1/12017-2021北京重點校高一（下）期末數(shù)學匯編平面向量的數(shù)量積章節(jié)綜合一、單選題1．（2020·北京·中國人民大學附屬中學朝陽學校高一期末）已知球的直徑為3，是球上四個不同的點，且滿足，，，分別用表示的面積，則的最大值是A． B． C． D．2．（2018·北京·人大附中高一期末）如圖，在平面內放置兩個相同的直角三角板，其中，且三點共線，則下列結論不成立的是A． B．C．與共線 D．3．（2021·北京二中高一期末）平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則（）A． B． C． D．4．（2021·北京師大附中高一期末）已知平面向量滿足，則“與互相垂直”是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2020·北京·101中學高一期末）設向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．126．（2020·北京·中國人民大學附屬中學朝陽學校高一期末）已知非零平面向量，，，下列結論中正確的是（）（1）若，則；（2）若，則（3）若，則（4）若，則或A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）7．（2018·北京·人大附中高一期末）如圖，以為直徑在正方形內部作半圓，為半圓上與不重合的一動點，下面關于的說法正確的是A．無最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但無最小值D．既無最大值，又無最小值8．（2021·北京師大附中高一期末）已知正方形的邊長為1，則（）A． B．1 C． D．29．（2021·北京·101中學高一期末）在中，，點P是的中點，則（）A． B．4 C． D．610．（2020·北京師大附中高一期末）已知向量滿足，，，則向量的夾角為（）A． B． C． D．11．（2021·北京師大附中高一期末）已知，，且，則（）A． B． C． D．二、雙空題12．（2020·北京師大附中高一期末）已知點A(0，4)，B(2，0)，如果，那么點C的坐標為_____________；設點P(3，t)，且∠APB是鈍角，則t的取值范圍是___________________．13．（2020·北京師大附中高一期末）設向量，，則______；向量，的夾角等于______.三、填空題14．（2018·北京·101中學高一期末）已知實數(shù)、、、滿足：，，，則的最大值為______．15．（2018·北京師大附中高一期末）已知向量，，則與的夾角是______.16．（2017·北京八中高一期末）已知，均為單位向量，它們的夾角為，那么__________．17．（2018·北京·人大附中高一期末）向量，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則_____.18．（2018·北京師大附中高一期末）已知向量，則與的夾角是_________.四、解答題19．（2018·北京·人大附中高一期末）對于數(shù)集,其中,.定義向量集.若對于任意,存在,使得,則稱具有性質.例如具有性質.（1）若,且具有性質,求的值;（2）若具有性質,求證:,且當時,.20．（2020·北京師大附中高一期末）已知向量，，設函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調增區(qū)間；（3）若函數(shù)，，其中，試討論函數(shù)的零點個數(shù).21．（2021·北京師大附中高一期末）在中，.（1）求A的值；（2）再從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求邊上的中線的長度.條件①：；條件②：；條件③：.

參考答案1．B【解析】根據(jù)向量數(shù)量積為零可確定兩兩互相垂直，從而將三棱錐的外接球轉化為長方體的外接球，根據(jù)長方體外接球直徑為體對角線長可得，利用基本不等式可求得，進而求得面積之和的最值.【詳解】兩兩互相垂直三棱錐的外接球即為如下圖所示的長方體的外接球設，，，即（當且僅當時取等號）即的最大值為故選：【點睛】本題考查幾何體外接球相關問題的求解，關鍵是能夠利用平面向量數(shù)量積等于零得到垂直關系，進而將問題轉化為長方體外接球的問題，涉及到利用基本不等式求解最值；需明確長方體外接球的半徑為體對角線長度的一半.2．D【詳解】設BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三點共線，則CD═AB=m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，,故A、B、C成立；而，，即不成立，故選D.3．D【詳解】,,,與的夾角等于與的夾角,,,解得,故選D.【考點定位】向量的夾角及向量的坐標運算.4．C【分析】第一點：充分利用非零向量垂直與兩向量數(shù)量積為零的相互轉化；第二點：緊扣充分，必要條件的概念.【詳解】若與互相垂直，則，展開得，把代入解得，，所以.若，則，有，所以與互相垂直.綜上可知，“與互相垂直”是的充分必要條件.故選：C.5．B【解析】直接利用向量的模以及數(shù)量積的運算法則求解即可.【詳解】解：向量，滿足，，，則，則.故選：B.【點睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的模，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.6．B【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算，以及向量模的計算公式，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】已知非零平面向量，，，（1）若，則，所以或，即（1）錯；（2）若，則與同向，所以，即（2）正確；（3）若，則，所以，則；即（3）正確；（4）若，則，所以，不能得出向量共線，故（4）錯；故選：B.【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算，考查向量有關的判定，屬于基礎題型.7．D【詳解】設正方形的邊長為2，如圖建立平面直角坐標系，則D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）,∵cosθ∈（-1，1），∴∈（4，16）.故選D.點睛：本題考查了向量的加法及向量模的計算，利用建系的方法，引入三角函數(shù)來解決使得思路清晰，計算簡便，遇見正方形，圓，等邊三角形，直角三角形等特殊圖形常用建系的方法.8．B【分析】結合圖形，利用向量加法法則得到，再利用數(shù)量積求解.【詳解】如圖，因為是邊長為1的正方形，所以，.故選：B.9．C【分析】建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標運算計算可得；【詳解】解：如圖建立平面直角坐標系，則，，，所以，，所以故選：C10．C【解析】根據(jù)平面向量的夾角公式計算即可得到結果.【詳解】設向量的夾角為，則，由，，得：，向量的夾角為.故選：C.【點睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積和模長求解向量夾角的問題，屬于基礎題.11．A【解析】利用垂直向量的坐標表示可得出關于的等式，解出即可.【詳解】由，，且，所以，解得.故選：A.【點睛】本題考查利用平面向量垂直求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎題.12．(3,-2)(1,3)【詳解】根據(jù)題意，設的坐標為又由點則若，則有則有解可得則的坐標為又由，則若是鈍角，則且解可得即的取值范圍為即答案為(1).(3,-2)(2).(1,3)【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標計算公式，涉及向量平行的坐標表示方法，其中解題的關鍵是掌握向量坐標計算的公式．13．2【解析】直接根據(jù)數(shù)量積的定義以及夾角的計算公式即可求解結論.【詳解】解：因為向量，，故，，故，向量，的夾角滿足；因為，故向量，的夾角等于.故答案為：2，.【點睛】本題考查數(shù)量積的計算和夾角的計算公式，屬于基礎題.14．【分析】設A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圓的方程和向量數(shù)量積的定義、坐標表示，可得三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點A，B兩點到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，由兩平行線的距離可得所求最大值．【詳解】設A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B兩點在圓x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點A，B兩點到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，顯然A，B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=1平行，可設AB：x+y+t=0，（t＞0），由圓心O到直線AB的距離d=，可得2=1，解得t=，即有兩平行線的距離為=，即+的最大值為+，故答案為+．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標表示和定義，以及圓的方程和運用，考查點與圓的位置關系，運用點到直線的距離公式是解題的關鍵，屬于難題．15．【分析】由題意利用兩個向量的數(shù)量積公式求得，進而可得夾角.【詳解】∵向量，，∴，即，故與的夾角是.故答案為：.【點睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量垂直的條件，屬于基礎題.16．.【詳解】分析：由，均為單位向量，它們的夾角為，求出數(shù)量積，先將平方，再開平方即可的結果.詳解：∵，故答案為.點睛：平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.17．3【詳解】由題意可知：則故答案為3．18．【分析】利用向量的數(shù)量積直接求出向量的夾角即可.【詳解】由題知，，因為，所以與的夾角為.故答案為：.【點睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求解向量的夾角，屬于基礎題.19．（1）4；（2）見解析【詳解】試題分析：（1）在中取,，根據(jù)數(shù)量積的坐標公式，結合，可得．（2）取,設,根據(jù)，化簡可得，所以異號．而-1是數(shù)集中唯一的負數(shù)，所以中的負數(shù)必為-1，另一個數(shù)是1，從而證出，最后通過反證法，可以證明出當當時,.試題解析：（1）因為,選取,,由得,則.（2）取,設,由得,則,則和中有一個數(shù)是,則和中有一個數(shù)是,即,假設,則,再取,,則,所以和異號,且其中一個值為,若,則,矛盾;若,則,矛盾;則假設不成立,可得當時,.20．（1）最小正周期為；（2）函數(shù)的單調增區(qū)間為：()；（3）答案見解析.【解析】（1）通過向量的數(shù)量積求出函數(shù)的表達式，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求出函數(shù)的最小正周期.（2）利用正弦函數(shù)的單調增區(qū)間，直接求出函數(shù)的單調增區(qū)間即可.（3）求出函數(shù)在時函數(shù)的取值范圍，即可根據(jù)函數(shù)的零點的判斷方法推出函數(shù)零點的個數(shù).【詳解】（1）函數(shù)，.，，所以函數(shù)的最小正周期為：.（2）因為函數(shù)，由，，解得，，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為：().（3），因為，所以，，令，得，則函數(shù)的零點個數(shù)等價于與的交點個數(shù)，在同一坐標系中，作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象可知：當或時，零點為0個；當時函數(shù)有兩個零點，當或時，函數(shù)有一個零點；【點睛】本題主要考查三角函數(shù)與平面向量以及三角函數(shù)的圖象和性質的應用，還考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題.21．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊角互