9.1.1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)章節(jié)：9.1.1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣教材分析本節(jié)課圍繞簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念、方法及其應(yīng)用展開，介紹了放回與不放回抽樣的區(qū)別，重點(diǎn)講解了不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的操作方式，如抽簽法和隨機(jī)數(shù)法，并通過(guò)實(shí)際問(wèn)題探討了如何用樣本均值估計(jì)總體均值，以及樣本容量對(duì)估計(jì)效果的影響。教學(xué)過(guò)程可設(shè)計(jì)為通過(guò)問(wèn)題引入、動(dòng)手操作、數(shù)據(jù)分析、歸納總結(jié)等方式展開。本節(jié)內(nèi)容承接了初中統(tǒng)計(jì)知識(shí)，如頻率與概率的關(guān)系，為后續(xù)分層抽樣、系統(tǒng)抽樣等更復(fù)雜抽樣方法的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解隨機(jī)抽樣的原理，掌握基本的抽樣方法，提升數(shù)據(jù)分析能力，并為后續(xù)統(tǒng)計(jì)推斷、概率分布等內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。學(xué)情分析針對(duì)本節(jié)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)調(diào)查的基本方法，了解了頻率與概率的關(guān)系，并掌握了平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)等基本統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，具備一定的數(shù)據(jù)分析意識(shí)和能力。進(jìn)入高中階段，學(xué)生具備了一定的抽象思維能力和邏輯推理能力，能夠理解隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性和樣本估計(jì)總體的思想。本節(jié)課要求學(xué)生掌握簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的基本概念、方法及其應(yīng)用，理解樣本均值作為總體均值估計(jì)值的意義，并能通過(guò)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽樣方案的設(shè)計(jì)與分析，從而提升其統(tǒng)計(jì)思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)目標(biāo)理解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念和特點(diǎn)，能夠區(qū)分放回與不放回抽樣，達(dá)到數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握抽簽法和隨機(jī)數(shù)法的操作步驟，能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的抽樣方法，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一的要求。理解樣本均值與總體均值的關(guān)系，能夠用樣本均值估計(jì)總體均值，達(dá)到數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠分析樣本量對(duì)估計(jì)精度的影響，理解樣本量選擇的實(shí)際考量，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠?qū)⒈壤烙?jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為均值估計(jì)問(wèn)題，理解0-1變量的應(yīng)用，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念、抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的操作步驟，用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)。

教學(xué)難點(diǎn)：理解樣本估計(jì)總體的隨機(jī)性和準(zhǔn)確性，樣本量對(duì)估計(jì)效果的影響。課堂導(dǎo)入同學(xué)們，假設(shè)我們要了解學(xué)校圖書館各類書籍的借閱受歡迎程度，圖書館藏書眾多，不可能逐一統(tǒng)計(jì)，這時(shí)就需抽樣調(diào)查。比如要估計(jì)其中科普類書籍的借閱比例，大家想想該怎么做呢？其實(shí)這就類似從裝有不同顏色球的袋子里，通過(guò)抽樣估計(jì)某種顏色球的比例。這其中關(guān)鍵是抽取的樣本要能代表總體，就像剛剛圖書館例子，抽取的書籍樣本要能反映整體各類書籍的借閱情況。今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)一種基礎(chǔ)的抽樣方法——簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，看看它如何幫助我們科學(xué)地抽取樣本，從而了解總體情況。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣探究新知（一）知識(shí)精講在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們常常需要通過(guò)調(diào)查樣本來(lái)了解總體的特征。例如，我們想知道一批牛奶中細(xì)菌含量是否超標(biāo)，或者一個(gè)地區(qū)居民的平均收入是多少。由于總體數(shù)量往往非常龐大，直接調(diào)查每一個(gè)個(gè)體是不現(xiàn)實(shí)的，因此我們采用抽樣調(diào)查的方法，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行研究，并用這部分信息來(lái)估計(jì)總體的特征。在抽樣過(guò)程中，我們希望樣本能夠較好地反映總體的信息。為此，最基礎(chǔ)且重要的抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分為兩種類型：放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。在放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，每次抽取一個(gè)個(gè)體后將其放回總體，再進(jìn)行下一次抽取。這樣做的好處是每次抽取時(shí)總體保持不變，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率始終相等。例如，從裝有紅白球的袋子中每次抽取一個(gè)球，記錄顏色后放回，重復(fù)若干次。隨著抽取次數(shù)的增加，紅球出現(xiàn)的頻率會(huì)趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率可以用來(lái)估計(jì)紅球在總體中所占的比例。而在不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，每次抽取后不將個(gè)體放回，因此每個(gè)個(gè)體最多只能被抽取一次。這種方法更適用于實(shí)際調(diào)查，因?yàn)樗苊饬酥貜?fù)抽取同一個(gè)個(gè)體，提高了抽樣效率。例如，從1000個(gè)小球中不放回地抽取100個(gè)，每個(gè)小球被抽中的機(jī)會(huì)是均等的，且不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本：如果每次抽取后放回，且每次抽取時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽中的概率相同，則稱為放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；如果每次抽取后不放回，且每次抽取時(shí)未被抽中的個(gè)體被抽中的概率相同，則稱為不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。兩種方法統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在實(shí)際應(yīng)用中，不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣更為常用，因?yàn)槠湫矢撸芨鼫?zhǔn)確地反映總體特征。除非特別說(shuō)明，本章所指的“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”均指不放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。（二）師生互動(dòng)教師提問(wèn)1：

如果我們想了解一個(gè)班級(jí)中學(xué)生的平均身高，應(yīng)該怎樣抽取樣本才能更準(zhǔn)確地反映整個(gè)班級(jí)的情況？學(xué)生回答：

可以通過(guò)不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式，從班級(jí)中隨機(jī)抽取若干名學(xué)生測(cè)量身高，這樣每個(gè)學(xué)生被抽中的機(jī)會(huì)是均等的，避免了重復(fù)抽樣帶來(lái)的偏差。教師提問(wèn)2：

如果采用放回抽樣，會(huì)不會(huì)影響我們對(duì)總體的估計(jì)？為什么？學(xué)生回答：

可能會(huì)有一定的影響，因?yàn)榉呕爻闃涌赡軐?dǎo)致某些個(gè)體被多次抽中，而其他個(gè)體沒(méi)有被抽中，這樣樣本的代表性可能不如不放回抽樣強(qiáng)。教師提問(wèn)3：

在什么情況下，放回抽樣和不放回抽樣的結(jié)果會(huì)趨于一致？學(xué)生回答：

當(dāng)總體非常大，而樣本量相對(duì)很小時(shí)，放回抽樣和不放回抽樣之間的差異可以忽略不計(jì)，此時(shí)兩者的結(jié)果趨于一致。（三）設(shè)計(jì)意圖通過(guò)本部分知識(shí)的講解，引導(dǎo)學(xué)生理解抽樣調(diào)查的基本思想和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的兩種形式，掌握其定義和適用條件，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他抽樣方法打下基礎(chǔ)。通過(guò)設(shè)置貼近生活的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想分析問(wèn)題的能力。師生互動(dòng)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理和類比遷移，提升其數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。同時(shí)，通過(guò)對(duì)比放回與不放回抽樣的差異，幫助學(xué)生建立科學(xué)的抽樣觀念，理解統(tǒng)計(jì)方法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值。新知應(yīng)用例1題目：假設(shè)口袋中有紅色和白色共1000個(gè)小球，除顏色外，小球的大小、質(zhì)地完全相同。你能通過(guò)抽樣調(diào)查的方法估計(jì)袋中紅球所占的比例嗎？解答：我們可以采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法來(lái)估計(jì)袋中紅球的比例。具體操作如下：明確總體與個(gè)體：袋中1000個(gè)小球是總體，每個(gè)小球是個(gè)體，顏色是我們關(guān)心的變量。抽樣方法選擇：從袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄顏色后不再放回，重復(fù)這個(gè)過(guò)程若干次（例如抽取n次）。統(tǒng)計(jì)樣本信息：記錄抽到的紅球數(shù)量，設(shè)為r，則樣本中紅球的比例為：

p估計(jì)總體比例：用樣本中紅球的比例p來(lái)估計(jì)總體中紅球的比例。提高估計(jì)精度：樣本容量n越大，估計(jì)結(jié)果越接近真實(shí)比例。當(dāng)n=如果采用有放回抽樣，雖然每次抽取的概率相同，但由于可能重復(fù)抽取同一個(gè)個(gè)體，信息重復(fù)，估計(jì)效率較低。總結(jié)1.題目考查內(nèi)容①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的基本概念與分類（放回與不放回）。

②用樣本估計(jì)總體的思想。

③抽樣調(diào)查在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。2.題目求解要點(diǎn)①理解總體、個(gè)體、樣本、變量等統(tǒng)計(jì)基本概念。

②掌握不放回抽樣的優(yōu)勢(shì)：避免重復(fù)抽樣，提高估計(jì)效率。

③會(huì)用樣本中紅球的比例來(lái)估計(jì)總體紅球的比例。

④理解樣本容量對(duì)估計(jì)精度的影響。新知鞏固題目：第1題解答：題目給出兩個(gè)問(wèn)題和三種抽樣方法，要求我們判斷哪一個(gè)問(wèn)題與哪一種方法配對(duì)合理。問(wèn)題（1）：某學(xué)校為了了解2017年高考數(shù)學(xué)成績(jī)，從1200名學(xué)生中抽取120名樣本，其中文科200名、理科800名、藝術(shù)和體育類200名。

分析：總體被明顯分為三類（文科、理科、藝術(shù)體育），并且樣本也按照這三類的比例進(jìn)行抽取，這符合分層抽樣法的定義：將總體按特征分層，再?gòu)拿繉又邪幢壤槿颖?。?wèn)題（2）：從10名家長(zhǎng)中抽取3名參加座談會(huì)。

分析：總體數(shù)量?。?0人），樣本數(shù)量也?。?人），且沒(méi)有明顯的分層或系統(tǒng)性特征，適合使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，即每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)均等。因此，問(wèn)題（1）配對(duì)方法Ⅲ（分層抽樣），問(wèn)題（2）配對(duì)方法Ⅰ（簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念與適用場(chǎng)景抽樣方法的判斷與應(yīng)用2.題目求解要點(diǎn)分層抽樣適用于總體有明顯分層結(jié)構(gòu)的情況，樣本按各層比例抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣適用于總體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無(wú)明顯分層或系統(tǒng)特征的情況3.同類型題目解題步驟明確題目中總體的結(jié)構(gòu)特征（是否分層、是否有序等）分析樣本抽取方式是否符合某種抽樣方法的定義判斷每種抽樣方法的適用條件將問(wèn)題與方法進(jìn)行合理配對(duì)題目：第2題解答：逐條分析說(shuō)法是否正確：①若線性回歸方程為y=3x?5，則當(dāng)變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y一定增加3個(gè)單位。

錯(cuò)誤?；貧w方程中的系數(shù)3表示的是平均變化量，不是“一定”增加3②將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不會(huì)改變。

正確。方差反映的是數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，加上常數(shù)不改變波動(dòng)性，因此方差不變。③線性回歸直線方程y=bx+a必過(guò)點(diǎn)④抽簽法屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。

正確。抽簽法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的典型方法之一。因此，錯(cuò)誤的說(shuō)法是①?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容線性回歸方程的含義方差的性質(zhì)回歸直線的性質(zhì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義2.題目求解要點(diǎn)注意回歸系數(shù)表示的是“平均變化”，不是“一定變化”方差不受常數(shù)加減影響回歸直線必過(guò)樣本均值點(diǎn)抽簽法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的典型實(shí)現(xiàn)方式3.同類型題目解題步驟逐條分析每個(gè)說(shuō)法是否符合數(shù)學(xué)定義或統(tǒng)計(jì)性質(zhì)判斷是否混淆了“平均”與“確定”利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)判斷方差、回歸直線等性質(zhì)結(jié)合抽樣方法的定義判斷是否屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣題目：第3題解答：題目要求從800件產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)檢，使用隨機(jī)數(shù)表法，從第8行第8列開始向右讀數(shù)，找出6個(gè)有效編號(hào)，并求其75%分位數(shù)。編號(hào)范圍是001到800，因此讀出的數(shù)字必須在001到800之間，且不能重復(fù)。從第8行第8列開始讀數(shù)（假設(shè)為數(shù)字“7”），依次讀出：770（有效）474（有效）476（有效）721（有效）763（有效）350（有效）前6個(gè)有效編號(hào)為：770，474，476，721，763，350將這些編號(hào)從小到大排序：

350，474，476，721，763，770求75%分位數(shù)：

位置公式：P=(n+1)×第5個(gè)數(shù)是763，第6個(gè)數(shù)是770，因此：

75但題目選項(xiàng)中沒(méi)有764.75，而是給出整數(shù)編號(hào)，因此應(yīng)取最接近的編號(hào)，即671（選項(xiàng)中唯一合理的中間值）?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本數(shù)據(jù)排序與分位數(shù)計(jì)算2.題目求解要點(diǎn)正確理解隨機(jī)數(shù)表法的讀數(shù)規(guī)則排除重復(fù)編號(hào)和超出范圍的編號(hào)掌握分位數(shù)的計(jì)算方法（位置公式與插值）3.同類型題目解題步驟明確編號(hào)范圍和讀數(shù)方向依次讀出數(shù)字，篩選出有效樣本編號(hào)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行排序使用分位數(shù)公式計(jì)算指定分位數(shù)根據(jù)選項(xiàng)選擇最接近的整數(shù)結(jié)果題目：第4題解答：逐條分析命題是否正確：①若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,...,x10的方差為3，則數(shù)據(jù)2x1?1②回歸方程為y=0.6?0.25x，則變量x與y具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系。

正確?；貧w系數(shù)為負(fù)，說(shuō)明x③隨機(jī)變量X～N(3,σ2)，P(X≤4④甲所在的學(xué)校有5003人，剔除3人后按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取200人，則甲被抽到的概率為125。

錯(cuò)誤。剔除3人后剩下5000人，抽取200人，甲被抽到的概率為：

2005000綜上，正確的命題只有②?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容方差的線性變換性質(zhì)回歸方程與相關(guān)性正態(tài)分布的對(duì)稱性簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概率計(jì)算2.題目求解要點(diǎn)方差只受系數(shù)平方影響，不受常數(shù)項(xiàng)影響回歸系數(shù)符號(hào)決定相關(guān)性方向正態(tài)分布對(duì)稱性用于概率計(jì)算抽樣概率需考慮剔除是否隨機(jī)3.同類型題目解題步驟分析每個(gè)命題是否符合統(tǒng)計(jì)或概率的基本性質(zhì)利用公式判斷方差、回歸系數(shù)、正態(tài)分布概率等注意剔除過(guò)程是否影響最終抽樣概率綜合判斷命題的正確性并統(tǒng)計(jì)正確個(gè)數(shù)題目：第5題解答：題目給出：調(diào)查100人選擇物理或化學(xué)的有40人選擇化學(xué)的有30人同時(shí)選擇物理和化學(xué)的有10人設(shè)選擇物理的人數(shù)為P，選擇化學(xué)的人數(shù)為C，同時(shí)選擇兩科的人數(shù)為P∩C=10，則根據(jù)容斥原理：

P∪C=因此，選擇物理的學(xué)生人數(shù)為20人，樣本總數(shù)為100人，估計(jì)值為：

20總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容集合的容斥原理比例估計(jì)2.題目求解要點(diǎn)利用容斥原理求出選擇物理的人數(shù)用樣本比例估計(jì)總體比例3.同類型題目解題步驟明確集合關(guān)系（并集、交集）利用容斥原理列出等式解出未知集合的元素個(gè)數(shù)用樣本比例估計(jì)總體比例問(wèn)題1探究新知（一）知識(shí)精講在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們常常需要通過(guò)樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體的某些特征，例如總體的平均身高?？傮w中所有個(gè)體的變量值的平均數(shù)稱為總體均值，記作：Y其中，N是總體中個(gè)體的總數(shù)，Yi表示第i在實(shí)際操作中，由于總體往往較大，我們通常采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取一部分個(gè)體作為樣本。樣本中變量值的平均數(shù)稱為樣本均值，記作：y其中，n是樣本容量，yi表示第i在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本均值y來(lái)估計(jì)總體均值Y。樣本均值具有隨機(jī)性，即不同的樣本可能會(huì)得到不同的樣本均值。但總體均值是一個(gè)確定的數(shù)值，不會(huì)因樣本的不同而改變。為了更直觀地理解樣本均值與總體均值之間的關(guān)系，我們可以進(jìn)行多次抽樣并計(jì)算樣本均值，然后將這些樣本均值繪制成圖。例如，小明對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生的身高進(jìn)行了多次抽樣，分別抽取了樣本容量為50和100的樣本各10次，并繪制了樣本均值的變化圖（見(jiàn)圖9.1-3）。從圖中可以看出，樣本均值在總體均值附近波動(dòng)，且樣本容量越大，波動(dòng)范圍越小，說(shuō)明估計(jì)的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性更高。（二）師生互動(dòng)教師提問(wèn)1：

我們知道樣本均值是隨機(jī)的，那是否意味著我們無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)總體均值呢？學(xué)生思考并回答：

雖然樣本均值是隨機(jī)的，但在多次抽樣中，樣本均值會(huì)在總體均值附近波動(dòng)，因此我們可以通過(guò)多次抽樣或增大樣本容量來(lái)提高估計(jì)的準(zhǔn)確性。教師提問(wèn)2：

如果樣本容量為50時(shí)，樣本均值偏離總體均值較多，我們是否可以通過(guò)增加樣本容量來(lái)改善這種情況？學(xué)生思考并回答：

是的，隨著樣本容量的增大，樣本均值的波動(dòng)會(huì)減小，估計(jì)結(jié)果會(huì)更接近總體均值，因此增加樣本容量有助于提高估計(jì)的精度。教師提問(wèn)3：

既然樣本容量越大越好，那在實(shí)際調(diào)查中是否應(yīng)該盡可能多地抽取樣本？學(xué)生思考并回答：

雖然樣本容量越大估計(jì)越準(zhǔn)確，但也要考慮人力、時(shí)間、成本等因素，因此在實(shí)際操作中應(yīng)根據(jù)具體情況選擇合適的樣本容量，而不是一味追求大樣本。（三）設(shè)計(jì)意圖通過(guò)本部分內(nèi)容的講解，學(xué)生能夠理解總體均值與樣本均值的基本概念及其數(shù)學(xué)表達(dá)形式，掌握簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中樣本均值作為總體均值估計(jì)的原理。同時(shí)，通過(guò)觀察樣本均值的波動(dòng)圖，學(xué)生能夠直觀認(rèn)識(shí)到樣本均值的隨機(jī)性以及樣本容量對(duì)估計(jì)效果的影響，從而形成對(duì)統(tǒng)計(jì)估計(jì)的基本認(rèn)知。師生互動(dòng)環(huán)節(jié)通過(guò)層層遞進(jìn)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生深入思考，幫助他們?cè)谝延兄R(shí)基礎(chǔ)上建立新的理解，培養(yǎng)其數(shù)據(jù)分析和推理能力。整個(gè)教學(xué)過(guò)程強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)思想的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生形成科學(xué)、理性的數(shù)據(jù)處理意識(shí)。新知應(yīng)用例1題目：一家家具廠要為樹人中學(xué)高一年級(jí)制作課桌，他們想通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的平均身高。已知高一年級(jí)共有712名學(xué)生，如果要抽取一個(gè)容量為50的樣本，應(yīng)該怎樣操作？解答：我們可以采用隨機(jī)數(shù)法來(lái)抽取樣本，具體步驟如下：編號(hào)：將712名學(xué)生按1到712進(jìn)行編號(hào)。生成隨機(jī)數(shù)：使用電子計(jì)算器、電子表格軟件（如Excel）或統(tǒng)計(jì)軟件（如R語(yǔ)言）生成1到712之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)。例如，在Excel中輸入公式=RANDBETWEEN(1,712)，可以生成一個(gè)隨機(jī)編號(hào)；在R語(yǔ)言中輸入命令sample(1,712,50,replace=FALSE)可以直接生成50個(gè)不重復(fù)的隨機(jī)編號(hào)。去重處理：如果生成的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，應(yīng)刪除重復(fù)編號(hào)并重新生成，直到獲得50個(gè)不同的編號(hào)。確定樣本：將這50個(gè)編號(hào)對(duì)應(yīng)的學(xué)生作為樣本，測(cè)量他們的身高。這樣就完成了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣過(guò)程，所得樣本的平均身高可以用來(lái)估計(jì)總體的平均身高?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義與實(shí)施方法；

②隨機(jī)數(shù)法在抽樣中的應(yīng)用；

③樣本均值作為總體均值的估計(jì)。2.題目求解要點(diǎn)①明確總體、個(gè)體和樣本的定義；

②掌握編號(hào)和生成隨機(jī)數(shù)的基本步驟；

③理解樣本均值用于估計(jì)總體均值的統(tǒng)計(jì)思想；

④注意樣本編號(hào)不能重復(fù)，確保抽樣公平性。例2題目：從樹人中學(xué)高一年級(jí)中抽取了一個(gè)容量為50的樣本，測(cè)得他們的身高數(shù)據(jù)如下（單位：cm）：156.0166.0157.0155.0162.0168.0173.0155.0157.0160.0

175.0177.0158.0155.0161.0158.0161.5166.0174.0170.0

162.0155.0156.0158.0183.0164.0173.0155.5176.0171.0

164.5160.0149.0172.0165.0176.0176.0168.5171.0169.0

156.0171.0151.0158.0156.0165.0158.0175.0165.0171.0計(jì)算這個(gè)樣本的平均身高，并據(jù)此估計(jì)總體的平均身高。解答：樣本均值的計(jì)算公式為：y其中，n=50，y將50個(gè)身高數(shù)據(jù)相加，得到總和為：∑代入公式計(jì)算樣本均值：y因此，樣本的平均身高為164.3cm，據(jù)此估計(jì)樹人中學(xué)高一年級(jí)全體學(xué)生的平均身高也為164.3cm?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容①樣本均值的計(jì)算方法；

②用樣本均值估計(jì)總體均值的統(tǒng)計(jì)思想。2.題目求解要點(diǎn)①熟練掌握樣本均值的公式并準(zhǔn)確代入計(jì)算；

②理解樣本均值是總體均值的估計(jì)值；

③注意單位的一致性（單位為cm）；

④理解抽樣估計(jì)的隨機(jī)性，但樣本量越大估計(jì)越穩(wěn)定。例3題目：小明從附人中學(xué)高一年級(jí)中抽取了10個(gè)容量為50的樣本和10個(gè)容量為100的樣本，分別計(jì)算出樣本平均身高，結(jié)果如下圖所示（圖9.1-3）：圖中紅線表示總體平均身高為165.0cm。觀察圖中數(shù)據(jù)，回答以下問(wèn)題：(1)不同樣本的平均身高是否相同？

(2)樣本量為50和100的樣本平均身高在總體平均數(shù)附近波動(dòng)有何不同？

(3)增加樣本量對(duì)估計(jì)總體均值有何影響？解答：(1)不相同。由于樣本是隨機(jī)抽取的，因此每次抽樣得到的樣本均值會(huì)有所不同，這體現(xiàn)了樣本均值的隨機(jī)性。(2)樣本量為100的樣本平均身高波動(dòng)更小。從圖中可以看出，樣本量為50的樣本平均身高在165.0cm上下波動(dòng)較大，而樣本量為100的樣本平均身高更集中于165.0cm附近，說(shuō)明樣本量越大，估計(jì)越穩(wěn)定。(3)增加樣本量可以提高估計(jì)精度。隨著樣本量的增大，樣本均值的波動(dòng)范圍減小，更接近總體均值，從而提高了估計(jì)的準(zhǔn)確性?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容①樣本均值的隨機(jī)性；

②樣本量對(duì)估計(jì)精度的影響；

③圖形分析與統(tǒng)計(jì)推斷能力。2.題目求解要點(diǎn)①理解樣本均值是隨機(jī)變量，具有波動(dòng)性；

②能從圖中讀取樣本均值的分布特征；

③理解樣本量越大，估計(jì)越穩(wěn)定、越接近總體均值；

④掌握“樣本量越大估計(jì)越準(zhǔn)確”的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。新知鞏固題目：第1題：甲、乙、丙、丁四所學(xué)校分別有150、120、180、150名高二學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)調(diào)研測(cè)試。為了解學(xué)生能力水平，需從這600名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為100的樣本作卷面分析，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙校有50名數(shù)學(xué)培優(yōu)生，需要從中抽取10名學(xué)生進(jìn)行失分分析，記這項(xiàng)調(diào)查為②。完成這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（）解答：我們來(lái)逐項(xiàng)分析：調(diào)查①：從600名學(xué)生中抽取100個(gè)樣本。四所學(xué)校的學(xué)生人數(shù)不同，分別為150、120、180、150，說(shuō)明各校人數(shù)不均等。如果直接隨機(jī)抽取100人，可能會(huì)出現(xiàn)某些學(xué)校被抽中人數(shù)偏多或偏少，不能很好地反映各校的代表性。因此，應(yīng)該采用分層抽樣法，即按照各校人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例進(jìn)行抽樣，使得每個(gè)學(xué)校在樣本中都有相應(yīng)的代表性。調(diào)查②：從丙校50名培優(yōu)生中抽取10人進(jìn)行分析。丙校內(nèi)部的50名學(xué)生是同質(zhì)性較強(qiáng)的群體（都是培優(yōu)生），沒(méi)有明顯的分層結(jié)構(gòu)。此時(shí)適合采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，因?yàn)榭傮w數(shù)量不大，且個(gè)體之間差異較小，隨機(jī)抽取即可保證代表性。因此，答案是：B．分層抽樣法、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容抽樣方法的選擇：分層抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的適用場(chǎng)景。對(duì)總體結(jié)構(gòu)的理解與抽樣代表性的判斷。2.題目求解要點(diǎn)當(dāng)總體由多個(gè)子群體構(gòu)成且各子群體人數(shù)不等時(shí)，應(yīng)采用分層抽樣法，以保證樣本的代表性。當(dāng)總體個(gè)體數(shù)量較少且個(gè)體差異不大時(shí)，可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法。分層抽樣強(qiáng)調(diào)“按比例抽樣”，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣強(qiáng)調(diào)“隨機(jī)性”。3.同類型題目解題步驟明確總體結(jié)構(gòu)：判斷總體是否由多個(gè)子群體構(gòu)成。判斷是否需要分層：若子群體之間差異大或人數(shù)不均，應(yīng)考慮分層抽樣。確定抽樣方法：若需分層，則按各層比例抽取樣本；若無(wú)需分層，則采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。結(jié)合題意選擇最合適的組合，確保樣本具有代表性。問(wèn)題2探究新知（一）知識(shí)精講在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們常常需要了解總體中某一特定特征所占的比例。例如，樹人中學(xué)想了解全校2174名學(xué)生中視力不低于5.0的學(xué)生所占的比例。在這個(gè)問(wèn)題中，全校學(xué)生構(gòu)成了調(diào)查的總體，每一位學(xué)生是個(gè)體，而學(xué)生的視力是考察的變量。為了便于分析，我們可以將視力變量進(jìn)行數(shù)值化處理：記“視力不低于5.0”為1，“視力低于5.0”為0。這樣，第i個(gè)學(xué)生的視力變量值為：Y于是，總體中“視力不低于5.0”的人數(shù)就是：Y因此，總體中該特征所占的比例P就是學(xué)生視力變量的總體平均數(shù)：P類似地，如果我們從總體中抽取一個(gè)容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記樣本中每個(gè)個(gè)體的視力變量值為y1,y2,p我們可以用樣本平均數(shù)y來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)Y，從而估計(jì)總體中該特征所占的比例P。例如，從樹人中學(xué)抽取一個(gè)容量為50的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其視力變量取值如下：11010010111000110100011101101111011010100010011100通過(guò)計(jì)算，樣本平均數(shù)為：y據(jù)此，我們可以估計(jì)在樹人中學(xué)全體學(xué)生中，“視力不低于5.0”的比例約為0.54。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種基本的抽樣方法，具有操作簡(jiǎn)單、直觀的特點(diǎn)。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，它也存在一定的局限性。例如，當(dāng)總體規(guī)模較大時(shí)，編號(hào)和抽樣工作繁瑣；抽中個(gè)體可能分布廣泛，調(diào)查實(shí)施困難；且未利用其他輔助信息，估計(jì)效率不高。因此，在大規(guī)模調(diào)查中，通常會(huì)將簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與其他抽樣方法結(jié)合使用。（二）師生互動(dòng)教師提問(wèn)1：

如果我們想了解全校學(xué)生中近視的比例，是否也可以采用類似的方法？學(xué)生回答：

可以，只需要將“近視”記為1，“不近視”記為0，然后計(jì)算樣本平均數(shù)來(lái)估計(jì)總體比例。教師提問(wèn)2：

如果樣本容量增大，樣本平均數(shù)估計(jì)總體比例的準(zhǔn)確性會(huì)有什么變化？學(xué)生回答：

樣本容量越大，樣本平均數(shù)越接近總體平均數(shù)，估計(jì)結(jié)果會(huì)更準(zhǔn)確。教師提問(wèn)3：

在實(shí)際調(diào)查中，如果總體非常大，我們是否還能使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣？為什么？學(xué)生回答：

雖然理論上可以使用，但在實(shí)際操作中會(huì)遇到困難，比如編號(hào)困難、樣本分布分散等問(wèn)題，因此通常會(huì)結(jié)合其他抽樣方法。（三）設(shè)計(jì)意圖本部分內(nèi)容旨在引導(dǎo)學(xué)生理解如何通過(guò)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體中某一特征所占的比例，掌握用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)的基本思想。通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生建立統(tǒng)計(jì)變量的數(shù)值化處理意識(shí)，提升其抽象思維能力和數(shù)據(jù)分析能力。同時(shí)，通過(guò)師生互動(dòng)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理和遷移應(yīng)用，促進(jìn)其對(duì)統(tǒng)計(jì)思想的深入理解。在學(xué)習(xí)方式上，強(qiáng)調(diào)從具體情境出發(fā)，逐步抽象出數(shù)學(xué)表達(dá)，體現(xiàn)“由具體到抽象”的認(rèn)知過(guò)程。在價(jià)值導(dǎo)向上，強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)方法在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用意義，增強(qiáng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和實(shí)踐能力。新知應(yīng)用例x題目：樹人中學(xué)想通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，了解全校2174名學(xué)生中視力不低于5.0的學(xué)生所占的比例。記"視力不低于5.0"為1，"視力低于5.0"為0?，F(xiàn)抽取一個(gè)容量為50的樣本，樣本數(shù)據(jù)如下：1101001011

1000110100

0111011011

1101101010

0010011100計(jì)算樣本平均數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全校學(xué)生中視力不低于5.0的比例。解答：第一步：理解變量定義我們將每位學(xué)生的視力情況用變量表示：若學(xué)生視力不低于5.0，記為1；若學(xué)生視力低于5.0，記為0。這樣，每個(gè)學(xué)生的視力值就變成了一個(gè)0或1的變量，便于統(tǒng)計(jì)分析。第二步：理解樣本平均數(shù)的計(jì)算方法樣本平均數(shù)y的計(jì)算公式為：y其中：yi表示第i個(gè)樣本學(xué)生的視力變量值（0或1n是樣本容量，這里為50。第三步：計(jì)算樣本中視力不低于5.0的學(xué)生人數(shù)將樣本數(shù)據(jù)中的1進(jìn)行計(jì)數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中1的個(gè)數(shù)為：27個(gè)第四步：計(jì)算樣本平均數(shù)y第五步：用樣本平均數(shù)估計(jì)總體比例由于總體中視力不低于5.0的比例P就是總體平均數(shù)Y，我們用樣本平均數(shù)y來(lái)估計(jì)總體比例：P因此，估計(jì)全校學(xué)生中視力不低于5.0的比例約為54%。總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的基本概念；

②樣本平均數(shù)的計(jì)算方法；

③用樣本估計(jì)總體的思想。2.題目求解要點(diǎn)①理解如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)值變量（0和1）；

②掌握樣本平均數(shù)的計(jì)算公式并能準(zhǔn)確代入數(shù)據(jù)；

③理解樣本平均數(shù)可以用來(lái)估計(jì)總體比例的統(tǒng)計(jì)思想；

④能夠?qū)⒔y(tǒng)計(jì)結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際意義進(jìn)行解釋。新知鞏固題目：第1題：已知下列抽取樣本的方式：

①?gòu)臒o(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本；

②盒子里共有80個(gè)零件，從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，在抽樣操作時(shí)，從中任意拿出1個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里；

③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)；

④某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽。其中，不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)是（）

A．1???B．2???C．3???D．4解答：我們逐項(xiàng)分析是否符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義：

從總體中每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性相等，并且每個(gè)樣本容量為n的樣本被抽取的可能性也相等。通常采用不放回抽樣。①?gòu)臒o(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本：

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求總體是有限的，而這里是無(wú)限總體，無(wú)法實(shí)現(xiàn)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，因此不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。②從80個(gè)零件中選出5個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，

這是放回抽樣，即每次抽取后將零件放回。

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣通常指不放回抽樣，而放回抽樣雖然每個(gè)個(gè)體每次被抽中的概率相同，但整個(gè)樣本中可能重復(fù)抽取同一個(gè)個(gè)體，不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的標(biāo)準(zhǔn)定義。

因此，不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)：

一次性抽取3個(gè)樣本，屬于不放回抽樣，且每個(gè)樣本被抽取的概率相等，符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義。

因此，是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。④某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加籃球賽：

這是人為指定，不是隨機(jī)抽取，某些個(gè)體被選中的概率為0，某些為1，不符合每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等。

因此，不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。綜上，不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的有①、②、④，共3個(gè)，但③是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。但題目問(wèn)的是“不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)”，所以①、②、④都不是，再加上③是否是？

③是，所以不是的只有①、②、④，共3個(gè)。但題目中四個(gè)選項(xiàng)中沒(méi)有“3個(gè)”，而是選項(xiàng)C是“3”，D是“4”。

根據(jù)題干描述，四個(gè)選項(xiàng)都不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，即③也不是。我們?cè)俜治觫郏?/p>

“從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)”，雖然是一次性抽取，但只要每個(gè)樣本組合被抽取的概率相等，就屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。

所以③是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。因此，不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的有①、②、④，共3個(gè)，答案應(yīng)為C。但題目給出的答案是D，說(shuō)明命題人認(rèn)為③也不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。

這可能是命題人理解偏差，但根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)定義，③是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義與判斷，重點(diǎn)在于理解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的基本特征：總體有限每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等不放回抽樣（除非特別說(shuō)明）2.題目求解要點(diǎn)判斷是否為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，需逐項(xiàng)分析是否滿足定義條件。注意“放回抽樣”、“人為指定”、“無(wú)限總體”等關(guān)鍵詞，這些通常不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。一次性抽取多個(gè)樣本，只要每個(gè)樣本組合被抽取的概率相等，仍屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。3.同類型題目解題步驟明確簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義與特征。逐項(xiàng)分析抽樣方式是否滿足定義。判斷是否為有限總體、是否放回、是否人為指定等。確定是否每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等。最后統(tǒng)計(jì)不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣定義的個(gè)數(shù)。板書設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

├─基本概念

│├─總體：所要研究的全部個(gè)體

│├─樣本：從總體中抽取的一部分個(gè)體

│├─樣本量：樣本中包含的個(gè)體數(shù)量

│└─變量：研究的特征（如身高、顏色等）

├─抽樣方法

│├─放回抽樣：每次抽取后放回，個(gè)體可能被重復(fù)抽取

│├─不放回抽樣：每次抽取后不放回，個(gè)體不會(huì)被重復(fù)抽取

│└─簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：每個(gè)個(gè)體被抽中概率相等

├─抽樣實(shí)施

│├─抽簽法：適用于總體較小，操作簡(jiǎn)單但費(fèi)時(shí)

│└─隨機(jī)數(shù)法

│├─手動(dòng)生成：如摸球生成三位數(shù)

│├─信息技術(shù)

││├─計(jì)算器：如RandInt#(1,712)

││├─電子表格：如=RANDBETWEEN(1,712)

││└─統(tǒng)計(jì)軟件：如R語(yǔ)言sample(1,712,50,replace=F)

├─樣本估計(jì)總體

│├─總體均值：Y=1N∑i=1NYi

│├─樣本均值：y=1n∑i=1nyi

│├─用樣本均值估計(jì)總體均值

│├─比例估計(jì)：將類別變量轉(zhuǎn)化為0-1變量，用樣本比例估計(jì)總體比例

├─樣本量分析

│├─樣本量越大，估計(jì)越精確

│├─樣本量過(guò)大增加成本，需權(quán)衡精度與成本

教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣展開，先介紹抽樣目的，通過(guò)探究引出簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣概念，包括放回與不放回兩種方式，再以具體問(wèn)題闡述抽簽法與隨機(jī)數(shù)