專(zhuān)題8.1空間幾何體及其三視圖和直觀圖新課程考試要求1．了解多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念，理解柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.2．理解簡(jiǎn)單空間圖形(柱、錐、臺(tái)、球的簡(jiǎn)易組合)的含義，了解中心投影的含義，掌握平行投影的含義.3．理解三視圖和直觀圖間的關(guān)系，掌握三視圖所表示的空間幾何體.會(huì)用斜二測(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等.考向預(yù)測(cè)（1）以考查三視圖、幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及幾何體的面積體積計(jì)算為主，三視圖基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；幾何體的結(jié)構(gòu)特征往往在解答題中考查，與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合.（2）與立體幾何相關(guān)的“數(shù)學(xué)文化”等相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)的應(yīng)用.（3）三視圖是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，考查內(nèi)容有三視圖的識(shí)別；三視圖與直觀圖的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化；求與三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體的表面積與體積．命題形式為用客觀題考查識(shí)讀圖形和面積體積計(jì)算，解答題往往以常見(jiàn)幾何體為載體考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，期間需要靈活應(yīng)用幾何體的結(jié)構(gòu)特征．【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征一、多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)都平行且相等棱錐有一個(gè)面是多邊形，而其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形棱臺(tái)棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分二、旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線(xiàn)圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線(xiàn)圓臺(tái)直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線(xiàn)球半圓直徑所在的直線(xiàn)三、簡(jiǎn)單組合體簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成，有多面體與多面體、多面體與旋轉(zhuǎn)體、旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．知識(shí)點(diǎn)2．空間幾何體的直觀圖簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，基本步驟是：(1)畫(huà)幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′＝45°或135°，已知圖形中平行于x軸、y軸的線(xiàn)段，在直觀圖中平行于x′軸、y′軸．已知圖形中平行于x軸的線(xiàn)段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半．(2)畫(huà)幾何體的高在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長(zhǎng)度不變．知識(shí)點(diǎn)3．空間幾何體的三視圖三視圖幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線(xiàn)．三視圖中，正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬.即“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”.【考點(diǎn)分類(lèi)剖析】考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【典例1】（2021·江蘇高考真題）若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側(cè)面積之比是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意作圖，由軸截面得出母線(xiàn)與底面圓半徑的等量關(guān)系，再套公式求解.【詳解】根據(jù)題意作圖，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為.若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則有，.該圓錐的底面積與側(cè)面積比值為.故選：C.【典例2】（2018·上海高考真題）《九章算術(shù)》中，稱(chēng)底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬，設(shè)是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、以為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1滿(mǎn)足題意，而C1，E1，C，D，E，和D1一樣，有2×4=8，當(dāng)A1ACC1為底面矩形，有4個(gè)滿(mǎn)足題意，當(dāng)A1AEE1為底面矩形，有4個(gè)滿(mǎn)足題意，故有8+4+4=16故選：D．【總結(jié)提升】解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的技巧(1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過(guò)舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一反例即可．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系．(3)既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問(wèn)題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略．【變式探究】1.（2021·唐山市第十一中學(xué)高一月考）以下命題正確的是（）A．直角三角形繞其一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱C．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)D．棱錐截去一個(gè)小棱錐后剩余部分是棱臺(tái)【答案】C【解析】根據(jù)圓錐的幾何特征即可判斷A；根據(jù)圓柱的幾何特征即可判斷B；根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征即可判斷C；根據(jù)棱臺(tái)的幾何特征即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A：直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，因?yàn)楫?dāng)兩平行的截面與圓柱的底面不平行時(shí)，截得的幾何體的兩個(gè)平行的底面有可能是橢圓，另外當(dāng)截面平行于圓柱的高線(xiàn)時(shí)，截得的幾何體也不是圓柱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)，正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)截面不平行于底面時(shí)，棱錐截去一個(gè)小棱錐后剩余部分不是棱臺(tái)，故D錯(cuò)．故選：C．2.【多選題】（2021·湖北高一期末）過(guò)正方體棱上三點(diǎn)D，E，F(xiàn)（均為棱中點(diǎn)）確定的截面過(guò)點(diǎn)P(點(diǎn)P為BB1中點(diǎn))有（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)對(duì)ABD作出截面后判斷，對(duì)C由四點(diǎn)不共面可判斷．【詳解】A中過(guò)三點(diǎn)的截面如圖，可知截面過(guò)點(diǎn)，B中過(guò)三點(diǎn)的截面如圖，可知截面不過(guò)點(diǎn)，C中，在正方體的一個(gè)側(cè)面上，而不在這個(gè)側(cè)面上，因此四點(diǎn)不共面，過(guò)三點(diǎn)的截面不過(guò)點(diǎn)，D中，過(guò)三點(diǎn)的截面如圖，可知截面過(guò)點(diǎn)．故選：AD．【特別提醒】三棱柱、四棱柱、正方體、長(zhǎng)方體、三棱錐、四棱錐是常見(jiàn)的空間幾何體，也是重要的幾何模型，要特別注意掌握它們的幾何特征．考點(diǎn)二：空間幾何體的直觀圖【典例3】（2021·浙江高一期末）已知的面積為，用斜二測(cè)法畫(huà)出其水平放置的直觀圖如圖所示，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.【答案】1【解析】根據(jù)斜二測(cè)法求出直觀圖△的面積，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求出的值．【詳解】解：的面積為，則用斜二測(cè)法畫(huà)出其水平放置的直觀圖△的面積為，即，解得，△中，由余弦定理得，，所以．故答案為：1．【典例4】（2020-2021學(xué)年高一）如圖，、分別為正方形的面與面的中心，則四邊形在正方體的面上的正投影可能是（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）________【答案】②③【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，只需確定四邊形在面、面、面上的射影即可，結(jié)合平行投影的特點(diǎn)，畫(huà)出投影形狀即可.【詳解】由正方體是對(duì)稱(chēng)的幾何體，四邊形在該正方體的面上的射影可分為：自上而下、自左至右、由前及后三個(gè)方向的射影，即在面、面、面上的射影．四邊形在面和面上的射影相同，如下圖所示；四邊形在該正方體對(duì)角面的內(nèi)，它在面上的射影顯然是一條線(xiàn)段，如下圖示：故答案為：②③．【總結(jié)提升】1.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線(xiàn)段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)段可以先畫(huà)出線(xiàn)段的端點(diǎn)再連線(xiàn)，原圖中的曲線(xiàn)段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線(xiàn)連接而畫(huà)出.2.解決有關(guān)“斜二測(cè)畫(huà)法”問(wèn)題時(shí)，一般在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用圖形中原有的垂直直線(xiàn)或圖形的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，圖形的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線(xiàn)段長(zhǎng)度的關(guān)系.3.按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀圖＝S原圖形，S原圖形＝S直觀圖．【變式探究】1.（2020·安徽金安?六安一中高一期末（理））如圖所示，是水平放置的的直觀圖，軸，軸，，，則中，（）A．2 B．5 C．4 D．【答案】B【解析】根據(jù)直觀圖可知，所以.故選：B2.（2021·東莞市新世紀(jì)英才學(xué)校高一月考）一個(gè)梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且，，，則原梯形的面積為（）A． B． C．8 D．4【答案】C【解析】由題意，原圖形為直角梯形，在原圖形中，，，，即可求出原梯形的面積．【詳解】解：由題意，原圖形為直角梯形，在原圖形中，，，，所以原梯形的面積為，故選：C．考點(diǎn)三：空間幾何體的三視圖【典例5】（2021·全國(guó)高考真題（文））在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進(jìn)行判斷.【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，所以其側(cè)視圖為故選：D【典例6】（2018年理新課標(biāo)I卷）某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為，故選B.【規(guī)律方法】三視圖中的數(shù)據(jù)與原幾何體中的數(shù)據(jù)不一定一一對(duì)應(yīng)，識(shí)圖要注意甄別.揭示空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，包括幾何體的形狀，平行垂直等結(jié)構(gòu)特征，這些正是數(shù)據(jù)運(yùn)算的依據(jù).還原幾何體的基本要素是“長(zhǎng)對(duì)齊，高平直，寬相等”.簡(jiǎn)單幾何體的三視圖是該幾何體在三個(gè)兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個(gè)方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形．在畫(huà)三視圖時(shí)，重疊的線(xiàn)只畫(huà)一條，能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)和棱用實(shí)線(xiàn)表示，擋住的線(xiàn)要畫(huà)成虛線(xiàn)．【典例7】（2021·浙江高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1，底面為等腰梯形，該等腰梯形的上底為，下底為，腰長(zhǎng)為1，故梯形的高為，故，故選：A.【典例8】（2020·全國(guó)高考真題（文））下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2【答案】C【解析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形可得：根據(jù)勾股定理可得：是邊長(zhǎng)為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C.【總結(jié)提升】1.三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線(xiàn)表示，不能看到的部分用虛線(xiàn)表示．(2)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖．(3)由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形狀，然后再找其剩下部分三視圖的可能形狀．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．2.幾類(lèi)空間幾何體表面積、體積的求法(1)多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．(3)簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)．(4)若以三視圖形式給出，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖，想象出原幾何體及幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．【變式探究】1．（2018年文北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C共三個(gè)，故選C.2．（2018·全國(guó)高考真題（文））中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形，且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱(chēng)圖形故俯視圖為故選A.3．（2019·浙江高考真題）祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家.他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容易”稱(chēng)為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體體積公式，其中是柱體的底面積，是柱體的高，若某柱體的三視圖如圖所示，則該柱體的體積是（）A．158 B．162C．182 D．32【答案】B【解析】由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積