考點(diǎn)03.分式（精講）【命題趨勢】分式在各地中考中，每年考查2道題左右，分值為8分左右，其中分式的有意義（無意義）和分式值為零（負(fù)數(shù)、正數(shù)、整數(shù)等）、最簡分式等概念，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質(zhì)和分式的運(yùn)算（化簡求值）考查常以選擇題、填空題、計(jì)算題的形式命題?！局R(shí)清單】1：分式的相關(guān)概念（☆☆）（1）分式的概念：如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子QUOTEAB叫做分式，其中A為分子，B為分母。（2）對(duì)于分式來說：①若B≠0，則有意義；②若B=0，則無意義；③若A=0且B≠0，則=0；④當(dāng)A=B≠0時(shí)，分式的值為1；⑤若>0，則A、B同號(hào)，若<0，則A、B異號(hào)。2：分式的性質(zhì)（☆☆）（1）分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。用式子表示為或，其中A，B，C均為整式。（2）約分及約分法則1）約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分。2）約分法則：把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分。（3）最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式。（4）通分及通分法則1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的通分。2）通分法則把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分：①先求各個(gè)分式的最簡公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個(gè)分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式；③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分。（5）最簡公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母。3：分式的運(yùn)算（☆☆☆）（1）分式的加減①同分母法則：分母不變，分子相加減。用式子表示：。②異分母法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p。用式子表示為：。（2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。用式子表示：。（3.分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘。用式子表示：。（4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示：為正整數(shù)，。（5）分式的混合運(yùn)算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算?；旌线\(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的。【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】1.判斷是否為分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡后再判斷。2.分式的值為0，必須保證分母≠0，否則分式無意義。3.約分是對(duì)分子、分母同時(shí)進(jìn)行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式（即化為最簡分式），而且約分前后分式的值相等。4.運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式；②隱含條件：分式的分母不等于0。5.當(dāng)分式與整式相乘時(shí)，要把整式與分子相乘作為積的分子，分母不變。6.乘方時(shí)，一定要把分式加上括號(hào)，并且一定要把分子、分母分別乘方?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.分式的相關(guān)概念例1：（2023·江蘇·?？寄M預(yù)測）若一個(gè)分式含有字母，且當(dāng)時(shí)，它的值為12，則這個(gè)分式可以是．（寫出一個(gè)即可）變式1．（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)變式2．（2022·浙江湖州·中考真題）當(dāng)a＝1時(shí)，分式的值是______．變式3．（2024·湖北·?？寄M預(yù)測）給定一列分式：，，，，，其中，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第2024個(gè)分式．例2：（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，分式有意義 B．當(dāng)時(shí)，分式無意義C．不論取何值，分式都有意義 D．當(dāng)時(shí)，分式的值為0變式1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）使分式有意義的x的取值范圍是．變式2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）分式的值為0，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或1變式3．（2020·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)時(shí)，下列分式?jīng)]有意義的是（

）A． B． C． D．例3：（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是．變式1.（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）若分式的值是負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜變式2．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）若分式的值為正，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.例4：（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）若分式的值是正整數(shù)，則整數(shù)的值是．變式1．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的值為零 B．當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，的值總為正數(shù)C．無論x為何值，不可能得整數(shù)值 D．當(dāng)時(shí)，有意義變式2.（2023·廣東廣州·?？级＃┮阎悍质降闹禐檎麛?shù)，則整數(shù)a有．核心考點(diǎn)2.分式的性質(zhì)例5：（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)對(duì)分式變形，下列正確的是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）實(shí)數(shù)．則下列各式中比的值大的是（

）A． B． C． D．例6：（2023·河北·一模）如果要使分式的值保持不變，那么分式應(yīng)（

）A．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍 B．a(chǎn)，b同時(shí)擴(kuò)大3倍C．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b縮小3倍 D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍變式1．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如果把分式中、的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍 C．不變 D．變?yōu)樵瓉淼睦?：（2023·山東·統(tǒng)考二模）下列分式中，最簡分式是(

)A． B． C． D．變式1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列分式屬于最簡分式的是（

）A． B． C． D．例8：（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：（

）A． B． C．5 D．a(chǎn)變式1．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）化簡分式的結(jié)果為．變式2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）化簡．例9：（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）要把分式與通分，分式的最簡公分母是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）分式的最簡公分母是，=。變式2．（2023·廣西梧州·二模）關(guān)于分式的約分或通分，下列哪個(gè)說法正確（）A．約分的結(jié)果是B．分式與的最簡公分母是x﹣1C．約分的結(jié)果是1D．化簡﹣的結(jié)果是1核心考點(diǎn)3.分式的運(yùn)算例10：（2023·河北·統(tǒng)考二模）嘉琪在分式化簡運(yùn)算中每一步運(yùn)算都在后面列出了依據(jù)，所列依據(jù)錯(cuò)誤的是（

）化簡：解：原式………………①通分……②合并同類項(xiàng)……③提公因式………………④約分A．① B．② C．③ D．④變式1.（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于（

）A． B． C． D．變式2．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若分式的值為正整數(shù)，則的取值可以是（

）A． B． C． D．例11：（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）觀察分式變形過程：，其中“○”“□”“

”分別蓋住了一個(gè)整數(shù).（1）“○”“□”“

”表示的整數(shù)；（填“相同”或“不相同”）；（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為.變式1．（2023下·浙江嘉興·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）比較與的大?。ㄆ渲?，且）．(1)嘗試（用“<”，“=”或“>”填空）：①當(dāng)，時(shí)，；②當(dāng)，時(shí)，；(2)歸納：與有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．變式2．（2023·福建泉州·?？寄M預(yù)測）由淺入深是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法．已知權(quán)方和不等式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．那么：若正整數(shù)數(shù)，，滿足，求的最小值．變式3．（2023·江蘇漣水·中考模擬）閱讀下列材料：分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點(diǎn)，例如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)；類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則，我們得到了分式的運(yùn)算法則．我們知道，分子比分母小的叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類似地，我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式就是假分式，例如，這樣的分式就是真分式．假分?jǐn)?shù)可以化成（即）帶分?jǐn)?shù)的形式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式），例如．解決下列問題：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化為帶分式_____形式；（3）如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)的值；（4）若分式的值為，則的取值范圍是______（直接寫出答案）．例12：（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）在計(jì)算時(shí)，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但計(jì)算結(jié)果相同，則（

）嘉嘉：琪琪：A．嘉嘉正確 B．琪琪正確 C．都正確 D．都不正確變式1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）化簡：．變式2．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于式子，下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，其值為2B．當(dāng)時(shí)，其值為0C．當(dāng)時(shí)，其值為正數(shù)D．當(dāng)時(shí)，其值為正數(shù)例13：（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算，以下結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．無意義變式2.（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．例14：（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）流感病毒的半徑大約為米，它的半徑用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．變式1.（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）納米是表示微小距離的單位，1納米毫米，而1毫米相當(dāng)于我們通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1納米是多么的小．中科院物理所研究員解思深領(lǐng)導(dǎo)的研究組研制出世界上最細(xì)的碳納米管——直徑納米．納米相當(dāng)于毫米，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（

）A． B． C． D．變式2.（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）溶度積是化學(xué)中沉淀的溶解平衡常數(shù)．常溫下的溶度積約為，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．例15：（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）若，則代數(shù)式，的值為_______．變式1．（2023年青海省西寧市中考數(shù)學(xué)真題）先化簡，再求值：，其中，是方程的兩個(gè)根．變式2．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）先化簡，再求值：，然后從1，2，3，4中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．變式3．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再從不等式中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．考點(diǎn)03.分式（精講）【命題趨勢】分式在各地中考中，每年考查2道題左右，分值為8分左右，其中分式的有意義（無意義）和分式值為零（負(fù)數(shù)、正數(shù)、整數(shù)等）、最簡分式等概念，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質(zhì)和分式的運(yùn)算（化簡求值）考查常以選擇題、填空題、計(jì)算題的形式命題?！局R(shí)清單】1：分式的相關(guān)概念（☆☆）（1）分式的概念：如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子QUOTEAB叫做分式，其中A為分子，B為分母。（2）對(duì)于分式來說：①若B≠0，則有意義；②若B=0，則無意義；③若A=0且B≠0，則=0；④當(dāng)A=B≠0時(shí)，分式的值為1；⑤若>0，則A、B同號(hào)，若<0，則A、B異號(hào)。2：分式的性質(zhì)（☆☆）（1）分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。用式子表示為或，其中A，B，C均為整式。（2）約分及約分法則1）約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分。2）約分法則：把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分。（3）最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式。（4）通分及通分法則1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的通分。2）通分法則把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分：①先求各個(gè)分式的最簡公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個(gè)分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式；③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分。（5）最簡公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母。3：分式的運(yùn)算（☆☆☆）（1）分式的加減①同分母法則：分母不變，分子相加減。用式子表示：。②異分母法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減。用式子表示為：。（2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。用式子表示：。（3.分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘。用式子表示：。（4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示：為正整數(shù)，。（5）分式的混合運(yùn)算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算?；旌线\(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的?！疽族e(cuò)點(diǎn)歸納】1.判斷是否為分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡后再判斷。2.分式的值為0，必須保證分母≠0，否則分式無意義。3.約分是對(duì)分子、分母同時(shí)進(jìn)行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式（即化為最簡分式），而且約分前后分式的值相等。4.運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式；②隱含條件：分式的分母不等于0。5.當(dāng)分式與整式相乘時(shí)，要把整式與分子相乘作為積的分子，分母不變。6.乘方時(shí)，一定要把分式加上括號(hào)，并且一定要把分子、分母分別乘方。【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)1.分式的相關(guān)概念例1：（2023·江蘇·?？寄M預(yù)測）若一個(gè)分式含有字母，且當(dāng)時(shí)，它的值為12，則這個(gè)分式可以是．（寫出一個(gè)即可）【答案】答案不唯一，如等.【詳解】設(shè)這個(gè)分式為，將m=5代入得到=12，a=60，故這個(gè)分式是．變式1．（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，據(jù)此依據(jù)逐個(gè)判斷即可．【詳解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·浙江湖州·中考真題）當(dāng)a＝1時(shí)，分式的值是______．【答案】2【分析】直接把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)a=1時(shí)，．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式求值問題，在解題時(shí)要根據(jù)題意代入計(jì)算即可．變式3．（2024·湖北·?？寄M預(yù)測）給定一列分式：，，，，，其中，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第2024個(gè)分式．【答案】【分析】先由前面幾個(gè)代數(shù)式歸納可得第個(gè)代數(shù)式為：，從而可得答案.【詳解】解：∵，，，，…∴第個(gè)代數(shù)式為：，當(dāng)n=2023時(shí)，第2023個(gè)代數(shù)式為：，故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的規(guī)律題，掌握探究的方法并利用歸納得到的規(guī)律解題是關(guān)鍵.例2：（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，分式有意義 B．當(dāng)時(shí)，分式無意義C．不論取何值，分式都有意義 D．當(dāng)時(shí)，分式的值為0【答案】C【分析】分母不為0時(shí)，分式有意義，分母為0時(shí)，分式無意義，分子等于0，分母不為0時(shí)分式值為0，由此判斷即可.【解析】解：A選項(xiàng)當(dāng)，即時(shí)，分式有意義，故A正確；B選項(xiàng)當(dāng)，即時(shí)，分式無意義，故B正確；C選項(xiàng)當(dāng)，即時(shí)，分式有意義，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)當(dāng)，且即時(shí)，分式的值為0，故D正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式有意義、無意義、值為0的條件，熟練掌握分式的分母不為0是確定分式有意義的關(guān)鍵.變式1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）使分式有意義的x的取值范圍是．【答案】【分析】如果要使分式有意義，則分母不能為零，即可求得答案．【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義分母不為零是關(guān)鍵．變式2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）分式的值為0，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】A【分析】根據(jù)分式值為0的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．變式3．（2020·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)時(shí)，下列分式?jīng)]有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分式有意義的條件分母不能為零判斷即可.【詳解】,當(dāng)x=1時(shí),分母為零,分式無意義.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件,關(guān)鍵在于牢記有意義條件.例3：（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是．【答案】【分析】據(jù)題意可得，要使分式的值為負(fù)數(shù)，即分母且，然后解不等式即可．【詳解】解：∵，∴分式的值為負(fù)數(shù)，即分母且，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的值，熟練掌握分式值的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．變式1.（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）若分式的值是負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜【答案】B【分析】根據(jù)題意列出不等式即可求出x的取值范圍．【詳解】解：由題意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，∴x＞，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式的值，當(dāng)分子和分母同號(hào)時(shí)，分式值為正數(shù)，當(dāng)分子和分母異號(hào)時(shí)，分式值為負(fù)數(shù)．變式2．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）若分式的值為正，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】x＞0【詳解】【分析】分式值為正，則分子與分母同號(hào)，據(jù)此進(jìn)行討論即可得.【詳解】∵分式的值為正，∴x與x2+2的符號(hào)同號(hào)，∵x2+2>0，∴x>0，故答案為x>0.【點(diǎn)睛】本題考查了分式值為正的情況，熟知分式值為正時(shí)，分子分母同號(hào)是解題的關(guān)鍵.例4：（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）若分式的值是正整數(shù)，則整數(shù)的值是．【答案】0，【分析】根據(jù)題意，分式的值是正整數(shù)，可知，分式的分母為1或-1，據(jù)此解得的值，最后驗(yàn)根即可．【詳解】解：分式的值是正整數(shù)，，∴為小于2的整數(shù)，或或經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)或，分母，或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查分式的值，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．變式1．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的值為零 B．當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，的值總為正數(shù)C．無論x為何值，不可能得整數(shù)值 D．當(dāng)時(shí)，有意義【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0；分式的值為正數(shù)的條件是分式的分子、分母同號(hào)；分式值是0的條件是分子等于0，分母不為0即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，無意義，故本選項(xiàng)不合題意；B、當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，的值總為正數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；C、當(dāng)或2時(shí)，能得整數(shù)值，故本選項(xiàng)不合題意；D、當(dāng)時(shí)，有意義，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件．分式有意義的條件是分母不等于0．分式值是0的條件是分子是0，分母不是0．變式2.（2023·廣東廣州·?？级＃┮阎悍质降闹禐檎麛?shù)，則整數(shù)a有．【答案】，1，2，4，5，7【分析】根據(jù)因式分解，可得最簡分式，根據(jù)分式的值是整數(shù)，可得分母能被分子整除，可得答案．【詳解】解：，∵分式的值為整數(shù)，∴或或，解得：，，，，，，故答案為，1，2，4，5，7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡，根據(jù)分式的值的情況求解參數(shù)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．核心考點(diǎn)2.分式的性質(zhì)例5：（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)對(duì)分式變形，下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)分別計(jì)算后判斷即可．【詳解】A．分子分母同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)，分式不一定成立，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．，故原選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．變式1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不為零的數(shù)，分式的值不變，逐個(gè)判斷即可解答．【詳解】解：，故A正確；與不一定相等，故B錯(cuò)誤；與不一定相等，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟知該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·河北石家莊·校考模擬預(yù)測）實(shí)數(shù)．則下列各式中比的值大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：因?yàn)?，所以，，A．，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，故此選項(xiàng)不符合題意；D．，符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．例6：（2023·河北·一模）如果要使分式的值保持不變，那么分式應(yīng)（

）A．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍 B．a(chǎn)，b同時(shí)擴(kuò)大3倍C．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b縮小3倍 D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍【答案】B【分析】先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡，最后得出答案即可．【詳解】A.a擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍,，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.a，b同時(shí)擴(kuò)大3倍，，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.a擴(kuò)大2倍，b縮小3倍，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.a縮小2倍，b縮小3倍，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能正確根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如果把分式中、的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍 C．不變 D．變?yōu)樵瓉淼摹敬鸢浮緽【分析】根據(jù)x，y都擴(kuò)大3倍，即可得出分子擴(kuò)大9倍，分母擴(kuò)大3倍，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵分式中的x與y都擴(kuò)大為原來的3倍，∴分式中的分子擴(kuò)大為原來的9倍，分母擴(kuò)大為原來的3倍，∴分式的值擴(kuò)大為原來的3倍．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查分式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)進(jìn)行化簡．例7：（2023·山東·統(tǒng)考二模）下列分式中，最簡分式是(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)最簡分式的概念，分子與分母不含有公因式的分式即為最簡分式，化簡后判斷即可.詳解：由題意可知：=，不是最簡分式；=，不是最簡分式；是最簡分式；=，不是最簡分式.故選C.點(diǎn)睛：此題考查了最簡分式，先把分式的分子、分母因式分解，然后確定有無公因式，是解題關(guān)鍵.變式1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列分式屬于最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用最簡分式的定義：分式分子分母沒有公因式，判斷即可．【詳解】A、，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、是最簡分式，故此選項(xiàng)符合題意；D、，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了最簡分式，熟練掌握最簡分式的定義是解題的關(guān)鍵．例8：（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：（

）A． B． C．5 D．a(chǎn)【答案】D【分析】分子分解因式，再約分得到結(jié)果．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了約分，掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）化簡分式的結(jié)果為．【答案】【分析】直接分子分母同時(shí)除以b即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的約分，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）化簡．【答案】【分析】先因式分解，約分變?yōu)樽詈喎质?，把分子變?yōu)楹偷男问剑驹斀狻拷猓?，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡，因式分解，最簡分式，約分，解題的關(guān)鍵是掌握分式化簡方法：先因式分解，約分，再化為最簡分式．例9：（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）要把分式與通分，分式的最簡公分母是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)最簡公分母定義是各分母的最小公倍數(shù)即可求解．【詳解】解：根據(jù)最簡公分母是各分母的最小公倍數(shù)，∵系數(shù)2與1的公倍數(shù)是2，與的最高次冪是，與的最高次冪是，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母c直接作公分母中的因式，∴公分母為：．故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查最簡公分母，熟練掌握最簡公分母是解題關(guān)鍵．變式1.（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）分式的最簡公分母是，=。【答案】【分析】先把兩個(gè)分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后進(jìn)行計(jì)算求值即可.【詳解】解：∵，∴，∴，的最簡公分母為：∴故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和公分母，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.變式2．（2023·廣西梧州·二模）關(guān)于分式的約分或通分，下列哪個(gè)說法正確（）A．約分的結(jié)果是B．分式與的最簡公分母是x﹣1C．約分的結(jié)果是1D．化簡﹣的結(jié)果是1【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)將分式約分，即可判斷A與C；根據(jù)確定最簡公分母的方法判斷B；根據(jù)分式減法法則計(jì)算，即可判斷D．【詳解】解：A、＝，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、分式與的最簡公分母是x2﹣1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、＝，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、﹣＝1，故本選項(xiàng)正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的通分和約分，這是分式的重要知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)熟練掌握.核心考點(diǎn)3.分式的運(yùn)算例10：（2023·河北·統(tǒng)考二模）嘉琪在分式化簡運(yùn)算中每一步運(yùn)算都在后面列出了依據(jù)，所列依據(jù)錯(cuò)誤的是（

）化簡：解：原式………………①通分……②合并同類項(xiàng)……③提公因式………………④約分A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則即可得出結(jié)論．【詳解】①不是通分，而是同分母分式的加減法，故說法錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減運(yùn)算，分清楚同分母分式的加減法和通分的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)異分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了異分母分式加減法法則，解答關(guān)鍵是按照相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算．變式2．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若分式的值為正整數(shù)，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用分式的運(yùn)算法則把原式進(jìn)行化簡，再根據(jù)分式的值為正整數(shù)求出的取值可以為多少．【詳解】解：原式，，，，，要使分式有意義，則，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值，根據(jù)分式運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解答本題的關(guān)鍵．例11：（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）觀察分式變形過程：，其中“○”“□”“

”分別蓋住了一個(gè)整數(shù).（1）“○”“□”“

”表示的整數(shù)；（填“相同”或“不相同”）；（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為.【答案】相同【分析】（1）根據(jù)分式變形步驟分別求出各個(gè)符號(hào)蓋住的值即可得出結(jié)果；（2）將分式按照題干方法變形求解即可．【詳解】解：（1），∴，故答案為：相同；（2），∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查分式的化簡變形，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．變式1．（2023下·浙江嘉興·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）比較與的大?。ㄆ渲?，且）．(1)嘗試（用“<”，“=”或“>”填空）：①當(dāng)，時(shí)，；②當(dāng)，時(shí)，；(2)歸納：與有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．【答案】(1)①；②；(2)，理由見解析．【分析】（1）將①，代入兩式求解，進(jìn)行比較大??；②將，代入兩式求解，進(jìn)行比較大??；（2）利用作差法比較大小即可．【詳解】（1）解：①當(dāng)，時(shí)，，∵∴故答案為：；②當(dāng)，時(shí)，，∵∴故答案為：；（2），理由如下：∵，且∴，∴∴，即∴【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式求值，分式大小比較，涉及了完全平方公式，分式的混合運(yùn)算，不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．變式2．（2023·福建泉州·?？寄M預(yù)測）由淺入深是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法．已知權(quán)方和不等式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．那么：若正整數(shù)數(shù)，，滿足，求的最小值．【答案】7【分析】根據(jù)題意得出當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，根據(jù)得出，根據(jù)得出，將其分別代入和，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，取最小值；即時(shí)，等號(hào)成立；∴，∵，∴，把②代入①得：，整理得：，則；把②代入得：，∴．即的最小值為7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式混合運(yùn)算，以及分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，理解題中權(quán)方和不等式成立的條件．變式3．（2023·江蘇漣水·中考模擬）閱讀下列材料：分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點(diǎn)，例如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)；類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則，我們得到了分式的運(yùn)算法則．我們知道，分子比分母小的叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類似地，我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式就是假分式，例如，這樣的分式就是真分式．假分?jǐn)?shù)可以化成（即）帶分?jǐn)?shù)的形式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式），例如．解決下列問題：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化為帶分式_____形式；（3）如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)的值；（4）若分式的值為，則的取值范圍是______（直接寫出答案）．【答案】（1）真分式；（2）；（3）4，2，5，1；（4）．【分析】（1）根據(jù)“真分式”的定義可得；（2）根據(jù)題意逆用分式加法的法則將假分式化為帶分式；（3）先將分式化為帶分式，再根據(jù)分式部分為整數(shù)求得的值；（4）將分式化為帶分式，再判斷的取值范圍即可．【詳解】（1）的分母次數(shù)大于分子次數(shù)，故分式是真分式；故答案為：真分式；（2）故答案為：；（3）分式的值為整數(shù)，，即是整數(shù)，則；解得或或或；的值為：4，2，5，1；（4），，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，不等式的應(yīng)用，掌握計(jì)算法則，理解題意是解題的關(guān)鍵．例12：（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）在計(jì)算時(shí)，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但計(jì)算結(jié)果相同，則（

）嘉嘉：琪琪：A．嘉嘉正確 B．琪琪正確 C．都正確 D．都不正確【答案】D【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算，結(jié)合題意逐步檢驗(yàn)即可得到答案．【詳解】解：，嘉嘉第一步出錯(cuò)；琪琪第三步出錯(cuò)；兩個(gè)人計(jì)算都不正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡，熟練掌握分式的混合運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．變式1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）化簡：．【答案】/【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】解：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于式子，下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，其值為2B．當(dāng)時(shí)，其值為0C．當(dāng)時(shí)，其值為正數(shù)D．當(dāng)時(shí)，其值為正數(shù)【答案】D【分析】先根據(jù)分式的四則運(yùn)算法則化簡分式并確定x的取值范圍，然后根據(jù)x的取值范圍和分式的性質(zhì)逐項(xiàng)排查即可解答．【詳解】解：＝＝，∵，∴或，，∴A．由，故A說法錯(cuò)誤，不符合題意；B．由，故B說法錯(cuò)誤，不符合題意；C．當(dāng)時(shí)，，故C說法錯(cuò)誤，不符合題意；D．當(dāng)時(shí)，，故D說法正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的四則混合運(yùn)算、分式有意義的條件、分式的意義等知識(shí)點(diǎn)，明確分式有意義的條件是解答本題的關(guān)鍵．例13：（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的乘方和除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘方，掌握公式準(zhǔn)確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．變式1.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算，以下結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．無意義【答案】A【分析】根據(jù)零次冪可進(jìn)行求解．【詳解】解：；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查零次冪，熟練掌握零次冪的意義是