班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)第一章三角形的證明（A卷·知識(shí)通關(guān)練）考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的性質(zhì)：1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸。2.等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）。3.等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。如圖，在中，，為內(nèi)的一點(diǎn)，且，，則的大小為A． B． C． D．【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出，從而可求出，進(jìn)而可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：，，，，，，，，故選：．已知等腰三角形的一邊長為，周長為，則腰長為A．或 B． C． D．或【分析】分長的邊是腰和底邊兩種情況進(jìn)行討論即可求解．【解答】解：當(dāng)長是的邊是腰時(shí)，三邊為，，，等腰三角形成立，腰長是；當(dāng)長是的邊是底邊時(shí)，三邊為，，，等腰三角形成立，腰長是．故腰長是或，故選：．若一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為5和12，則該三角形的周長是A．5 B．5或12 C．22或29 D．29【分析】因?yàn)榈妊切蔚膬蛇叿謩e為12和5，但沒有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【解答】解：當(dāng)12為底時(shí)，其它兩邊都為5，12、5、5不能構(gòu)成三角形，當(dāng)12為腰時(shí)，其它兩邊為12和5，因?yàn)?，所以能?gòu)成三角形，所以該三角形的周長是：．故選：．已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于A．或 B． C． D．或【分析】方法1：首先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求得答案．方法2：讀到此題我們首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)不可能出現(xiàn)題中所說情況，所以舍去不計(jì)，我們可以通過畫圖來討論剩余兩種情況．【解答】解：方法1：根據(jù)題意得：，，如圖（1），，則；如圖（2），，，．故這個(gè)等腰三角形的頂角等于或．方法2：①當(dāng)為銳角三角形時(shí)可以畫圖，高與左邊腰成夾角，由三角形內(nèi)角和為可得，頂角為，②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)可畫圖，此時(shí)垂足落到三角形外面，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為，由圖可以看出等腰三角形的頂角的補(bǔ)角為，三角形的頂角為．故選：．考點(diǎn)2等腰三角形的判定【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對(duì)等邊”牢記：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”與等腰三角形的判定“等角對(duì)等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；（2）判定定理可以用來判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。下列三角形中，不是等腰三角形的是A． B． C． D．【分析】由三角形的內(nèi)角和判定選項(xiàng)中的三角形是否為等腰三角形，選項(xiàng)由等腰三角形的定義判斷．【解答】解：、由三角形的內(nèi)角和為知：第三個(gè)角的大小為：，選項(xiàng)中的圖形不是等腰三角形．故選項(xiàng)符合題意；、由三角形的內(nèi)角和為知：第三個(gè)角的大小為：，選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形．故選項(xiàng)不符合題意；、由三角形的內(nèi)角和為知：第三個(gè)角的大小為：，選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形．故選項(xiàng)不符合題意；、由圖形中有兩邊長為5知：選項(xiàng)中的圖形是等腰三角形．故選項(xiàng)不符合題意；故選：．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知，．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)，使為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由點(diǎn)、的坐標(biāo)可得到，然后分類討論：若；若；若，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、．，①若，以為圓心，為半徑畫弧與軸有2個(gè)交點(diǎn)（含點(diǎn)），即、，滿足是等腰三角形的點(diǎn)有1個(gè)；②若，以為圓心，為半徑畫弧與軸有2個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)除外），即滿足是等腰三角形的點(diǎn)有2個(gè)；③若，作的垂直平分線與軸，軸各有一個(gè)有1個(gè)交點(diǎn)，即滿足是等腰三角形的點(diǎn)有2個(gè)；綜上所述：點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)共有5個(gè)．故選：．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下面說法正確的是①的面積等于的面積；②；③；④．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可證明①；根據(jù)三角形的高線可得，利用三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解，可判定②；根據(jù)角平分線的定義可求解③；根據(jù)已知條件無法判定④．【解答】解：是的中線，，的面積等于的面積，故①正確；是的高線，，，，，，為的角平分線，，，，，故②正確；，，，故③正確；根據(jù)已知條件無法證明，故④錯(cuò)誤，故選：．如圖，已知，在邊上順次取點(diǎn)，，，在邊上順次取點(diǎn)，，，使得，得到等腰△，△，△，△（1）若，可以得到的最后一個(gè)等腰三角形是△；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個(gè)等腰三角形是△，則的度數(shù)的取值范圍是．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出即可判斷．（2）由題意要使得得到的最后一個(gè)等腰三角形是△，需要滿足：且，解不等式即可解決問題．【解答】解：（1），，，，△不存在，得到的最后一個(gè)等腰三角形是△．故答案為△．（2）由題意要使得得到的最后一個(gè)等腰三角形是△，需要滿足：且，，故答案為．考點(diǎn)3“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用【方法點(diǎn)撥】等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G為EF的中點(diǎn)，求證：AG⊥EF．【分析】只要證明AF＝AE，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可解決問題；【答案】證明：∵BE平分∠ABC∴∠ABE＝∠CBE∠AEF＝90°﹣∠ABE又∵∠AFE＝∠DFB＝90°﹣∠CBE∴∠AFE＝∠AEF，∴△AFE為等腰三角形又∵G為EF的中點(diǎn)，∴AG⊥EF．在△ABC中，BC邊上的高AG平分∠BAC．（1）如圖1，求證：AB＝AC；（2）如圖2，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的長．【分析】（1）想辦法證明∠B＝∠C即可解決問題．（2）如圖2中，作AG⊥BC于G．利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明BD＝CE即可解決問題．【答案】（1）證明：如圖1中，∵AG為∠BAC的平分線，∴∠BAG＝∠CAG，∵AG為BC邊上高∴∠AGB＝∠AGC＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．（2）如圖2中，作AG⊥BC于G．∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝CG，∵AD＝AE，AG⊥BC，∴DG＝EG，∴BG﹣DG＝CG﹣EG，∴BD＝CE，∵BC＝10cm，DE＝6cm，∴BD＝2cm．已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長線上取一點(diǎn)E，使CE＝CD．求證：BD＝DE．【分析】欲證BD＝DE，只需證∠DBE＝∠E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可證明∠DBE＝∠E＝30°．【答案】證明：∵△ABC為等邊三角形，BD是AC邊的中線，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°．∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．∵∠ACB＝60°，且∠ACB為△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝60°．∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴BD＝DE．如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D為BC的中點(diǎn)，過D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；（2）若DM⊥DN分別和BA、AC延長線交于M、N，問DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）連接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可證△AMD≌△CND，可得DM＝DN；（2）連接AD，可得∠ADM＝∠CDN，可證△AMD≌△CND，可得DM＝DN．【答案】解：（1）連接AD，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，∵∠ADM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN．（2）連接AD，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，∵∠ADM+∠MDC＝90°，∠MDC+∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，∵∠MAD＝MAC+DAC＝135°，∠NCD＝180°﹣∠ACD＝135°在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN．考點(diǎn)4等邊三角形的判定與性質(zhì)【方法點(diǎn)撥】等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且具有3條對(duì)稱軸；（2）等邊三角形的每個(gè)角都等于60°。等邊三角形的判定：（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。（4）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。如圖，在邊長為2的等邊三角形中，為邊上一點(diǎn)，且．點(diǎn)，分別在邊，上，且，為邊的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，則的長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)等邊三角形邊長為2，在中求得的長，再根據(jù)垂直平分，在中求得，最后根據(jù)線段和可得的長．【解答】解：等邊三角形邊長為2，，，，等邊三角形中，，，，，，，，，，，如圖，連接，則中，，，是等邊三角形，，垂直平分，，，中，，，為的中點(diǎn)，，，故選：．已知：如圖，和都是等邊三角形，是延長線上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，則下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤是等邊三角形．其中，正確的有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)先證明，得出，根據(jù)已知給出的條件即可得出答案；【解答】解：和都是等邊三角形，，，，，即，，，故選項(xiàng)①正確；，由得：，，故選項(xiàng)②正確；由得：，是的外角，，又是的外角，，故選項(xiàng)③正確；在和中，，，，故選項(xiàng)④正確；，為等腰三角形，，是等邊三角形，故選項(xiàng)⑤正確；故選：．如圖，已知中高恰好平分邊，，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)且，下面的結(jié)論：①；②是等邊三角形；③；④．其中正確的為①②③④．（填序號(hào)）【分析】①連接，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)即可求得，即可解題；②根據(jù)周角等于和三角形內(nèi)角和為即可求得，即可解題；③在上截取，易證，可得，即可解題；④作，可證和，根據(jù)全等三角形面積相等即可解題．【解答】解：①連接，如圖1，中高恰好平分邊，即是垂直平分線，，，，，，，．故①正確；②中，，中，，，，，，，是等邊三角形，故②正確；③如圖2，在上截取，，是等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，；故③正確；④如圖3，作，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，四邊形面積，四邊形面積．故④正確．故答案為：①②③④．如圖，等邊的邊長為6，，的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交、于點(diǎn)、，則的長度為4．【分析】根據(jù)和分別平分和，和，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和等量代換，求證出，．然后即可得出答案．【解答】解：如圖，連接，在中，和分別平分和，，，，，，，，和分別平分和，平分，，又，，，，，，，，，，，，故答案為：4考點(diǎn)5直角三角形全等的判定【方法點(diǎn)撥】對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）使兩個(gè)直角三角形全等的條件是A．一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 B．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 C．一條邊對(duì)應(yīng)相等 D．斜邊及一條直角邊對(duì)應(yīng)相等【分析】要判斷能使兩個(gè)直角三角形全等的條件首先要看現(xiàn)在有的條件：一對(duì)直角對(duì)應(yīng)相等，還需要兩個(gè)條件，而是不能判定三角形全等的，所以正確的答案只有選項(xiàng)了．【解答】解：、一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，利用已知的直角相等，可得出另一組銳角相等，但不能證明兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、兩個(gè)銳角相等，那么也就是三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，但不能證明兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、一條邊對(duì)應(yīng)相等，再加一組銳角相等才能得出兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、當(dāng)兩個(gè)直角三角形的兩直角邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，由可以判定它們?nèi)?；?dāng)一直角邊與一斜邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，由判定它們?nèi)龋时具x項(xiàng)正確；故選：．如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)證明全等解答即可．【解答】解：由圖可得，三角形已知一個(gè)銳角和一個(gè)直角，以及兩角的夾邊，所以根據(jù)證明三角形全等，故選：．下列條件，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是A．斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等 B．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 C．一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等 D．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做題時(shí)要結(jié)合已知條件與全等的判定方法逐一驗(yàn)證．【解答】解：、符合判定，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；、全等三角形的判定必須有邊的參與，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；、符合判定，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；、符合判定，故本選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：．如圖所示，已知在中，，，交于點(diǎn)，若，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)，，求證，，再由，，求出的度數(shù)，然后即可求出的度數(shù)．【解答】解：在中，，，交于點(diǎn)，，，，，，．故選：．考點(diǎn)6直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用【方法點(diǎn)撥】掌握直角三角形兩條重要的性質(zhì)：（1）斜邊上的中線為斜邊的一半。（2）30°角所對(duì)直角邊為斜邊一半。且兩直角邊成倍關(guān)系。如圖，直線，如圖放置，若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而求得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出即可．【解答】解：，，，，，．故答案為：．如圖，沿直線折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，若，，則等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，故選：．如圖，從旗桿的頂端向地面拉一條繩子，繩子底端恰好在地面處，若旗桿的高度為3.2米，則繩子的長度不可能是A．3 B．3.3 C．4 D．5【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)斜邊大于直角邊進(jìn)而得出答案．【解答】解：旗桿的高度為米，，繩子的長度不可能是：3米．故選：．如圖，在中，，，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由三角形內(nèi)角和定理求得；由垂直的定義得到；然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360度進(jìn)行求解．【解答】解：如圖，在中，，，．于點(diǎn)，于點(diǎn)，，．故選：．考點(diǎn)7角平分線性質(zhì)的應(yīng)用【方法點(diǎn)撥】掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等牢記：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個(gè)比較簡單的方法；（2）當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問題時(shí)，通常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，構(gòu)造相等的線段。如圖，，平分，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的長為A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：，交于點(diǎn)，，過作于，，平分，，，，故選：．如圖，平分，于點(diǎn)，若，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于線段敘述正確的是A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)垂線段最短可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：過點(diǎn)作于，如圖，平分，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，．故選：．如圖，在中，為的平分線，于，于，的面積是，，，則的長A． B． C． D．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：為的平分線，，，，，即，解得，故選：．如圖，，，垂足分別為、．，若，則．【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出平分，再根據(jù)角平分線的定義可得．【解答】解：，，，平分，．故答案為：．考點(diǎn)8線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用【方法點(diǎn)撥】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等注意：（1）這里的距離指的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也就是兩點(diǎn)之間線段的長度。（2）在使用該定理時(shí)必須保證兩個(gè)前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。如圖，在中，的垂直平分線與邊，分別交于點(diǎn)，．已知與的周長分別為和，則的長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可得到結(jié)論．【解答】解：是的垂直平分線，，．的周長是，，即．的周長是，，，．故選：．如圖，在中，是的垂直平分線，且分別交、于點(diǎn)和，，，則為A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，得到，計(jì)算即可．【解答】解：在中，，，則，是的垂直平分線，，，，故選：．如圖，，分別是線段，的垂直平分線，連接，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解判斷即可．【解答】解：如圖，連接，，分別是線段，的垂直平分線，，，，故選：．如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，．若的周長為22，，則的周長為A．26 B．20 C．18 D．14【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可．【解答】解：是的垂直平分線，，，的周長為22，，，的周長，故選：．考點(diǎn)9等腰三角形與全等三角形的綜合如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE與AD相交于F．（1）求證：BF＝AC；（2）若CD＝3，求AF的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形腰長相等性質(zhì)可得AD＝BD，即可求證△BDF≌△ACD，即可解題；（2）連接CF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF＝DC，得到△DFC是等腰直角三角形．推出AE＝EC，BE是AC的垂直平分線．于是得到結(jié)論．【答案】解：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BFD＝∠ACD，在△BDF和△ACD中，，∴△BDF≌△ACD（AAS），∴BF＝AC；（2）連接CF，∵△BDF≌△ADC，∴DF＝DC，∴△DFC是等腰直角三角形．∵CD＝3，CF＝CD＝3，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝EC，BE是AC的垂直平分線．∴AF＝CF，∴AF＝3．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：CD＝BF；（2）求證：AD⊥CF；（3）連接AF，試判斷△ACF的形狀．【分析】（1）由平行可求得∠CBF＝90°，再結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)可求得BF＝BD，可得BF＝CD；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可證明△ACD≌△CBF，可得∠DCG＝∠CAD，可證明∠CGD＝90°，可得結(jié)論；（3）由（2）可得CF＝AD，又AB垂直平分DF，可得AD＝AF，可證明CF＝AF，可知△ACF為等腰三角形．【答案】（1）證明：∵AC∥BF，且∠ACB＝90°，∴∠CBF＝90°，又AC＝BC，∴∠DBA＝45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠BEF＝∠DBF＝90°，∴∠BDE＝∠BFE＝45°，∴BD＝BF，又D為BC中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴CD＝BF；（2）證明：由（1）可知CD＝BF，且CA＝CB，∠ACB＝∠CBF＝90°，在△ACD和△CBF中∴△ACD≌△CFB（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠CDA＝90°，∴∠BCF+∠CDA＝90°，∴∠CGD＝90°，∴AD⊥CF；（3）解：由（2）可知△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，由（1）可知AB垂直平分DF，∴AD＝AF，∴AF＝CF，∴△ACF為等腰三角形．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝CE；（2）求證：△AEF≌△CEB．【分析】（1）求出∠ACE＝45°，證明∠EAC＝∠ACE，即可解答；（2）利用同角的余角相等，證明∠BAD＝∠BCE，利用ASA證明即可解答．【答案】解：（1）∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE．（2）∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠B+∠BCE＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB．如圖，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD＝AE，連接BE、CD，交于點(diǎn)F．（1）判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）求證：過點(diǎn)A、F的直線垂直平分線段BC．【分析】（1）證得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證得結(jié)論；（2）利用垂直平分線段的性質(zhì)即可證得結(jié)論．【答案】解：（1）∠ABE＝∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD；（2）連接AF．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由（1）可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴點(diǎn)A、F均在線段BC的垂直平分線上，即直線AF垂直平分線段BC．考點(diǎn)10與三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多12cm，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等邊三角形；（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值．【答案】解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，x×1+12＝2x，解得：x＝12；（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t＝12﹣2t，解得t＝4，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊三角形△AMN．（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，由（1）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y(tǒng)﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假設(shè)成立．∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝60°，DE、DF分別交AC、BC于E、F點(diǎn)．（1）如圖1，若EF∥AB．求證：DE＝DF．（2）如圖2，若EF與AB不平行．則問題（1）的結(jié)論是否成立？說明理由．【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ADE≌△BDF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE＝DF；（2）過D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．可證明DM＝DN．再分一、當(dāng)M與E重合時(shí)，N就一定與F重合．二、當(dāng)M落在C、E之間時(shí)，N就一定落在B、F之間．三、當(dāng)M落在A、E之間時(shí)，N就一定落在C、F之間．三種情況討論即可求解．【答案】解：（1）∵EF∥AB．∴∠FEC＝∠A＝30°．∠EFC＝∠B＝30°∴EC＝CF．又∵AC＝BC∴AE＝BFD是AB中點(diǎn)．∴DB＝AD∴△ADE≌△BDF．∴DE＝DF（2）過D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，又∵∠ACB＝120°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）÷2＝30°，∴∠ADM＝∠BDN＝60°，∴∠MDN＝180°﹣∠ADM﹣∠BDN＝60°．∵AC＝BC、AD＝BD，∴∠ACD＝∠BCD，∴DM＝DN．由∠MDN＝60°、∠EDF＝60°，可知：一、當(dāng)M與E重合時(shí)，N就一定與F重合．此時(shí)：DM＝DE、DN＝DF，結(jié)合證得的DM＝DN，得：DE＝DF，但EF∥AB，不合題意．二、當(dāng)M落在C、E之間時(shí)，N就一定落在B、F之間．此時(shí)：∠EDM＝∠EDF﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，∠FDN＝∠MDN﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，∴∠EDM＝∠FDN，又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，∴△DEM≌△DFN（ASA），∴DE＝DF．三、當(dāng)M落在A、E之間時(shí)，N就一定落在C、F之間．此時(shí)：∠EDM＝∠MDN﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，∠FDN＝∠EDF﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，∴∠EDM＝∠FDN，又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，∴△DEM≌△DFN（ASA），∴DE＝DF．綜上一、二、三所述，得：DE＝DF．△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊向AD的左側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，過點(diǎn)E作BC的平行線，交直線AB于點(diǎn)F，連接BE．（1）如圖1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，則△BEF是三角形；（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，判斷△BEF的形狀并證明；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上移動(dòng)，△BEF是什么三角形？請(qǐng)直接寫出結(jié)論并畫出相應(yīng)的圖形．【分析】（1）根據(jù)題意推出△AED和△ABC為等邊三角形，然后通過求證△EAB≌△DAC，結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可推出△EFB為等邊三角形，（2）①根據(jù)（1）的推理依據(jù)，即可推出△EFB為等腰三角形，②根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，通過求證△EAB≌△DAC，推出等量關(guān)系，即可推出△EFB為等腰三角形．【答案】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴△AED和△ABC為等邊三角形，∴∠C＝∠ABC＝60°，∠EAB＝∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA＝∠C＝60°，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC＝60°，∵在△EFB中