中學數(shù)學核心概念、思想方法及其教學設計研究”課題教學設計案例之一：課題：《三角形內角和定理》執(zhí)教：廣州市天河中學游小蓉一．內容和內容解析【內容】本教學設計依托的課本內容是人教版《數(shù)學》第七章第二節(jié)7.2與三角形有關的角中的第一課時“7.2.1三角形的內角”,主要介紹了三角形的內角和定理及其證明，以及怎樣利用定理解決與三角形的內角和有關的問題，其中包括一道例題和兩道練習題、若干對應的課后作業(yè)題.【內容解析】本設計涉及的內容是人教版《數(shù)學》七年級下冊P72—P74練習止，課文一開始就明確指出,學生在小學里已經(jīng)知道了,任意三角形的三個內角和等于180o,現(xiàn)在的問題是,怎樣證明這個結論?而作為學生一面,他們可以思考,如果通過測量每一個三角形,可以得出這個結論,但是,作為教材的一方面,指出這樣做是很不嚴謹?shù)?理由有二:(1)形狀各異的三角形有無數(shù)個,不可能用度量的方法一一驗證所有的三角形；(2)測量是有誤差的,可能出現(xiàn)這樣的結果,有的同學量得某三角形的三個內角和大于180o,而有的同學量得某三角形的三個內角和小于180o,從而導致了不確定性，這就充分說明了證明“三角形的三個內角和等于180o”這個定理的必要性。教材中引導學生探討如何進行三角形內角和定理的證明，展示了一個完整的證明過程，讓學生看到證明的表達形式，為學生進行邏輯推理的訓練作好準備。教材在學習了定理證明后，緊接著利用一道海島視角問題，介紹了怎樣利用“三角形內角和定理”解決一類實際問題?！救切蝺冉呛透拍畹暮诵摹浚?）三角形的內角和等于180度；（2）三角形內角和定理的證明?！窘虒W重點】三角形內角和定理的證明及如何利用定理解決生活中的實際問題。二．目標和目標解析【目標】

（1）學會利用已學的相交線與平行線等相關性質證明三角形的內角和定理；（2）通過介紹“三角形內角和定理及其證明”，讓學生初步了解什么是幾何證明，并感受證明幾何問題的基本結構和推導過程（這個定理證明是課本第一次出現(xiàn)的幾何證明）.（3）．通過例題的學習和練習的初步訓練，使學生初步了解到，作為核心內容、核心定理之一的“三角形內角和定理”在航海測量、幾何計算等方面的重要的意義和價值.（4）通過學習，使學生初步感受到在證明幾何時,通過作輔助線可以給我們證明幾何問題帶來方便。（5）基本學會運用三角形內角和定理解決實際問題。【目標解析】教材中本節(jié)課的內容之所以稱之為核心內容，關鍵是它的地位舉足輕重，教材在這里設置“三角形的內角和定理”的證明及相關內容的簡單應用，其目是，起到了一個承上啟下的作用，它這所以放在相交線與平行線之后，是因為學習了相交線與平行線后有了證明三角形內角和等于180度的工具，相交線與平行線的相關定理作為重要的推理依據(jù)，同時，它放在三角形全等之前，為三角形全等的推理證明提供了證明的依據(jù)。由于小學學生已知三角形內角和等于180度，學會用折疊的方式驗證，但小學沒有上升到嚴格的證明，所以通過本課學習要求學生初步學會證明，通過“回顧結論、辨析發(fā)展、推理論證”進行研究三角形內角和定理。教材在作平行線時用同一個圖形兩種不同的處理方式，過一個頂點作一邊的平行線，但實際上添加輔助線的方法有許多，通過添加輔助線證題，增強學生的觀察、猜想和和定理證明的能力，感受探索三角形內角和定理的證明過程，培養(yǎng)學生有條理地思考問題和表達問題的能力，通過滲透＂化歸＂的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的基本方法。通過師生的共同探究活動，培養(yǎng)學生的概括、總結能力，激發(fā)學生探索問題的興趣，并且能運用三角形內角和定理解決實際問題。由于初一學生第一次接觸幾何證明，要求不能太高，要求學生基本學會定理的證明，在今后的學習中不斷的提高要求。由于學生已經(jīng)知道“三角形內角和等于180o”這一結論,因此，教學只有圍繞“180o”來做文章，而學生已經(jīng)學習或已經(jīng)掌握的關于“180o”的性質或定理只有如下幾點：（1）一個平角等于180o;（2）互補的兩個角（或鄰補角）的和等于180o;（3）兩直線平行,同旁內角互補,這兩個角的和等于180o;（4）兩個直角的和等于180o。因此，從這里入手，引導學生去探索定理的證明思路，比較自然、恰當而且科學.三．教學問題診斷分析【學生已有的知識結構】“三角形的內角和等于180度”，這一結論在義務教育課程標準試驗教科書《數(shù)學》(人教版)四年級下冊第五單元第6小節(jié)中三角形的知識學習中，學生利用拼圖的方法已知道三角形的三個內角的和等于180°，而本學期學生已學了平行線的性質與判定、平角的知識，學習了平移的知識，初步感受幾何推理的結構，本節(jié)課是在此基礎上，進一步地了解這個結論成立的道理．同時引導學生回憶小學的折疊的方式，想辦法將三角形的三個角平移成一個平角或同旁內角的形式，再利用所學的知識證明三角形內角定理，啟發(fā)學生正確添加輔助線，并證明這個結論正確的方法?！緦W生學習的困難】學生只知道“三角形內角和等于180o”是正確的，至于為什么是正確的，則無從知曉，如果真要追問到底的話，學生至多會說，經(jīng)過測量可以得出這個結論。而對于任意三角形的多樣性、復雜性估計不足，至于利用這個結論去解決其他問題時的可靠性則不知所云（課文為了彌補不足，特意另配了一個閱讀與思考P78，來加以強化說明證明的必要性），這就是學生學習第一個定理證明時必然要碰到的第一個困難；如何獲取證明的思路，如何引導學生利用所學知識將三角形的三個角搬在一起，正確添加輔助線是學生在學習中的第二個困難；而在學習例題時，如何依據(jù)A、B、C島的位置，通過連線準確構成ΔABC，為運用“三角形內角和定理”解決角度計算問題做鋪墊，就成為學生學習的第三個困難.【本節(jié)課的難點】學生如何獲取證明的思路，如何添加輔助線解決問題，并進行合乎情理地思考，有條理地表達；同時如何利用三角形內角和定理解決生活中的實際問題也是本節(jié)課教學中的一個難點。四．教學支持條件分析為了有效實現(xiàn)教學目標，可準備投影儀，多媒體課件，三角板、三角形模型輔助教學。五．教學過程設計（一）學生回憶，引出課題問題1：復習平行線的性質圖1（2）圖1（1）圖1（2）圖1（1）如圖1（1），已知：直線上有一點A，過點A作射線AM、AN，1、若∠DAM=30°，∠EAN=70°，則∠1等于多少度，為什么？2、若在AM上任取一點B，過點B作BC∥DE交AN于點C如圖1（2），則：（1）∠2等于多少度？為什么？（2）∠3等于多少度？為什么？（3）∠1+∠2+∠3等于多少度？為什么？設計意圖：通過復習相交線與平行線的相關知識，為本節(jié)課學生順利學習三角形內角和定理及證明做好準備。為了節(jié)省時間，問題1采用提問的方式引導學生回答。整個問題1的提問不超過3分鐘。師生活動：師：在第五章我們學習了相交線與平行線的相關知識，你還記得嗎？請同學們完成以下練習，看看誰完成的又快又準。生：1、∠1=80o,理由是:平角的定義；2、（1）∠2=30o,理由是:兩直線平行,內錯角相等（或利用兩直線平行，同旁內角互補）(2)∠3=70o,理由是:兩直線平行,內錯角相等（或利用兩直線平行，同旁內角互補）（3）∠1+∠2+∠3等于180度，三角形內角和等于180度；（二）通過設疑，引出課題問題2：三角形內角和是1800是真命題嗎？如何證明？設計意圖：鑒于學生對三角形內角和已經(jīng)有初步認識，在教學過程設計上沒有從學生身邊熟悉的事例創(chuàng)設情境，讓學生觀察并親自動手，而是對三角形內角和等于的知識加以回憶

。在小學學習中只是通過拼圖得出三角形的內角和等于180度，但沒有說明理由，而且“量一量、拼一拼”等受客觀因素的制約，影響了研究結果的準確性，有的學生可能量出內角和的度數(shù)確實要高于或低于180°，說明對于數(shù)學問題只靠剪拼得到的結論有一定的合理性，但還需證明來確認，借此教育學生研究問題要有一個嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。同時給出與“180o”有關的四個內涵,力求給學生一個思考的方向,如：能否把一個三角形的三個內角拼成一個平角?能否把一個三角形的三個內角通過平移,等價轉換成兩個互補的角?師生活動：師：對于任意一個三角形的三個內角的和等于180度.我們是在小學已經(jīng)知道了這個結論,那時侯,大家是怎樣知道的呢?生：通過度量的方法,或者剪拼實驗,能夠驗證一些具體的三角形的三個內角和都等于180o。師：同學們說的有一定的道理，但是一個命題是否成立，不能只靠拼一拼，量一量，必須經(jīng)過推理證明。為什么要證明它呢?其理由如下:(1)形狀各異的三角形有無數(shù)個,不可能用度量的方法一一驗證所有的三角形；(2)測量是有誤差的,可能出現(xiàn)這樣的結果,有的同學量得某三角形的三個內角和大于180o,而有的同學量得某三角形的三個內角和小于180o,從而導致了不確定性。如何證明？今天我們要通過自主探究,學習怎樣證明這個結論。師：如何證明？我們應從“180度”入手，同學們已經(jīng)學習或已經(jīng)掌握的關于“180o”的性質，有哪些呢?生：應該有以下幾點：（1）一個平角等于180o;（2）互補的兩個角（或鄰補角）的和等于180o;（3）兩直線平行,同旁內角互補,這兩個角的和等于180o;（4）兩個直角的和等于180o.師：下面請同學們自主探索定理的證明方法,當你碰到困難時,可以考慮邊看書邊寫出你自己的證明過程,并嘗試著將證明過程寫在練習本上，比一比看誰做得最快，用的方法最多？說明：學生探索證明過程教師走到學生中幫助學習有困難的學生。（三）探索三角形內角和定理證明的方法：圖2問題3：證明三角形內角和定理：三角形的三個內角和等于180o圖2已知：如圖2，三角形ABC求證：∠A+∠B+∠C=設計意圖：教師指導學生從不同角度思考,添加輔助線,解決證明疑難.作輔助線時，要遵循能夠利用前面所學的有關性質、定理進行后續(xù)推理的原則.師生活動:學生自主探索，教師一邊巡視，一邊指學習有困難的學生，根據(jù)學生完成的情況，大約給學生5至10分鐘的時間探索，然后由學生展示自己的探索結果，教師補充。生1：學生給出證法一(課本證法，利用平角180o):圖3過點A作直線同m∥BC,圖3∵∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C(兩直線平行,內錯角相等)∵∠1,∠3,∠2組成平角,∴∠1+∠3+∠2=180o(平角定義)∴∠B+∠3+∠C=180o(等量代換)師：這里可以看出，證明就是由題設(已知)出發(fā),經(jīng)過一步步的推理,最后推出結論(求證)正確的過程.師：為什么是過點A作BC的平行線DE，不是平行線能移動圖4∠B和∠C嗎？如圖4，將∠B移到∠2位置上，∠C移到圖4∠1位置上，此時DE與BC不平行。生1：過點A用一直線可以有無數(shù)條，哪一條才能滿足要求？難于判定，但是過點A作BC的平行線只有一條。生2：學生補充給出證法二:（利用平角180o):如圖5,延長BC到點D,過點C作CE∥AB∵CE∥AB(作圖)圖5∴∠2=∠A,(兩直線平行,內錯角相等)圖5∠1=∠B.(兩直線平行,同位角相等)又根據(jù)平角定義,∴∠1+∠2+∠3=180o∴∠A+∠B+∠3=180o(等量代換)師：剛才同學們采用搬動兩個角使得三角形的三個內角化為成一個平角的方法來證明，請問還有哪一位同學的方法與剛才的方法不相同？能否只搬動一個角？生3：還可以設計如下證法：（利用兩直線平行,同旁內角互補）過頂點C作CD∥BA（如圖6），則∠1＝∠A（兩直線平行，內錯角相等）．圖6∵CD∥圖6∴∠1+∠ACB+∠B＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）．∴∠A+∠ACB+∠B＝180°。師：教師給出證法三:（利用兩直線平行,同旁內角互補）圖7如圖7，分別過點A、B、C作AF∥BD∥CE，圖7∵AE∥BD∥CF（作圖）∴∠1=∠2，∠3=∠4（兩直線平行,內錯角相等)∴∠1+∠5+∠6+∠4=180o(兩直線平行,同旁內角互補)∴∠5+∠6+∠2+∠3=180o（等量代換）設計意圖:為學生學習例題1時,提供一點思考方向,或做鋪墊式的提示.師：今天我們學習了三角形的內角和定理，并明確如何推理證明，請問三角形內角和定理有什么用？生：利用三角形內角和定理，已知三角形的兩個內角可以求出第三個內角。（四）直接應用，檢測基本知識掌握情況比一比，看誰最快求出下列各圖形中，∠1、∠2或∠3的度數(shù)；∠1=∠2=∠3=設計意圖：讓學生通過計算，鞏固三角形內角和定理，并明確在一個三角形中已知兩個角，可以求出第三個角。讓學生獨立完成，并利用實物投影展示學生答案，同時為下一個問題作準備。師生活動：師：請同學們用剛學習的知識求出∠1、∠2或∠3的度數(shù)，比一比誰做得又快又準。生：展示答案。師：下面研究例題，通過對例題的分析，進一步地了解三角形內角和定理在實際生活中的應用。（五）例題分析，加深理解圖8問題2：如圖7，C島在A島的北偏東50度方向，B圖8在A島的北偏東80度方向，C島在B島的北偏西40度方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？設計意圖：此題是課本原有的例題，但對于初一學生學習有一定困難，教學中引導學生分析，要想求∠ACB的度數(shù)，先已知什么？培養(yǎng)學生的分析能力，同時加強推理能力的培養(yǎng)，讓三角形內角和定理用到生活實際中，同時讓學生理順幾何證明題的分析思路及證明題的書寫格式，培養(yǎng)書寫的條理性，為今后學習幾何做好準備。師生活動：師：本題要求的是什么？生：從C島在A、B兩島的視角∠ACB是多少度？師：要求∠ACB的度數(shù)，最好已知哪些條件？生：若已知∠CAB和∠ABC的度數(shù)就可以利用三角形內角和定理求得。師：請問問題中給出了∠CAB和∠ABC的度數(shù)嗎？生：未知。師：你是否有什么方法求得？題中所給的條件有什么樣用？生：利用所給的條件可以求出∠CAB和∠ABC的度數(shù)，那么可以求出∠ACB的度數(shù)。師：此題是利用三角形內角和定理求解，說明今后我們在解類似的的問題時，可以考慮先求出兩個角，然后用三角形內角和定理解決問題。說明；學生獨立完成，教師巡視，及時幫助學習困難的學生，學生完成后，展示個別學生的答案。證法一：(課本解法):∠CAB=∠BAD-∠CAD=80o-50o=30o∵AD∥BE,∴∠BAD+∠ABE=180o∴∠ABE=180o-∠BAD=180o-80o=100o∠ABC=∠ABE-∠CBE=100o-40o=60o在ΔABC中,∠ACB=180o-∠CAB-∠ABC=180o-30o-60o=90o.答:從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90o.證法二：師生共同討論,給出解法二:過點C作CF∥BE,∵AD∥BE(已知),CF∥BE(輔助線作法)∴AD∥CF(如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行)∴∠ACF=∠CAD=50o,∠BCF=∠CBE=40o(兩直線平行,內錯角相等)∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=∠CAD+∠CBE=50o+40o=90o.（七）總結概括，自我評價問題1：今天我們學習什么內容？你有什么收獲？讓我們分享吧！設計意圖：通過總結回憶，讓學生加深對三角形內角和定理的進一步認識。師生活動：師：今天我們學習什么內容？你有什么收獲？讓我們分享吧！學生1：三角形內角和的定理：三角形三個內角的和等于1800學生2：通過思考、去探究、去總結三角形內角和的定理，并且證明方法不止一種。學生3：探索到一個數(shù)學規(guī)律，最終還須證明；并且學會怎樣有條理的表達了。師：說的好！“證明”是確認數(shù)學規(guī)律的唯一方法。學生4：三角形內角和的定理證明中，添加輔助線的實質是通過平行線來移動角；學生5：三角形內角和的定理證明方法的實質是一種數(shù)學“化歸”思想的運用。即將三角形三個內角的和等于1800轉化為：(1)平角等于1800；(2)兩直線平行同旁內角和等于1800；師：說的好！這是我們數(shù)學研究問題思維方法。為了證明上的需要，在原來圖形上添加的線叫輔助線，輔助線通常畫成虛線。六、目標測試設計第1題第2題第1題：求出圖中x的值。第1題第2題第2題：如圖,從A處觀測C處時仰角∠CAD=30o,從B處觀測C處時仰角為∠CBD=45o,則∠CBA是度，從C處觀測A,B兩處時視角∠ACB是