6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊章節(jié)：6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教材分析本節(jié)課通過向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式的推導(dǎo)，得出兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算形式，并進(jìn)一步推導(dǎo)出向量模、兩點(diǎn)間距離公式以及向量垂直的坐標(biāo)條件，同時給出了夾角余弦的計算公式。教學(xué)過程從具體向量出發(fā)，通過代數(shù)運(yùn)算歸納出一般結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生理解向量運(yùn)算的代數(shù)化表達(dá)。本節(jié)內(nèi)容承接了前面向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積定義，是向量代數(shù)的重要組成部分。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠提升代數(shù)運(yùn)算能力和幾何直觀能力，為后續(xù)解析幾何、物理中的向量應(yīng)用以及三角恒等變換等內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和邏輯推理能力。學(xué)情分析針對本節(jié)知識內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生已經(jīng)掌握了平面向量的基本概念、線性運(yùn)算以及數(shù)量積的定義和幾何意義，具備了一定的向量運(yùn)算能力和幾何直觀能力，同時已經(jīng)熟悉了坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)表示和向量的坐標(biāo)形式，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。高中階段的學(xué)生具備一定的抽象思維能力和邏輯推理能力，能夠通過代數(shù)推導(dǎo)理解向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，但在將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)并進(jìn)行運(yùn)算的過程中，仍需加強(qiáng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。本節(jié)課要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行計算，并理解其在長度、夾角、垂直關(guān)系中的應(yīng)用，有助于提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)目標(biāo)理解平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式a?掌握向量模長的坐標(biāo)計算公式∣a理解向量垂直的坐標(biāo)判定條件x1掌握向量夾角余弦的坐標(biāo)計算公式cosθ重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式a?b=課堂導(dǎo)入同學(xué)們，之前我們學(xué)習(xí)了平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律，比如已知向量m、n，m?n=∣m∣∣n∣cosθ（平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示探究新知（一）知識精講在平面向量中，若已知兩個向量的坐標(biāo)表示，即a=(x首先，將向量a和b分別用單位向量i和j表示：a根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，有：a展開后得到：a又因?yàn)閱挝幌蛄恐g滿足：i所以：a這說明，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。由此可以進(jìn)一步推導(dǎo)出以下兩個重要結(jié)論：若a=∣如果向量a的起點(diǎn)為(x1,ya其模長為：∣若a=(x1,y1)x此外，設(shè)θ是向量a與b的夾角，則有：cos（二）師生互動教師提問：

我們知道兩個向量垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零，那么如果給定兩個向量的坐標(biāo)，我們?nèi)绾慰焖倥袛嗨鼈兪欠翊怪?？學(xué)生回答：

可以通過計算它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和是否為零來判斷。教師追問：

如果已知一個向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，如何求出這個向量的模長？學(xué)生回答：

首先用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到向量的坐標(biāo)表示，然后代入模長公式計算。教師引導(dǎo)：

很好，那如果我們想求兩個向量之間的夾角，除了用幾何方法，還可以用什么方法？學(xué)生思考后回答：

可以用數(shù)量積的坐標(biāo)表示和模長公式，代入余弦公式來求夾角。（三）設(shè)計意圖通過引導(dǎo)學(xué)生從向量的坐標(biāo)表示出發(fā)，推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，幫助學(xué)生理解向量運(yùn)算與坐標(biāo)之間的內(nèi)在聯(lián)系，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想。在師生互動中，通過層層遞進(jìn)的問題設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生從已知向量坐標(biāo)判斷垂直關(guān)系、求模長、求夾角等，逐步構(gòu)建起向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算體系。這一過程不僅有助于學(xué)生掌握基本公式和運(yùn)算規(guī)則，也培養(yǎng)了他們運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。同時，通過具體問題的解決，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動性和探究意識。教材圖片新知應(yīng)用例10題目：若點(diǎn)A(1,2)，B(2解答：首先，我們通過向量法來判斷三角形的形狀。求向量AB和AC：

A計算AB?A判斷垂直關(guān)系：

因?yàn)閿?shù)量積為0，所以AB得出結(jié)論：

由于∠CAB是直角，因此總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①向量的坐標(biāo)表示；

②向量數(shù)量積的計算；

③利用向量垂直判斷三角形形狀。2.題目求解要點(diǎn)①通過坐標(biāo)差求出向量；

②利用數(shù)量積公式判斷兩向量是否垂直；

③結(jié)合幾何意義得出三角形的形狀。例11題目：設(shè)a=(5,?7)，b=(?6,?4)，求解答：計算數(shù)量積a?b：計算向量的模：

∣a∣計算夾角余弦值：

cos求夾角θ：

利用計算器計算：

θ總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①向量數(shù)量積的坐標(biāo)計算；

②向量夾角的余弦公式；

③利用計算器求角度。2.題目求解要點(diǎn)①熟練掌握數(shù)量積的坐標(biāo)公式；

②正確計算向量的模；

③理解余弦值與夾角的關(guān)系，并能使用計算器求角度。例12題目：用向量方法證明兩角差的余弦公式：

cos解答：構(gòu)造單位圓與向量：

在平面直角坐標(biāo)系中作單位圓，設(shè)角α、β的終邊分別交單位圓于點(diǎn)A、B，則：

O計算向量數(shù)量積：

O根據(jù)數(shù)量積定義：

OA?OB=∣OA∣∣OB∣cos比較兩式得：

cos分析夾角與角度差的關(guān)系：

由圖可知，θ=∣α?β∣最終結(jié)論：

cos總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①單位圓與三角函數(shù)的幾何表示；

②向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)表示；

③兩角差余弦公式的向量證明。2.題目求解要點(diǎn)①利用單位圓構(gòu)造向量；

②通過數(shù)量積的兩種表達(dá)式建立等式；

③理解向量夾角與角度差之間的關(guān)系；

④掌握用向量法推導(dǎo)三角恒等式的思路。新知鞏固題目：已知平面向量m=(sinx,1)，n=(1,cosx)，函數(shù)解答：首先，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式：

m?n=x1x2+接下來分析數(shù)列{an}。已知{an}是等差數(shù)列，且a3我們要求的是數(shù)列{bn}的前5由于{an}是等差數(shù)列，其前5所以{bn}的前5由于a3=a1+觀察發(fā)現(xiàn)，這些項(xiàng)關(guān)于b3對稱。由于sinx+計算b3：

因此：

b所以前5項(xiàng)和為：

b總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示等差數(shù)列的基本性質(zhì)三角函數(shù)的和角公式與對稱性數(shù)列前n項(xiàng)和的計算2.題目求解要點(diǎn)利用向量數(shù)量積公式f利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示各項(xiàng)利用三角函數(shù)的對稱性簡化計算發(fā)現(xiàn)數(shù)列{b3.同類型題目解題步驟寫出向量數(shù)量積的表達(dá)式根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出各項(xiàng)將各項(xiàng)代入函數(shù)表達(dá)式，得到數(shù)列{觀察數(shù)列的對稱性或周期性，簡化求和過程利用對稱性或特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行快速求和板書設(shè)計平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

├─數(shù)量積坐標(biāo)公式：a?b=x1x2+y1y2

├─向量模長

│├─∣a∣2=x2+y2

│├─∣a∣教學(xué)反思本節(jié)課教學(xué)設(shè)計從探究已知向量坐標(biāo)如何表示數(shù)量積入手，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)得出數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，進(jìn)而得出向量模長、垂直關(guān)系及夾角余弦的坐標(biāo)表示。通過本堂課教學(xué)，基本完成教學(xué)任務(wù)，多數(shù)學(xué)生能理解并運(yùn)用相關(guān)公式。成功之處在于引導(dǎo)學(xué)生逐步推導(dǎo)公式，利于理解知識形成過程；注重對公式應(yīng)用的講解，幫助學(xué)生掌握知識。不足之處在于推導(dǎo)過程節(jié)奏稍快，部分基礎(chǔ)薄弱學(xué)生難跟上；例題練習(xí)對實(shí)際應(yīng)用場景涉及少，不利于學(xué)生體會知識實(shí)用性。課堂練習(xí)第1題【題文】已知向量→=(0,1),A．1B．5C．3D．1【答案】B第2題【題文】已知平面向量a=(3,?1)A．9B．3C．4D．16【答案】C第3題【題文】已知向量→=(?1,1)，→A．?B．?C．13D．5【答案】C課前任務(wù)1.知識回顧

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面向量的線性運(yùn)算及其幾何意義，掌握了向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算。請回顧向量的分解與合成方法，并思考如何用基底i、j表示