專題10反比例函數(shù)考點01反比例函數(shù)的解析式1．（2025·重慶·中考真題）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點坐標(biāo)特點進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：反比例函數(shù)的，點所在的反比例函數(shù)的，反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是，故選：D．2．（2024·云南·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，將點代入求值，即可解題．【詳解】解：點在反比例函數(shù)的圖象上，，故答案為：．3．（2024·重慶·中考真題）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了求反比例函數(shù)值．熟練掌握求反比例函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別將各選項的點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)代入，求縱坐標(biāo)，然后判斷作答即可．【詳解】解：解：當(dāng)時，，圖象不經(jīng)過，故A不符合要求；當(dāng)時，，圖象一定經(jīng)過，故B符合要求；當(dāng)時，，圖象不經(jīng)過，故C不符合要求；當(dāng)時，，圖象不經(jīng)過，故D不符合要求；故選：B．4．（2023·海南·中考真題）若反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點，則k的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】把點代入反比例函數(shù)解析式即可得到答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點，∴，解得，故選：B【點睛】此題考查了反比例函數(shù)，把點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇泰州·中考真題）函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表所示，則下列函數(shù)表達(dá)式中，符合表中對應(yīng)關(guān)系的可能是（

）x124y421A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的坐標(biāo)特征即可判斷．【詳解】解：A、若直線過點，則，解得，所以，當(dāng)時，，故不在直線上，故A不合題意；B、由表格可知，y與x的每一組對應(yīng)值的積是定值為4，所以y是x的反比例函數(shù)，，不合題意；C、把表格中的函數(shù)y與自變量x的對應(yīng)值代入得，解得，符合題意；D、由C可知，不合題意．故選：C．【點睛】主要考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．6．（2023·遼寧大連·中考真題）已知蓄電池兩端電壓為定值，電流與成反比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)時，，則當(dāng)時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法求出的值，由此即可得．【詳解】解：由題意得：，∵當(dāng)時，，，解得，，則當(dāng)時，，故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．7．（2025·廣西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，“雙曲線階梯”的所有線段均與軸平行或垂直，且滿足，點，，，均在雙曲線的一支上．若點A的坐標(biāo)為，則第三級階梯的高（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了雙曲線的解析式，點的坐標(biāo)與線段長度，解題的關(guān)鍵是得出雙曲線的解析式．把點的坐標(biāo)代入，可得雙曲線的解析式，結(jié)合已知的線段長度求出點和點的橫坐標(biāo)，代入解析式可得縱坐標(biāo)，作差即可．【詳解】解：∵點在雙曲線上，∴，∴雙曲線，∵“雙曲線階梯”的所有線段均與軸平行或垂直，且，∴點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為，∴點的縱坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為，∴，故選：．8．（2025·陜西·中考真題）如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，則的值為．【答案】9【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，求反比例函數(shù)的解析式，關(guān)于原點對稱的點的性質(zhì)，先根據(jù)題意得出，，解得，，即，再把代入進(jìn)行計算，即可作答．【詳解】解：∵過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，∴，兩點關(guān)于原點對稱，即A的橫坐標(biāo)與B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，A的縱坐標(biāo)與B的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴，，∴，，∴，把代入，得，解得，故答案為：9．9．（2025·山東煙臺·中考真題）如圖，菱形的頂點在軸正半軸上，，反比例函數(shù)的圖象過點和菱形的對稱中心，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，反比例函數(shù)的性質(zhì)，先證明，，設(shè)，可得，，求解，過作于，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：∵菱形的頂點在軸正半軸上，，∴，，∴，設(shè)，∴，∴，解得：，過作于，∴，∴，∴，∴；故選：D10．（2024·江蘇南京·中考真題）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數(shù)關(guān)系．完成下表：…………【答案】見解析【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．設(shè)電流與電阻的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式，當(dāng)時，，填表即可．【詳解】解：設(shè)電流與電阻的函數(shù)關(guān)系式為，把代入得，，電流與電阻的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時，，填表如下：…………考點02反比例函數(shù)的圖象1．（2025·貴州·中考真題）小星在閱讀《天工開物》時，看到一種名為桔槔的古代汲水工具（如圖①），有一橫桿固定于桔槔上點，并可繞點轉(zhuǎn)動．在橫桿處連接一竹竿，在橫桿處固定的物體，且．若圖中人物豎直向下施加的拉力為，當(dāng)改變點與點的距離時，橫桿始終處于水平狀態(tài)，小星發(fā)現(xiàn)與有一定的關(guān)系，記錄了拉力的大小與的變化，如下表：點與點的距離123拉力的大小300200150120(1)表格中的值是；(2)小星通過分析表格數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，用函數(shù)可以刻畫與之間的關(guān)系．在如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，描出表中對應(yīng)的點，并畫出這個函數(shù)的圖象；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)和圖象判斷，當(dāng)?shù)拈L增大時，拉力是增大還是減?。空堈f明理由．【答案】(1)100(2)見解析(3)當(dāng)?shù)拈L增大時，拉力減小，理由見解析【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，畫反比例函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象判斷增減性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的定義，判斷出是的反比例函數(shù)．（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找出規(guī)律，求出a的值即可；（2）先描點，然后連線，畫出函數(shù)圖象即可；（3）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，得出答案即可．【詳解】（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：，因此點與點的距離與拉力F的乘積不變，∴；（2）解：與之間的函數(shù)圖象，如圖所示：（3）解：由函數(shù)圖象可知：F是l的反比例函數(shù)，且該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，F(xiàn)隨l的增大而減小，所以當(dāng)?shù)拈L增大時，拉力減?。?．（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限A.一次函數(shù)中，則當(dāng)時，函數(shù)圖象在第四象限，不合題意，B.一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，不合題意，一次函數(shù)中，則當(dāng)時，函數(shù)圖象在第一象限，故C選項正確，D選項錯誤，故選：C．3．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，取一根長的勻質(zhì)木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點O并將其吊起來，在中點O的左側(cè)距離中點處掛一個重的物體，在中點O的右側(cè)用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)．彈簧秤與中點O的距離L（單位：）及彈簧秤的示數(shù)F（單位：N）滿足．以L的數(shù)值為橫坐標(biāo)，F(xiàn)的數(shù)值為縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系．則F關(guān)于L的函數(shù)圖象大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)求得，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，函數(shù)為反比例函數(shù)，當(dāng)時，，即函數(shù)圖象經(jīng)過點．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)圖象，根據(jù)題意求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北十堰·中考真題）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象左右平移得到．(1)將函數(shù)的圖象向右平移4個單位得到函數(shù)的圖象，則____；(2)下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：①圖象關(guān)于點對稱；②隨的增大而減?。虎蹐D象關(guān)于直線對稱；④的取值范圍為．其中說法正確的是________（填寫序號）；(3)根據(jù)（1）中的值，寫出不等式的解集：_________．【答案】(1)(2)①④(3)或【分析】（1）根據(jù)“左加右減”的規(guī)律即可求解；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得出①正確；類比反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)即可判斷②④，根據(jù)平移的性質(zhì)將向左平移個單位，得出，即可判斷③；（3）根據(jù)題意，畫出兩個函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求解．【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象向右平移4個單位得到函數(shù)的圖象，∴；故答案為：．（2）解：∵可以看作是由向左平移個單位得到的，∵函數(shù)圖象的對稱中心為，將其對稱中心向左平移個單位，則對稱中心為，故①正確，②類比反比例函數(shù)圖象，可得，故函數(shù)圖象不是連續(xù)的，在直線兩側(cè)，隨的增大而減??；故②錯誤；③∵關(guān)于對稱，同①可得，向左平移個單位得到：∴圖象關(guān)于直線對稱；故③不正確；④∵平移后的對稱中心為，左右平移圖象后，與軸沒有交點，∴的取值范圍為．故④正確，故答案為：①④．（3）∵，∴不等式如圖所示，在第三象限內(nèi)和第一象限內(nèi)，，∴或，故答案為：或．

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的平移，平移的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，熟練掌握各函數(shù)的圖象特點是解題關(guān)鍵．先根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可得，，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點即可得．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，∴，即，∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴，即，∴函數(shù)的開口向下，與軸的交點位于軸的正半軸，對稱軸為直線，故選：D．考點03反比例函數(shù)的性質(zhì)1．（2024·四川遂寧·中考真題）反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則點在第象限．【答案】四/【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，點所在的象限，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，∴∴∴點在第四象限，故答案為：四．2．（2023·河北·中考真題）如圖，已知點，反比例函數(shù)圖像的一支與線段有交點，寫出一個符合條件的k的數(shù)值：．

【答案】4（答案不唯一，滿足均可）【分析】先分別求得反比例函數(shù)圖像過A、B時k的值，從而確定k的取值范圍，然后確定符合條件k的值即可．【詳解】解：當(dāng)反比例函數(shù)圖像過時，；當(dāng)反比例函數(shù)圖像過時，；∴k的取值范圍為∴k可以取4．故答案為4（答案不唯一，滿足均可）．【點睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)的解析式，確定邊界點的k的值是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·四川甘孜·中考真題）若反比例函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三象限，則k的取值范圍是．【答案】【分析】直接根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖像過一、三象限，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)．反比例函數(shù)的性質(zhì)主要有：（1）反比例函數(shù)的圖像是雙曲線；（2）當(dāng)時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)隨的增大而減小；（3）當(dāng)時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)隨的增大而增大．注意：反比例函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸沒有交點．根據(jù)反比例函數(shù)的圖像判斷出的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．4．（2025·湖南·中考真題）對于反比例函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．點在該函數(shù)的圖象上B．該函數(shù)的圖象分別位于第二、第四象限C．當(dāng)時，隨的增大而增大D．當(dāng)時，隨的增大而減小【答案】D【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、當(dāng)時，，所以點在它的圖象上，故選項不符合題意；、由可知，它的圖象在第一、三象限，故選項不符合題意；、當(dāng)時，隨的增大而減小，故選項不符合題意；、當(dāng)時，隨的增大而減小，故符合題意；故選：D．5．（2025·河北·中考真題）在反比例函數(shù)中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的范圍求解．【詳解】解：∵，，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，，當(dāng)時，∴當(dāng)時，，故選：B．6．（2024·江蘇徐州·中考真題）若點、、都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的大小關(guān)系為．【答案】【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，判斷反比例函數(shù)的增減性，根據(jù)解析式得到反比例函數(shù)的函數(shù)圖象在二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，再根據(jù)三個點的橫坐標(biāo)判斷A，B，C三點的位置，從而根據(jù)增減性判斷a，b，c的大小即可．【詳解】解：∵在反比例函數(shù)中，，∴反比例函數(shù)的函數(shù)圖象在二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∵、、，∴A在第二象限，B，C在第四象限，∴，∵，∴，∴，故答案為：．7．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若反比例函數(shù)，，當(dāng)時，函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最大值是，則．【答案】/【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，正確得出與的關(guān)系是解題關(guān)鍵．直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)分別得出與，再代入進(jìn)而得出答案．【詳解】解：函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)隨的增大而減小，最大值為，時，，，當(dāng)時，函數(shù)隨的增大而減大，函數(shù)的最大值為，．故答案為：．8．（2024·浙江·中考真題）反比例函數(shù)的圖象上有，兩點．下列正確的選項是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，由于反比例函數(shù)，可知函數(shù)位于一、三象限，分情況討論，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性判斷出與的大小．【詳解】解：根據(jù)反比例函數(shù)，可知函數(shù)圖象位于一、三象限，且在每個象限中，y都是隨著x的增大而減小，反比例函數(shù)的圖象上有，兩點，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；故選：A．9．（2023·湖北襄陽·中考真題）點，都在反比例函數(shù)的圖象上，則．（填“”或“”）【答案】【分析】由反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)得到在同一象限內(nèi)，隨的增大而減小，即可得到答案．【詳解】解：，在同一象限內(nèi)，隨的增大而減小，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查根據(jù)反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)判斷出函數(shù)的增減性，熟練掌握函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．10．（2024·山東德州·中考真題）已知，是某函數(shù)圖象上的兩點，當(dāng)時，．該函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的增減性．由題意可得當(dāng)時，y隨x的增大而增大，逐個選項判斷函數(shù)的增減性，即可額解答．【詳解】解：∵當(dāng)時，，即，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大．A、對于函數(shù)，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意；B、對于，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意；C、函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，則當(dāng)，y隨x的增大而增大，故該函數(shù)符合題意；D、函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，則當(dāng)，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意．故選：C11．（2025·天津·中考真題）若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查比較反比例函數(shù)的函數(shù)值的大小關(guān)系，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴反比例函數(shù)的圖象過二，四象限，在每一個象限內(nèi)，隨著的增大而增大，∵點都在反比例函數(shù)的圖象上，且，∴；故選D．考點04k的幾何意義1．（2025·北京·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是橫、縱軸正半軸上的動點，四邊形是矩形，函數(shù)的圖象與邊交于點，與邊交于點（，不重合）．給出下面四個結(jié)論：①與的面積一定相等；②與的面積可能相等；③一定是銳角三角形；④可能是等邊三角形．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)的意義即可判斷①②，根據(jù)等邊三角形和反比例函數(shù)的對稱性即可判斷④，根據(jù)是反比例函數(shù)圖象上的動點，可得或為鈍角，即可判斷③，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴又∵是反比例函數(shù)圖象上的動點，軸，軸，∴∴，即與的面積一定相等；故①正確，由①可得當(dāng)與的面積相等時，如圖，連接，∴∴在直線上，則重合，∴與的面積不可能相等，故②不正確，∵等邊三角形和反比例函數(shù)都是軸對稱圖形，當(dāng)且對稱軸都為直線，可能是等邊三角形，故④正確,如圖當(dāng)在的同側(cè)時，可能是鈍角三角形，故③錯誤綜上，①④正確、②③錯誤.故選：B．2．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在反比例函數(shù)的圖象上，連接．若，則．【答案】/【分析】本題主要考查了求角的正切值，相似三角形的性質(zhì)與判定，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，過點A作軸于C，過點B作軸，可證明，得到，再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得到，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，過點A作軸于C，過點B作軸，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，∴，故答案為：．3．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點在函數(shù)的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點平移后的對應(yīng)點為），交函數(shù)的圖象于點，過點作軸于點，則下列結(jié)論：①；②的面積等于四邊形的面積；③的最小值是；④．其中正確的結(jié)論有．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②④【分析】由，可得，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點為，利用的幾何意義可得的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，證明四邊形為矩形，可得當(dāng)最小，則最小，設(shè)，可得的最小值為，故③不符合題意；如圖，設(shè)平移距離為，可得，證明，可得，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】解：∵，，四邊形是矩形；∴，∴，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點為，∵，∴，∴，∴的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，∵軸，，∴四邊形為矩形，∴，∴當(dāng)最小，則最小，設(shè)，∴，∴，∴的最小值為，故③不符合題意；如圖，設(shè)平移距離為，∴，∵反比例函數(shù)為，四邊形為矩形，∴，，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故④符合題意；故答案為：①②④【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．4．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數(shù)圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴（負(fù)值舍去），故選：A．5．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，點A在函數(shù)的圖象上，點B在函數(shù)的圖象上，且軸，軸于點C，則四邊形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】延長交軸于點，根據(jù)反比例函數(shù)值的幾何意義得到，，根據(jù)四邊形的面積等于，即可得解．【詳解】解：延長交軸于點，

∵軸，∴軸，∵點A在函數(shù)的圖象上，∴，∵軸于點C，軸，點B在函數(shù)的圖象上，∴，∴四邊形的面積等于；故選B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用．熟練掌握反比例函數(shù)中的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．6．（2023·廣西·中考真題）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】設(shè)，則，，，根據(jù)坐標(biāo)求得，，推得，即可求得．【詳解】設(shè)，則，，∵點A在的圖象上則，同理∵B，D兩點在的圖象上，則故，又∵，即，故，∴，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的面積公式等，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2025·黑龍江綏化·中考真題）如圖，反比例函數(shù)經(jīng)過、兩點，過點作軸于點，過點作軸于點，連接、、．若，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握值幾何意義是關(guān)鍵．延長交于點E，設(shè)，則，求出，，進(jìn)而得到，證明四邊形是矩形，再求出，得到，根據(jù)，建立方程求解即可．【詳解】解：延長交于點E，設(shè)，∵，∴，∵軸，軸，∴點的縱坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為，∴，∴，∴，，∵反比例函數(shù)經(jīng)過、兩點，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，故選：D．8．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，點A在雙曲線上，連接AO并延長，交雙曲線于點B，點C為x軸上一點，且，連接，若的面積是6，則k的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．過點A作軸，過點B作軸，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，確定，然后結(jié)合圖形及面積求解即可．【詳解】解：過點A作軸，過點B作軸，如圖所示：∴，∴，∵點A在雙曲線上，點B在，∴∴，∴，∴，∴，∵，軸，∴，∵，∴，∴∴∴，故選：C．9．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點，在軸上，若點，，則實數(shù)的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)，根據(jù)的縱坐標(biāo)相同以及點在反比例函數(shù)上得到的坐標(biāo)，進(jìn)而用代數(shù)式表達(dá)的長度，然后根據(jù)列出一元一次方程求解即可．【詳解】是平行四邊形縱坐標(biāo)相同的縱坐標(biāo)是在反比例函數(shù)圖象上將代入函數(shù)中，得到的縱坐標(biāo)為即：解得：故答案為：．10．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，點A是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點A作軸，垂足為點C，延長至點B，使，點D是y軸上任意一點，連接，，若的面積是6，則．【答案】【分析】連結(jié)、，軸，由得到．由得到，則，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在象限即可得到滿足條件的k的值．【詳解】解：如圖，連結(jié)、，

∵軸，∴．∴．∵，∵，∴，∵圖象位于第一象限，則，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)并能熟練運用數(shù)形結(jié)合的思想是解答問題的關(guān)鍵．11．（2023·陜西·中考真題）如圖，在矩形和正方形中，點A在y軸正半軸上，點C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點D在邊上，，．若點B，E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是．【答案】【分析】設(shè)正方形的邊長為m，根據(jù)，，得到，根據(jù)矩形對邊相等得到，推出，根據(jù)點B，E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，得到，得到，推出．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，設(shè)正方形的邊長為m，∴，∵，∴，∴，，設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，∴，解得或（不合題意，舍去），∴，∴，∴這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，反比例函數(shù)性質(zhì)，k的幾何意義．考點05反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合——解不等式1．（2025·重慶·中考真題）如圖，點為矩形的對角線AC的中點，，，，是上的點（，均不與，重合），且，連接，．用表示線段的長度，點與點的距離為．矩形的面積為，的面積為，的面積為，．(1)請直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍：(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象，并分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出時的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過）．【答案】(1)，(2)作圖見解析，性質(zhì)：當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大（不唯一）；當(dāng)時，隨的增大而減小(3)（或或或或）【分析】本題考查函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)與不等式，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并能正確分段列出動點問題的相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵．（1）利用矩形性質(zhì)和勾股定理得出，，分兩部分：①當(dāng)時；②當(dāng)時，分別列出；過點作于點，利用等面積法求出，即可表示出的面積為，同理可得的面積為，再結(jié)合矩形的面積為與，即可列出；（2）根據(jù)函數(shù)解析式畫圖即可，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出性質(zhì)；（3）根據(jù)圖象寫出的圖象在下方時對應(yīng)的自變量的取值范圍即可【詳解】（1）解：∵為矩形的對角線AC的中點，，，∴，，∴，當(dāng)時，，如圖，∴；當(dāng)時，，如圖，∴；∴；如圖，過點作于點，∵，∴，∴的面積為，同理可得的面積為，又∵矩形的面積為，∴，∴；（2）解：作圖如下：性質(zhì)：當(dāng)時，隨的增大而減小；當(dāng)時，隨的增大而增大（不唯一）；當(dāng)時，隨的增大而減??；（3）解：結(jié)合函數(shù)圖象，可得時的取值范圍為（或<或或或）．2．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點，點A的橫坐標(biāo)為．當(dāng)時，的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查由函數(shù)圖像解不等式，熟練掌握不等式與函數(shù)圖像的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式與函數(shù)圖像的關(guān)系，當(dāng)時，的取值范圍是指反比例函數(shù)在一次函數(shù)上方圖像對應(yīng)的的取值范圍，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【詳解】解：由圖可知，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點，點的橫坐標(biāo)為，∴點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)或時，有反比例函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上方，即當(dāng)時，的取值范圍是或，故選：C．3．（2025·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點A和，點A的橫坐標(biāo)為2．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)觀察圖象，直接寫出當(dāng)時x的取值范圍；(3)點C為x軸上一動點，連接，若的面積為18，求點C的坐標(biāo)．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為(2)或(3)點C坐標(biāo)為或【分析】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求解析，三角形面積等．（1）由待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)圖象即可求得；（3）設(shè)與軸交于點，得出，設(shè)，則，然后根據(jù)三角形面積公式建立方程，解方程，即可求得的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點A和，點A的橫坐標(biāo)為2∴將代入，則，∴反比例函數(shù)解析式為：，∴將代入，則，∴，將，代入，則，解得：∴一次函數(shù)解析式為：；（2）解：∵，∴觀察圖象，當(dāng)時，的取值范圍是或；（3）解：設(shè)與軸交于點，當(dāng)時，∴∴，設(shè)，∴∵的面積為18，∴∴，∴，即解得：或∴點C坐標(biāo)為或．4．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（m為常數(shù)，）的圖象交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)是，點B的坐標(biāo)是．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．(2)根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為(2)或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確求出對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）先把點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，再把點B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出點B坐標(biāo)，最后把點A和點B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，求出一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）解：把點代入，得，解得，反比例函數(shù)的解析式為，把點代入，得，解得，，把，代入得，解得一次函數(shù)的解析式為；（2）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍為或，∴關(guān)于x的不等式的解集或．5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點，給出如下定義：當(dāng)點，滿足時，稱點是點的等和點．(1)已知點，在，，中，是點等和點的有_____；(2)若點的等和點在直線上，求的值；(3)已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點在雙曲線上，點的等和點在直線上，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)和；(2)；(3)或．【分析】（）根據(jù)等和點的定義判斷即可求解；（）設(shè)點的橫坐標(biāo)為，根據(jù)等和點的定義得點的縱坐標(biāo)為，即可得點的坐標(biāo)為，把點的坐標(biāo)代入即可求解；（）由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點分別為點，如圖，由時的取值范圍是或，可得點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為，即得，得到反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，點的橫坐標(biāo)為，根據(jù)等和點的定義得，代入得，解方程得，，據(jù)此即可求解；本題考查了點的坐標(biāo)新定義運算，一次函數(shù)點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，理解等和點的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由，得，，∴點是點的等和點；由，得，，，∵，∴不是點的等和點；由，得，，∴是點的等和點；故答案為：和；（2）解：設(shè)點的橫坐標(biāo)為，∵點是點的等和點，∴點的縱坐標(biāo)為，∴點的坐標(biāo)為，∵點在直線上，∴，∴；（3）解：由題意可得，，雙曲線分布在一、三象限內(nèi)，設(shè)直線與雙曲線的交點分別為點，如圖，由時的取值范圍是或，可得點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為，把代入得，，∴，把代入得，，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，點的橫坐標(biāo)為，∵點是點的等和點，∴點的縱坐標(biāo)為，∴，∵點在直線上，∴，整理得，，去分母得，，解得，，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴點的坐標(biāo)為或．

考點06反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合——求面積1．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數(shù)（為常數(shù)）的圖象在第二象限交于點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積求法，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）先由點代入求出點的坐標(biāo)為，然后代入即可求解；（）過點作軸于點，然后求出，，再由即可求解．【詳解】（1）解：把點代入中得，∴，∴一次函數(shù)解析式為，把點代入中，得，∴點的坐標(biāo)為，把代入中，得，，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：過點作軸于點，∵，∴，把代入得，，∴，∴，∴．2．（2025·四川瀘州·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)將一次函數(shù)的圖象沿軸向下平移12個單位，與反比例函數(shù)的圖象相交于點，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，一次函數(shù)圖象的問題，熟知待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）把點A坐標(biāo)分別代入兩個函數(shù)解析式中計算求解即可得到答案；（2）根據(jù)“上加下減，左減右加”的平移規(guī)律可得直線解析式為，則可求出，過點A作軸交直線于T，則，再根據(jù)列式求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，∴，∴一次函數(shù)解析式為；∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：∵將一次函數(shù)的圖象沿軸向下平移12個單位，與反比例函數(shù)的圖象相交于點，∴直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴；如圖所示，過點A作軸交直線于T，∵，∴點T的橫坐標(biāo)為2，在中，當(dāng)時，，∴，∴，∴．3．（2025·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點O的直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，分別以點A，點B為圓心，畫半徑為1的和．當(dāng)，分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，連接，，則陰影部分圖形的面積和為．（結(jié)果保留）【答案】/【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點的問題，考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解直角三角形，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是求得，根據(jù)題意得到，則A點的縱坐標(biāo)為1，代入解析式求得A的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再利用扇形的面積公式即可求得兩個象限中扇形的面積，進(jìn)一步求得陰影部分圖形的面積之和．【詳解】解：當(dāng)，分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，∴軸，軸，∵半徑為1，∴，∴A點的縱坐標(biāo)為1，把代入，求得，∴，∴，，∴，∴，∴第一象限中陰影的面積，同理，第三象限中陰影的面積，∴．故答案為：．4．（2025·安徽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點．已知點A和B的橫坐標(biāo)分別為6和2．(1)求a與k的值；(2)設(shè)直線與x軸、y軸的交點分別為C，D，求的面積．【答案】(1)，(2)16【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確求出a、k的值解題的關(guān)鍵．（1）把A、B橫坐標(biāo)分別代入兩個函數(shù)解析式，根據(jù)同一個橫坐標(biāo)下，兩個函數(shù)的函數(shù)值相同建立方程組求解即可；（2）根據(jù)（1）所求可得直線的解析式，則可求出點C和點D的坐標(biāo)，坐標(biāo)可得的長，據(jù)此根據(jù)三角形面積計算公式求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，解得，．（2）解：由（1）知直線對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式為．在中，令，得，令，得，∴，，∴．．∴的面積為．5．（2025·山西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸，y軸交于點A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點C．已知點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，點D在反比例函數(shù)的圖像上，縱坐標(biāo)為2．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式，并直接寫出點B的坐標(biāo)；(2)連接，請直接寫出四邊形的面積．【答案】(1)，(2)10【分析】（1）把點C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求得k的值，即可求得反比例函數(shù)解析式；由A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，令，求出y的值，即可得點B的坐標(biāo)；（2）點D在反比例函數(shù)的圖像上，縱坐標(biāo)為2，則可求得點D的橫坐標(biāo)，利用四邊形的面積等于面積的和即可求解．【詳解】（1）解：∵點C的坐標(biāo)為，且在反比例函數(shù)的圖像上，∴，即，∴反比例函數(shù)的解析式為；設(shè)直線的解析式為，把A、C兩點坐標(biāo)分別代入得：，解得：，即直線的解析式為；上式中，令，，∴點B的坐標(biāo)為；（2）解：∵點D在反比例函數(shù)的圖像上，縱坐標(biāo)為2，∴，解得：；由題意知，，∴．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，割補法求四邊形面積等知識，掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是關(guān)鍵．6．（2024·湖北·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象在第一象限的部分交于點．(1)求m，n，k的值；(2)若C是反比例函數(shù)的圖象在第一象限部分上的點，且的面積小于的面積，直接寫出點C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．【答案】(1)，，(2)【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，交點坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）把點坐標(biāo)代入求出，得到直線解析式，再把點坐標(biāo)代入直線解析式求出，把點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出值即可；（2）根據(jù)題意，列出不等式，解答即可．【詳解】（1）解：把點坐標(biāo)代入得：，解得，直線解析式為，把點坐標(biāo)代入直線解析式得，解得，把點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得：，解得，（2）∵反比例函數(shù)解析式為，的面積小于的面積，，即，點在反比例函數(shù)圖象上，且在第一象限，，．7．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度，得到一次函數(shù)的圖象，與反比例函數(shù)的圖象交于點．過點作x軸的平行線分別交與的圖象于C，D兩點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，求的面積．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為；反比例函數(shù)的解析式為；(2)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合：（1）先根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，再把點A的坐標(biāo)分別代入對應(yīng)的一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先分別求出C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長，再根據(jù)三角形面積計算公式求解即可．【詳解】（1）解：∵將函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度，得到一次函數(shù)的圖象，∴，把代入中得：，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；把代入中得：，解得，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：∵軸，，∴點C和點D的縱坐標(biāo)都為2，在中，當(dāng)時，，即；在中，當(dāng)時，，即；∴，∵，∴．考點07反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合——動點問題1．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與x軸相交于點，與y軸相交于點C．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)點P為y軸負(fù)半軸上一點，連接．若的面積為6，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為：；反比例函數(shù)解析式為：；(2)點P的坐標(biāo)為．【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出點坐標(biāo)，利用三角形面積公式，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵點在一次函數(shù)圖象上，∴，解得，∴一次函數(shù)解析式為：；∵點在一次函數(shù)圖象上，∴，解得，∴點，∵點在反比例函數(shù)圖象上，∴∴反比例函數(shù)解析式為：；（2）解：∵，∴當(dāng)時，，∴，由題意得，解得，∵點P為y軸負(fù)半軸上一點，∴，∴點P的坐標(biāo)為．2．（2025·江西·中考真題）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；(2)將直線l向上平移，在x軸上方與反比例函數(shù)圖象交于點C，連接，當(dāng)時，求點C的坐標(biāo)及直線l平移的距離．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)和解析式為；(2)點，直線l平移的距離為．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，直線的平移，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先得到點和點關(guān)于直線對稱，可求得，設(shè)直線l向上平移個單位經(jīng)過點，再利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∵直線經(jīng)過點，∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)和解析式為；（2）解：作一三象限的角平分線，如圖，∵，∴，根據(jù)雙曲線的對稱性，知點和點關(guān)于直線對稱，∴，作軸于點，作軸于點，∵，，，∴，∵，∴，，∴點，設(shè)直線l向上平移個單位經(jīng)過點，∴平移后的直線為，∴，解得，∴直線l平移的距離為．3．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，一次函數(shù)的圖象過點A與反比例函數(shù)交于另一點，與軸交于點，其中，．(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式，并求的面積．(2)連接，在直線上是否存在點，使以、、為頂點的三角形與相似，若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)或【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，兩點距離計算公式，勾股定理的逆定理，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．（1）把點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出反比例函數(shù)解析式，則可求出點C坐標(biāo)，再把點A和點C坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式中求出一次函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出點M的坐標(biāo)，再利用三角形面積計算公式求解即可；（2）利用對稱性可得點B坐標(biāo)，利用兩點距離計算公式和勾股定理的逆定理可證明，則只存在和這兩種情況，當(dāng)時，則，此時點D為的中點，利用中點坐標(biāo)公式可得答案當(dāng)時，則，可求出；設(shè)，則，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：把代入到中得：，解得，∴反比例函數(shù)解析式為，在中，當(dāng)時，，∴；把，代入到中得：，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為，在中，當(dāng)時，，∴，∴，∴；（2）解：∵直線經(jīng)過原點，∴由反比例函數(shù)的對稱性可得點B的坐標(biāo)為，，∵，，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴與不垂直，∵與相似，∴只存在和這兩種情況，當(dāng)時，則，，∴，，∴此時點D為的中點，∴點D的坐標(biāo)為；當(dāng)時，則，，∴；設(shè)，∴，解得，∴，∴點D的坐標(biāo)為；綜上所述，點D的坐標(biāo)為或．4．（2025·四川遂寧·中考真題）如圖，一次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式．(2)結(jié)合圖形，請直接寫出不等式的解集．(3)點是軸上的一點，若是以為直角邊的直角三角形，求的值．【答案】(1)反比例函數(shù)的關(guān)系式為，一次函數(shù)的關(guān)系式為(2)或(3)或【分析】（）利用待定系數(shù)法解答即可；（）求出直線與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象解答即可；（）分和兩種情況，利用勾股定理列出方程解答即可；本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：把代入，得，∴，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為，把代入，得，∴，∴，把，代入一次函數(shù)得，，解得，∴一次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）解：如圖，設(shè)直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，由，解得，，∴，，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時，反比例函數(shù)圖象位于一次函數(shù)圖象下方，即，∴不等式的解集為或；（3）解：當(dāng)時，，即，整理得，，∴；當(dāng)時，，即，整理得，，∴；綜上，的值為或．5．（2025·四川涼山·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)利用圖像，直接寫出不等式的解集為________；(3)在x軸上找一點C，使的周長最小，并求出最小值．【答案】(1)；(2)(3)當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，的周長有最小值，最小值為【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，軸對稱最短路徑問題，兩點距離計算公式等等，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．（1）把點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出反比例函數(shù)解析式，再把點B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出點B坐標(biāo)，最后把點A和點B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可；（2）只需要根據(jù)函數(shù)圖象找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可得到答案；（3）作點B關(guān)于x軸的對稱點D，連接，則，由軸對稱的性質(zhì)可得；由兩點距離計算公式可得，則可推出的周長，根據(jù)，可推出當(dāng)A、C、D三點共線時，有最小值，即此時的周長有最小值，最小值為，利用兩點距離計算公式可得，則的周長的最小值為；求出直線解析式為，在中，當(dāng)時，，則．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，解得，∴反比例函數(shù)的解析式為；在中，當(dāng)時，，∴，∵一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，，∴，解得，∴一次函數(shù)解析式為；（2）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象上方時自變量的取值范圍為，∴不等式的解集為；（3）解；如圖所示，作點B關(guān)于x軸的對稱點D，連接，則，由軸對稱的性質(zhì)可得；∵，，∴，∴的周長，∴當(dāng)有最小值時，的周長有最小值，∵，∴當(dāng)有最小值時，的周長有最小值，∵，∴當(dāng)A、C、D三點共線時，有最小值，即此時的周長有最小值，最小值為，∵，，∴，∴的周長的最小值為；設(shè)直線解析式為，則，∴，∴直線解析式為，在中，當(dāng)時，，∴；綜上所述，當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，的周長有最小值，最小值為．6．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，點的橫坐標(biāo)為1．(1)求的值及點的坐標(biāo)．(2)點是線段上一點，點在直線上運動，當(dāng)時，求的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求解A的坐標(biāo)，再求解反比例函數(shù)解析式，再聯(lián)立兩個解析式可得B的坐標(biāo)；（2）由，證明，可得，求解,證明，如圖，當(dāng)時，最短；再進(jìn)一步利用勾股定理與等面積法求解即可；【詳解】（1）解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，點的橫坐標(biāo)為1．∴，∴,∴，∴反比