線段的垂直平分線知識梳理知識點一知識點一線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.知識點二知識點二線段垂直平分線的判定到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上?？碱}型題型精析題型一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段【例題1】如圖，在中，，的中垂線交于，的中垂線交于，則的周長等于8．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【解答】解：是線段的垂直平分線，，同理，，的周長，故答案為：8．解題技巧提煉利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求解【變式1-1】如圖，在中，邊的垂直平分線分別交，于點，，若的周長為12，，則的周長為A．10 B．9 C．8 D．7【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，求出的周長，代入求出即可．【解答】解：，是線段的垂直平分線，，，的周長為12，，，的周長，故選：．【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點E，AC的垂直平分線交BC于點F，連接AE、AF，若△AEF的周長為2，則BC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．無法確定【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，根據(jù)三角形的周長公式即可求出BC．【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分線交BC于點F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF的周長＝2．故選：A．【變式1-3】如圖，點為三邊垂直平分線的交點，若，，則的度數(shù)為．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：點為三邊垂直平分線的交點，，，，，，故答案為：．【變式1-4】如圖，在中，，，DE垂直平分AC，交BC于點E，，則_______．【分析】根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，知AE=CE=8，從而求得∠AEB＝30°，利用直角三角形中，30°角對邊等于斜邊的一半求解即可.【詳解】解：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE=8，∴∠C＝∠CAE＝15°，∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∴∠AEB＝30°，∵∠ABC＝90°，AE=8，∴AB=，故答案為：4.【變式1-5】如圖，在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點這兩條垂直平分線分別交于點．已知的周長，分別連接，若的周長為，求的長．【分析】根據(jù)的周長，求出BC，根據(jù)三角形的周長公式求出OB+OC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OB＝OC，計算即可．【詳解】解：連接，的周長，；的周長為垂直平分同理，題型二利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度【例題2】如圖，已知，，垂直平分交于點，交于點，則．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，進而得到，結合圖形計算，得到答案．【解答】解：，，，垂直平分，，，，故答案為：．解題技巧提煉利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求解【變式2-1】如圖，已知中，，為內(nèi)一點，過點的直線分別交，于點、．若在的中垂線上，在的中垂線上，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，由等腰三角形的性質(zhì)得到，，進而得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：，，在的中垂線上，在的中垂線上，，，，，，，，故選：．【變式2-2】如圖，線段，的垂直平分線、相交于點．若，則A． B． C． D．【分析】連接，并延長到，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得和，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為得，根據(jù)外角的性質(zhì)得，，相加可得結論．【解答】解：連接，并延長到，，．線段，的垂直平分線、相交于點，，，，，，，，，，，．故選：．【變式2-3】在中，的垂直平分線分別交、于點、，的垂直平分線分別交、于點、，若，則．【分析】當為銳角時，如圖1，設，，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得：，，再運用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．當為鈍角時，如圖2，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得：，，，再結合三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．【解答】解：當為銳角時，如圖1，設，，，，，，、分別垂直平分、，，，，，，；當為鈍角時，如圖2，、分別垂直平分、，，，，，，，；綜上所述，或．故答案為：或．【變式2-4】如圖，在中，，，AB的垂直平分線MN交AC于D點，連接BD，則的度數(shù)是________．【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等，求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得AD=BD，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，可得∠ABD=∠A，然后求∠DBC的度數(shù)即可．【詳解】∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=(180°?∠A)=(180°?50°)=65°，∵MN垂直平分線AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC?∠ABD=65°?50°=15°.故答案為:15°.【變式2-5】如圖，在等腰三角形中，，，是的中點，于點，延長至點，使，連接，則的度數(shù)為________°.【分析】由，，是的中點，求解證明再求解證明從而可得答案．【詳解】解：，，是的中點，,，，故答案為：題型三線段垂直平分線的性質(zhì)的應用【例題3】近年來，高速鐵路的規(guī)劃與建設成為各地政府爭取的重要項目，如圖，，，三地都想將高鐵站的修建項目落戶在當?shù)?，但是，國資委為了使，，三地的民眾都能享受高鐵帶來的便利，決定將高鐵站修建在到，，三地距離都相等的地方，則高鐵站應建在A．，兩邊垂直平分線的交點處 B．，兩邊高線的交點處 C．，兩邊中線的交點處 D．，兩內(nèi)角的平分線的交點處【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可解答．【解答】解：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可得：將高鐵站修建在到，，三地距離都相等的地方，則高鐵站應建在，兩邊垂直平分線的交點處，故選：．解題技巧提煉根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)進行求解【變式3-1】元旦聯(lián)歡會上，同學們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學距離相等的位置放一個凳子，誰先搶到凳子誰獲勝．如果將A、B、C三名同學所在位置看作△ABC的三個頂點，那么凳子應該放在△ABC的（）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊上高的交點 D．三邊垂直平分線的交點【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點上．【解答】解：∵三角形的三條垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，∴凳子應放在△ABC的三條垂直平分線的交點最合適．故選：D．【變式3-2】如圖，在中，已知點D在上，且，則點D在（）A．的垂直平分線上B．的平分線上C．的中點D．的垂直平分線上【分析】因為，，所以，點在的垂直平分線上，據(jù)此作答．【詳解】解：∵，，，∴點在的垂直平分線上，故選：A．【變式3-3】如圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應選在（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三邊中線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵中轉(zhuǎn)倉到A、B兩地的距離相等，∴中轉(zhuǎn)倉的位置應選在邊AB的垂直平分線上，同理，中轉(zhuǎn)倉的位置應選在邊AC、BC的垂直平分線上，∵中轉(zhuǎn)倉到A、B、C三地的距離相等，∴中轉(zhuǎn)倉的位置應選在三邊垂直平分線的交點上，故選：A．【變式3-4】如圖，電信部門要在區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔．按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)，的距離必須相等，到兩條高速公路和的距離也必須相等．發(fā)射塔應該修建在A．的平分線和線段的交點處 B．的平分線和線段的垂直平分線的交點處 C．的平分線和線段的交點處 D．的平分線和線段的垂直平分線的交點處【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可知：要兩個城鎮(zhèn)，的距離，發(fā)射塔必須建在線段的垂直平分線上，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知要到兩條高速公路和的距離相等需要建在的平分線上，即可知發(fā)射塔要在兩線的交點位置．【解答】解：要兩個城鎮(zhèn)，的距離，發(fā)射塔必須建在線段的垂直平分線上，要到兩條高速公路和的距離相等需要建在的平分線上，發(fā)射塔應該修建在的平分線和線段的垂直平分線的交點處．故選：．【變式3-5】已知△，找一個點使，則這個點應該是這個三角形（）A．三邊中線的交點B．三內(nèi)角平分線的交點C．三條高線的交點D．三邊中垂線的交點【分析】根據(jù)PA=PB，可知點P在AB的垂直平分線上，根據(jù)PB=PC，可知點P在BC的垂直平分線上，根據(jù)PA=PC，可知點P在AC的垂直平分線上，問題得解．【詳解】解：∵PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上，∵PB=PC，∴點P在BC的垂直平分線上，∵PA=PC，∴點P在AC的垂直平分線上，∴點P是三角形三邊垂直平分線即中垂線的交點．故選：D題型四線段垂直平分線的性質(zhì)綜合【例題4】如圖所示，在中，、是邊、的垂直平分線，其垂足分別為、，分別交于、，且和交于點．（1）若，則；（2）若，則；（3）若，，設周長為，則的取值范圍為．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可；（3）根據(jù)三角形的周長公式得到的周長，根據(jù)三角形的三邊關系、勾股定理計算，得到答案．【解答】解：（1）是線段的垂直平分線，，；（2）、是邊、的垂直平分線，，，，，，，，，，；（3）、是邊、的垂直平分線，，，的周長，當時，，在中，，，，．故答案為：（1）；（2）；（3）．解題技巧提煉熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關鍵【變式4-1】如圖，在中，的中垂線交于點，交于點，已知，的周長為22，則______．【分析】由的中垂線交于點，可得再利用的周長為22，列方程解方程可得答案．【詳解】解：的中垂線交于點，，的周長為22，故答案為：【變式4-2】已知：如圖，點，在的邊，上，的垂直平分線與的垂直平分線相交于點，連接，，，．（1）求證：①；②；（2）探究：滿足什么條件時，是等邊三角形，并說明理由；（3）若，請在備用圖中畫出符合條件的圖形，并探究與之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2），理由見解析；（3）作圖，見解析，，理由見解析．【分析】(1)①利用線段垂直平分線的性質(zhì)，等量代換即可；②利用角的平分線的性質(zhì)，代換計算即可；(2)利用四邊形PCOD的內(nèi)角和為360°，計算得證；(3)證明即可得證.【詳解】（1）證明：①為的垂直平分線，，同理：，；②，，，同理，，；（2）．理由：∵，，，，，由（1）得，，是等邊三角形；（3）作圖如下，．理由：，，，，在和中，，，，由（1）得，，，．【變式4-3】如圖，在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，過點A作BC的平行線AF交CD于F，延長AB、DC交于點E．求證：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BA＝BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠BCA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAF＝∠BCA，等量代換證明結論；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠DCA，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)證明即可．【解答】證明：（1）∵BD所在的直線垂直平分線段AC，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵BC∥AF，∴∠CAF＝∠BCA，∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；（2）∵BD所在的直線垂直平分線段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA是△ACE的一個外角，∴∠DCA＝∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，∵∠CAF＝∠EAC，∴∠FAD＝∠E．【變式4-4】如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點、，的垂直平分線分別交，于點、．（1）設的周長為，當時，求的長；（2）若，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長公式計算即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再由等腰三角形的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)角的和差關系即可得出結論．【解答】解：（1）是的垂直平分線，是的垂直平分線，，．，的周長．（2），，，，，，．【變式4-5】在△ABC中，AB的垂直平分線l1交BC于點D，AC的垂直平分線l2交BC于點E，l1與l2相交于點O，△ADE的周長為6．（1）AD與BD的數(shù)量關系為．（2）求BC的長．（3）分別連接OA，OB，OC，若△OBC的周長為16，求OA的長．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等解答；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計算即可；（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OB＝OC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：（1）∵l1是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD，故答案為：AD＝BD；（2）∵l2是線段AC的垂直平分線，∴EA＝EC，∵△ADE的周長為6，∴AD+DE+AE＝6，∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（3）∵l1是線段AB的垂直平分線，∴OA＝OB，∵l2是線段AC的垂直平分線，OA＝OC，∴OB＝OC，∵△OBC的周長為16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．題型五線段垂直平分線的判定【例題5】如圖．AB＝AC，MB＝MC．求證：直線AM是線段BC的垂直平分線．【分析】由AB＝AC，MB＝MC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理，可得點A在BC的垂直平分線上，點M在BC的垂直平分線上，又由兩點確定一條直線，可得直線AM是線段BC的垂直平分線．【解答】證明：∵AB＝AC，∴點A在BC的垂直平分線上，∵BM＝CM，∴點M在BC的垂直平分線上，∴直線AM是BC的垂直平分線．解題技巧提煉根據(jù)線段的垂直平分線的判定定理進行求解【變式5-1】已知：如圖，是的角平分線，于點E，于點F，．（1）求證：;（2）求證：是的中垂線．【分析】（1）依據(jù)證明，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到，然后依據(jù)證明即可；（2）先證明，然后依據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)可得到，，故此可證明是的中垂線．【詳解】解：證明：（1）是的角平分線，，于點，于點，，在和中，，，，于點，于點，，在和中，，；（2），，又，，在和中，，，，，是的中垂線．【變式5-2】如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點D，E分別在邊AB、AC上，且AD=AE，連接BE、CD，交于點F．（1）判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關系，并說明理由；（2）求證：過點A、F的直線垂直平分線段BC．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定證得△ABE≌△ACD，繼而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證結論；（2）根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得，由（1）知．繼而根據(jù)角的和差可得，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得：，繼而根據(jù)線段垂直平分線的判定即可求解．【詳解】(1)理由：在△ABE和△ACD中∵∴△ABE≌△ACD（SAS）∴(2)∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，∴點、均在線段的垂直平分線上，即直線垂直平分線段.【變式5-3】如圖．△ABC中，∠B＝∠C，點P、Q、R分別在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求證：點Q在PR的垂直平分線上．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理證明△BQP≌△CRQ，得到QP＝QR，根據(jù)線段的垂直平分線的判定證明結論．【解答】證明：連接PQ，在△BQP和△CRQ中，PB=∴△BQP≌△CRQ，∴QP＝QR，∴點Q在PR的垂直平分線上．【變式5-4】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解決問題；（2）只要證明AE＝AC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=12∠BAC＝∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．（2）證明∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分線段EC，即直線AD是線段CE的垂直平分線．【變式5-5】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于點M交BE于點G，AD平分∠MAC，交BC于點D，交BE于點F．求證：線段BF垂直平分線段AD．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝∠BAM，根據(jù)角平分線的定義求出∠DAM＝∠CAD，求出∠BAD＝∠ADB，得出△ABD是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】證明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即線段BF垂直平分線段AD．題型六線段垂直平分線的作法【例題6】在的邊上找一點，使得．下面找法正確的是A．以為圓心，為半徑畫弧，交于點，點為所求 B．以為圓心，為半徑畫弧，交于點，點為所求 C．作的垂直平分線交于點，點為所求 D．作的垂直平分線交于點，點為所求【分析】根據(jù)題意得到，根據(jù)線段垂直平分線的判定、尺規(guī)作圖判斷即可．【解答】解：，，，點在線段的垂直平分線上，故選項正確，故選：．解題技巧提煉根據(jù)線段的垂直平