方程；③檢驗：把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最

簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去.

3、分式方程的應(yīng)用其方法和步驟可歸納如下

（1）審清題意，分清已知量和未知量；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）根據(jù)題意尋找已知的或隱含

的等量關(guān)系，列分式方程；（4）解方程，并驗根；（5）寫出答案.

例題解析

【例1】下列式子，是分式方程的是（）.

4x-l5「4。+5a

A.

2x4-32x-3243

5x-6.x八43]

C.----+4=—D.----------=1

32x+\2x4-1

【答案】D

【解析】A不是方程；B和C都是整式方程.

【總結(jié)】考察分式方程的定義.

【例2】關(guān)于x的方程到2=3的根為x=l,則。等于（）.

a-x4

A.1B.3C.—1D.—3

【答案】D

【解析】將x=l代入方程中可得：生==［，解得：。=-3,故選D.

a-\4

【總結(jié)】考察方程解的定義.

【例3】請選擇一組公。的值，寫出一個關(guān)于x的形如‘一=匕的分式方程，使它的解是

x—2

x=0,這樣的分式方程可以是.

【答案】-一二=1等.

x-2

【解析】將x=0代入方程中得：-&=b，一組外匕的值滿足這個關(guān)系都滿足題意.

【總結(jié)】考察方程解的定義.

【例4】一件工程甲單獨做x小時，乙單獨做y小時完成，甲、乙二人合作完成此項工作的

一半需要的小時數(shù)是小時

【答案］.

2x+2y

【解析】由題意可得：下2r

1+12x+2y

xy

【總結(jié)】考察分式的應(yīng)用，繁分?jǐn)?shù)的化簡方法：分子分母同時乘以公分母.

【例5】若分式生四無意義，當(dāng)一^-------1—=0時，則相=

x-13m-2x2m-x

【答案】

7

【解析】若分式上芋無意義，所以X=15

代入=01

x-\3m-2x2^

53

可得:=0,解得:m=-.

3m-22m-17

【總結(jié)】考察分式無意義的條件和分式方程的解法.

【例6】如果關(guān)于X的方程3=1—有增根，則加的值為().

x-3x-3

A.2B.3C.-2D.-3

【答案】C

【解析】方程兩邊同時乘以X-3,可得：2=*-3-加，因為方程有增根，所以x=3是這個

方程的解，所以2=3-3-利，貝!|%=-2.

【總結(jié)】考察分式方程的解法和增根的定義.

【例7】2016年初夏，南方多省洪澇對生活造成嚴(yán)重災(zāi)害，蘭州某中學(xué)師生自愿捐款.已

知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數(shù)比第一天捐款人數(shù)多50人,

且兩天人均捐款數(shù)相等，那么兩天共參加捐款的人數(shù)是多少？

【答案】450人.

【解析】解：設(shè)第一天捐款人數(shù)為x人，則第二天捐款人數(shù)為(x+50)人

由題意可得：陋=圖"，解得：》=200,

xx+50

經(jīng)檢驗，x=200是原方程的解.

所以兩天共參加捐款的人數(shù)是200+200+50=450人.

【解析】本題主要考察分式方程在實際問題中的應(yīng)用.

【例8】解方程：

（1）2+上=^—；（2）-....j-!—^―=—

x+lx-\x-1x—2x—5x+6x-3

【答案】（1）無解；（2）x=l.

【解析】（1）方程兩邊同時乘以-1可得：2（x-l）+3（x+l）=6

整理可得：5x=5,解得：x=I

經(jīng)檢驗，x=l是原方程的增根，所以方程無解.

（2）方程兩邊同時乘以（x-21x-3）可得：MX-3）-（1-X2）=2X（X-2）

整理可得：x=\

經(jīng)檢驗，x=l是原方程的根，所以方程的解為x=l.

【總結(jié)】本題主要考察分式方程的解法，注意分式方程一定要驗根.

【例9】已知分式方程兇衛(wèi)=1的解為非負(fù)數(shù)，則。的取值范圍是.

x-\

【答案】1且aw—2.

【解析】方程兩邊同時乘以（x-l）得：2x+a=x—1,所以％=—1-。，

因為方程的解為非負(fù)數(shù)，所以—1—且一1—awl,所以々4一1且aw—2.

【總結(jié)】分式的解要考慮分母不為零.

【例10］解關(guān)于"?的方程：—-----」=—；......—.

/W4-5tn+6m+1機+8

【答案】m———.

2

11

【解析】原方程可化為(〃?+5)(/”+6)=(m+7)W+8)'

方程兩邊同時乘以(利+5)(，〃+6)(巾+7)(機+8)可得：(加+7)(〃?+8)=(m+5\m+6)

整理得：4m--26,解得：tn--—,

2

經(jīng)檢驗機=-193是原方程的解，所以原方程1的3解為相=-9.

22

【總結(jié)】考察分式方程的解法，注意觀察分式方程的規(guī)律.

【例11］解關(guān)于x的方程：—+—=

a+ba-ba~-b~

【答案】x=—,

a

【解析】方程兩邊同時乘以(“一“4+6可得：(a—“x+l)+(a+"x-l)=2“，

整理可得：2ax=2a+2by解得：x="+".

a

所以方程的解為》=土W.

a

【總結(jié)】本題考察分式方程的解法，注意這個方程不是分式方程，不需要驗根.

【例12］若關(guān)于x的方程二——粵=2_會產(chǎn)生增根，求切的值.

x—2x—4x+2

【答案】〃?=4或-6.

【解析】方程兩邊同時乘以(x-21x+2),可得：2(1-+2)-/^=3(%-2),

因為方程有增根，所以x=2或x=-2是這個方程的解

當(dāng)x=2是這個方程的解，貝I可得8-2〃?=0,所以加=4

當(dāng)x=-2是這個方程的解，則可得2%=-12,所以w?=-6

所以方程的解為〃?=4或-6.

【總結(jié)】本題主要考察分式方程的增根的定義.

【例13】閱讀下列材料解答下列問題：

觀察下列方程：0x+-=3;@x+-=5;③x+乜=7……

XXX

(1)按此規(guī)律寫出關(guān)于x的第n個方程為,此方程的解為

(2)根據(jù)上述結(jié)論，求出x+*mF=2"+2(〃22)的解.

【答案】(I)&+“("+”=2n+1,不=〃或W="+1：

X

(2)%=〃+1或w=〃+2.

【解析】①X+2=3,方程的解為X=1或X=2；?X+-=5,方程的解為X=2和X=3；

XX

12

③x+—=7,方程的解為尤=3或x=4；找規(guī)律可得答案.

x

方程可變形為X—1+M=D=2〃+1(〃22),由(1)可得：X—1=〃或〃+1,

X-1

所以演=〃+1或W=〃+2.

【總結(jié)】本題主要考察利用規(guī)律求分式方程的解.

模塊二：整數(shù)指數(shù)幕

知識精講

1、零指數(shù):

a"=l(aH0)；

2、負(fù)整數(shù)指數(shù)第：

a"'=4■(其中a*。，p是自然數(shù));

a

3、用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于0而小于1的數(shù)的方法:

6/23

絕對值大于0而小于1的數(shù)等于ax10-"（其中14同＜10,〃為正整數(shù)）.

例題解析

【例14】x-'+—=

X-1

21

【答案】

x(x-1)

12x-i

【解析】一+」一」+—

x-1XX口\(1)?

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)事的定義.

【例15】當(dāng)x時，（4+2x）4有意義.

【答案】XX-2.

【解析】由4+2x#0,解得：XH-2.

【總結(jié)】考察分式有意義的條件.

【例16】化去吟二中的負(fù)指數(shù)，得到

x"a

【答案】工.

a6y3

【解析】0心=，7（其中4二0,2是自然數(shù)）.

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)基的變形.

【例17］若0.000063=6.3x10",則〃=

【答案】-5.

【解析】小數(shù)點向右挪動〃位，則指數(shù)為

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)基科學(xué)計數(shù)法的表示.

【例18】下列各式：-42,-0.2-2卜11,(|)

,從小到大排列的順序是().

A.-0.2-2<一會<仁)<(B-"

3D.3<{2<舊)<[|]

C.-4-2<-0.2-2<

5

【答案】B

03

【解析】-4-2=-25,加1=1，

卜■-。?丁一3

因為-25<-Lil，所以選B.

1627

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)基的化簡與計算.

【例19】計算：'+9一”=

【答案】335".

【解析】+9-”=(3-3廣1+(32=33-6"：3知=33-4".

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)幕的變形和同底數(shù)幕的除法.

【例20】計算：

(1)(-0.25-+(-0.25)”；

⑶_0.03。+,￡|_(_2)2+(5.

71

【答案】⑴-63；(2)(3)

43

【解析】(1)(-0.25)-3+(-0.25)°=(-4)3+1=-63；

(2)4T-3(-6|)(I)=^--3xlx|=7

4

(3)_0.03。+(-；)_(-2j+(夕=-1+4-4+|=-1.

【總結(jié)】考察負(fù)指數(shù)整數(shù)基的運算.

【例21】計算:

(1)(-3aV)?：(2))加"1+〃2；

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)基的乘除法，注意負(fù)指數(shù)器的計算.

-1

x+y尤-1+yy

【例22】先化簡，后求值:W+y)",其中x=2Ly=-3。.

1

【答案】

2

小+打3+尸)2,,、

【解析】+G+y尸二XT_yT)3+yT)(X+))

廠2_尸x+y

ii

一+--

R-yxyx+y/、

,(f)=露-----(x+y)=-x-y,

x+yy-x

xy

當(dāng)"=*,"-3。=-1,原式=q+q.

【總結(jié)】考察負(fù)指數(shù)辱的運算，注意平方差公式、完全平方公式的應(yīng)用.

【例23］已知|。+2人一1|+S+1)2=0,求代數(shù)(_1+」尸+3+。)-2+(。-2_、2)+(一")一的值.

ab3a-I

【答案】-

4

【解析】已知|。+2匕-1|+(0+1)2=0,貝ij"］=0，所以*=_1，

1〃+bi111crb

(!+1)-+①+by2+(加2_"2)+=F

ab3〃一1

ab+1a2b23a-1_ab(3a-\)b

a+b(a+b)2僅+a)a2ba+b(/?-?)(/;4-^)3，

-3-85

當(dāng)a=3,b=-l時，原式=萬+^^=%

【總結(jié)】本題一方面考查非負(fù)性的運用，另一方面考察分式的化簡求值，綜合性較強，解題

時注意符號的變化.

【例24］已知x=l+2。，y=\+rp,則用x表示y的結(jié)果是().

10/23

AX+lnX+2XCC

A----B?----C?----D.2-x

xx+1x—\

【答案】C

【解析】已知x=l+2〃，y=\+2-p,所以2，=1-1,2-p=y-\

所以(x—Uy—1)=1，所以y=上.

x-\

【總結(jié)】考察分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的變形及運用.

產(chǎn)”>+產(chǎn)62

【例25]已知x+/=2,求，;二刈:的值?

【答案】2.

【解析】x2+x~2=(%+x-1-2=2;

x3+x-3=(x+x_|y-3x-x-'(x+x-l)-23-3x2=2；

/+一=(》2+廠21_2=2,

x5+X-5=(x2+X~2卜3+x-3)-(x+x-1)=2

_?+*~6=卜3+/]-2川-3=4-2=2,

20,520I5

找出規(guī)律可得：X+X-=2,-16+/016=2,

2+2c

X20I6+X-2()16+2

所以—.2015+/。15-~'2~=2"

【總結(jié)】考察分式的運算以及規(guī)律的歸納總結(jié).

【習(xí)題1】若辦〃為正整數(shù)，則下列各式錯誤的是（).

A.a'"a"^am-anB.用

C.=am"D.am'"=—

I)amn

【答案】D

【解析】D正確答案為am-"=幺.

mn

【總結(jié)】考察負(fù)指數(shù)累的變形.

【習(xí)題2】若@-35-2(3》-6廠有意義，則x的取值范圍是

【答案】XW3且X*

【解析】》-3片0且版-6工0,則XH3且X*

【總結(jié)】考察零指數(shù)幕有意義的條件.

【習(xí)題3】用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

(1)0.000001=；(2)0.00012=；

(3)0.000000345=；(4)0.000501=.

4

【答案】(1)10鳥(2)1.2x10$(3)3.45x10-7；(4)5.01xlO-.

【解析】負(fù)數(shù)指數(shù)暴的科學(xué)記數(shù)法，數(shù)小數(shù)點挪動”位數(shù)，則指數(shù)就為-〃.

【總結(jié)】考查負(fù)數(shù)指數(shù)新的科學(xué)記數(shù)法的表示.

【習(xí)題4】將下列各式表示成不含分母的形式：

(1)(2)-4；(3)義；(4).

aa"xyx+y

【答案】(1)a~'；(2)-8a-2；(3)2x-1y-2；(4)3x(x+y)，

【解析】考察分式與負(fù)數(shù)指數(shù)‘暴之間磐

<^12/23，)

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)事變形.

【習(xí)題5】計算：（r+尸）+（尸_尸）=.

【答案】江.

［解析］3+尸＞3_/）=^4=山.

\，\711yx

xy

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)塞的變形，注意分?jǐn)?shù)的化簡方法.

【習(xí)題6】若關(guān)于x的分式方程二一=2+1無解，則〃?=_______.

X+lX+1

【答案】2.

【解析】方程兩邊同時乘以x+l可得：2=〃z+x+l,因為方程無解，則x=-l為這個方程

的解，所以2=機+（-1）+1,所以機=2.

【總結(jié)】考察分式方程的增根的定義.

【習(xí)題7】某廠儲存了，天用的煤m噸，要使儲存的煤比預(yù)定的多用d天，那么每天應(yīng)節(jié)約

煤的噸數(shù)為噸.

【答案】.

tt+d

【解析】預(yù)定的每天用煤㈣噸，現(xiàn)在每天用煤/一噸，則每天應(yīng)節(jié)約煤的噸數(shù)為‘

tm+dtt+d

噸.

【總結(jié)】考察分式運算在實際問題中的應(yīng)用.

x-1

27

【習(xí)題8】已知

【答案】—2.

所以_3(x—1)+2x—3=2,解得：x——2.

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)某的變形和同底數(shù)基的運算.

【習(xí)題9】已知10。"=3,1。-"=」，求1。6"+2〃的值.

5

【答案嗤

【解析】i06fl+2A=106fl-102/)=(10一2T.(10-"廠=3-3.25

27

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)幕的變形和同底數(shù)基的運算.

【習(xí)題10】計算:

(1)M廣

(3)(_2尸_2$+(4)(-2.2xl(T*)x5x10-3；

ax~+xcC1

(5)(6)

340

2-+(-2)-2，a1-(ar)'+x~2

Q3

【答案】(1)1；(2)--(3)11-；(4)-l.lxlO-6；(5)10；(6)a+x.

54

14/23

q2

(-3尸二㈠八卜：)=9x1=1；

【解析】(1)「X

39

5_58

(2)

8-45

(3)(-2)一S---+4+8=11-；

884

(4)(-2.2xl()Y)x5xl(r3=-11x10-7=-l.lxl0-6；

--9

(5)_4____=10.

2-3+(-2)°-21+J2

8

ax

222+233

ax+xa_xaa+x

22=—-------7=Q+x?

a--(?r)-'+x-_;,._±+.1x-ax+a

a2ax

【總結(jié)】考察負(fù)指數(shù)基的運算，注意(6)中運用到立方和公式，可選擇性講解.

【習(xí)題11］解方程:

*=2；114

(1)(2)------1------="Z----

x-3x+3x—9

/c、x+14,4、3—x5—xx—2

x—\x—11—x7—xx-8x+7

17

【答案】(1)x=—；(2)x=2；(3)無解；(4)x=—.

24

【解析】⑴方程兩邊同時乘以版-1可得：l=2(3x-l),解得：x=g,

經(jīng)檢驗，x=」是原方程的根，所以方程的解為》=」.

22

(2)方程兩邊同時乘以(x-3Xx+3)可得：x+3+x—3=4,解得：x=2,

經(jīng)檢驗，x=2是原方程的根，所以方程的解為x=2.

(3)方程兩邊同時乘以(x-lXx+1)可得：(x+-4=x?-1,解得：x=l,

經(jīng)檢驗，x=l是原方程的增根，所以方程無解.

辭季級年七

(4)方程兩邊同時乘以(x-l)(x-7),

可得：(x—3)(x—7)—(x—5)(x-1)=(x—1)(x—7)—(x2—2),

解得：x=-lf經(jīng)檢驗，x=-1是原方程的根，

44

7

所以方程的解為工=-

4

【總結(jié)】本題主要考察分式方程的解法，解分式方程時不要忘記檢驗.

【習(xí)題12］解方程：士+=￡==+二.

x+1x+7x+51+3

【答案】x=-4.

【解析】方程可變?yōu)椋?+—1+1+—二=1+—1+1+—二，

x+lx+7x+5x+3

化簡為：―二^—二=-—二，

x+1x+7x+5x+3

工八一,口2x4-82x4-8

通分可得：(x+l)(x+7)=(x+5)(x+3)，

則可得：2x+8=0或(X+1XX+7)=(X+5］X+3),

解得：x=Y或無解，

所以原分式方程的解為了=-1.

【總結(jié)】考察分式方程的解法，注意觀察分式的特點，將復(fù)雜問題簡單化.

【習(xí)題13］已知f+y2+6x-4y+13=0,求廣，+?-"的值.

【答案】8、

9

【解析】已知犬+:/+6x-4y+13=0,所以(x+3)?+(y-2r=0,則1二一3,y=2,

所以戶+/=(-3尸+23=8".

【總結(jié)】考察負(fù)整數(shù)數(shù)指數(shù)基的運算以及非負(fù)性的運用.

【習(xí)題14】已知分式方程生以=3的解為非正數(shù)，則。的取值范圍是.

x-1

【答案】?<-3.

16/23

【解析】方程兩邊同時乘以x—l可得：2x+a=3(x-l),解得：x=a+3,

因為方程的解為非負(fù)數(shù)，所以a+3W0,且4+3*1,則aV-3.

【總結(jié)】考察分式方程的解法，注意非正數(shù)的理解.

635

【習(xí)題15］解關(guān)于x的方程:^-25^%2+8%+15+%2-2%-15

【答案】x=\.

“一635

【解析】(X+5)(X-5)(X+3)(X+5)(x+3)(x-5)'

兩邊同時乘以(x+5)(x—51x+3),可得：6(x+3)=3(x-3)+5(x+5),

解得：x=l,經(jīng)檢驗，x=l是原方程的解，

所以原方程的解為x=l.

【總結(jié)】考察分式方程的解法，要熟悉十字相乘法分解因式.

【習(xí)題16】某客車從甲地到乙地走全長480姐/的高速公路，從乙地到甲地走全長600比?的

普通公路.又知在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45Am,由高速公路從

甲地到乙地所需的時間是由普通公路從乙地到甲地所需時間的一半，求該客車由高速公

路從甲地到乙地所需要的時間.

【答案】4小時.

【解析】設(shè)甲地到乙地的時間為x小時，

則有題意可得：鴛-竺9=45,解得：x=4,

x2x

經(jīng)檢驗，x=4為原方程的解且符合題意，

答：該客車由高速公路從甲地到乙地所需要的時間為4小時.

【總結(jié)】考察分式方程在實際問題中的應(yīng)用，注意對題意的理解，列出準(zhǔn)確的方程.

I課后作業(yè)

【作業(yè)1】將下列各式寫成只含有正整數(shù)指數(shù)基的形式:

(1)a-be'；(2)2(a-l)-2be-2；

2b

【解析】(1)a2be-'-(2)2(4Z-1)-2be1

ac2c之

(3)-5x2(y-zf2=——旦一7.

(y-)2

【總結(jié)】考察負(fù)指數(shù)基的變形.

【作業(yè)2】化簡：：=

【答案】0.

【解析】(尸)2+(V『?//+x-3.x-2二=」」=0

V7V7XXXX

【總結(jié)】考察負(fù)指數(shù)幕的變形和分式的運算.

【作業(yè)3】自從掃描隧道顯微鏡發(fā)明后，世界上便誕生了一門新學(xué)科，這就是“納米技術(shù)”.已

知每個納米的長度為0.000000052米，用科學(xué)記數(shù)法表示此數(shù)為米.

【答案】5.2x10-8.

【解析】考察負(fù)數(shù)指數(shù)帚的科學(xué)計數(shù)法.

【總結(jié)】考察負(fù)數(shù)指數(shù)幕的表示方法，小數(shù)點向右挪動〃位，則指數(shù)為

【作業(yè)4】某服裝廠準(zhǔn)備加工400套運動裝，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，使得工作

效率比原計劃提高了20%,結(jié)果共用了18天完成任務(wù)，問：計劃每天加工服裝多少套？

在這個問題中，設(shè)計劃每天加工x套,則根據(jù)題意可得方程為

400-160

【答案】—+=18.

X(1+20%卜

【解析】考察列分式方程解應(yīng)用題.

18/23

【作業(yè)5］當(dāng)a為何值時，關(guān)于x的方程立1=網(wǎng)心的解等于零？

x—2a+5

【答案】a=L

5

【解析】當(dāng)x=0時，方程土==網(wǎng)匚成立，那么解得：4=：.

x-2a+52a+55

【總結(jié)】考察分式方程解的定義.

【作業(yè)6】A做90個零件所需要的時間和8做120個零件所用的時間相同，又知每小時

48兩人共做35個機器零件.求43每小時各做多少個零件.

【答案】48每小時各做15,20個零件.

【解析】設(shè)4、8每小時各做x、35-x個零件，

匚匚I、I90120AT,zg

所以一=-----，解得：x=15,

x35-x

經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解，

所以48每小時各做15,20個零件.

【總結(jié)】考察列分式方程解應(yīng)用題.

【作業(yè)7】如果x=3y,求的值.

x-y

【答案】-2.

..一1+—1

【解析】三以=注=⑴，當(dāng)x=3y時，原式=g=-2.

x-yy-x丁一3y

xy

【總結(jié)】考察分式的化簡求值及“換元法”的運用.

【作業(yè)8】解方程：

(1)-L_=1Z￡_3；5x4-2_3

x—2,2,—xx2+xx+1

小734___3_

⑶——+——=—~-(4)

Xx-xX-1x~+x—2

7

【答案】(1)無解；(2)無解;(3)x=-；(4)無解.