五年級奧數(shù)思維訓(xùn)練題集(下冊)親愛的同學(xué)們，歡迎來到《五年級奧數(shù)思維訓(xùn)練題集（下冊）》的奇妙世界！經(jīng)過了上冊的學(xué)習(xí)與探索，相信大家對數(shù)學(xué)的興趣更加濃厚，思維也更加敏捷了。本冊將帶領(lǐng)大家繼續(xù)深入數(shù)學(xué)的殿堂，挑戰(zhàn)更具趣味性和挑戰(zhàn)性的問題，進一步培養(yǎng)大家的邏輯推理能力、空間想象能力和解決問題的創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)字和公式的游戲，它更是一種思維方式的訓(xùn)練。在接下來的內(nèi)容中，我們將遇到各種巧妙的問題，它們或許會讓你一時困惑，但請記住，每一次思考都是一次進步，每一次嘗試都是對大腦的絕佳鍛煉。希望大家能沉下心來，仔細品讀題目，積極調(diào)動所學(xué)知識，多角度思考，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力無窮無盡。第一章深入探究行程問題行程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)中的經(jīng)典題型，也是鍛煉邏輯思維的好幫手。這一章我們將在已有的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)更復(fù)雜的相遇與追及，以及涉及多個對象、多種情況的綜合行程問題。第一節(jié)相遇與追及的延伸例題1：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。甲每分鐘走80米，乙每分鐘走70米，兩人在距離中點150米處相遇。求A、B兩地之間的距離。思路點睛：這道題的關(guān)鍵在于理解“距離中點150米處相遇”意味著什么。甲的速度比乙快，所以相遇時甲走過的路程超過了中點，而乙還未到中點。那么，甲比乙多走了多少米呢？是150米嗎？不，仔細想想，甲超過中點150米，乙距離中點還有150米，所以甲比乙實際上多走了兩個150米。知道了速度差和路程差，就能求出相遇時間，進而求出總路程。例題2：甲、乙兩車同時從同一地點出發(fā)，沿同一方向行駛。甲車每小時行60千米，乙車每小時行45千米。甲車行駛2小時后，因事以原速返回，在途中與乙車相遇。問：從出發(fā)到相遇一共用了多少小時？思路點睛：這道題稍顯復(fù)雜，甲車先行駛2小時，然后返回，在途中與乙車相遇。我們可以把整個過程看作甲車先向前開了2小時，然后掉頭與乙車相向而行。那么，當甲車掉頭時，乙車在哪里呢？它們之間的距離是多少呢？這是解決問題的突破口。求出此時兩車的距離，就變成了一個簡單的相遇問題。第二節(jié)環(huán)形跑道與多人行程例題3：在一個周長為400米的環(huán)形跑道上，小明和小亮同時從同一地點出發(fā)，同向而行。小明每秒跑6米，小亮每秒跑4米。經(jīng)過多少秒小明第一次追上小亮？思路點睛：環(huán)形跑道上的追及問題，其特點是當快的人第一次追上慢的人時，快的人比慢的人多跑了一圈。明白了這一點，就可以根據(jù)“路程差=速度差×?xí)r間”這個基本關(guān)系來求解了。例題4：甲、乙、丙三人步行的速度分別是每分鐘60米、70米、80米。甲、乙從A地，丙從B地同時出發(fā)相向而行，丙遇到乙后5分鐘再遇到甲。求A、B兩地間的距離。思路點睛：這是一個三人行程問題。我們可以先畫出示意圖幫助理解。丙和乙相遇時，甲在哪里？丙和乙相遇后，再過5分鐘與甲相遇，這5分鐘內(nèi)，甲和丙一共走的路程，其實就是丙和乙相遇時，甲和乙之間的距離。這個距離又是因為甲和乙的速度差造成的。抓住這個關(guān)鍵的“距離差”，就能逐步求出答案。第二章圖形的面積與體積平面圖形的面積和立體圖形的體積計算，不僅需要掌握基本公式，更需要靈活運用割補、平移、旋轉(zhuǎn)等方法，將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為我們熟悉的簡單圖形。第一節(jié)組合圖形的面積例題5：一個等腰直角三角形的斜邊長是10厘米，求這個三角形的面積。思路點睛：我們知道，等腰直角三角形的兩條直角邊相等。如果知道直角邊的長度，面積就很容易求了。但題目只給了斜邊。我們能不能用四個這樣的等腰直角三角形拼成一個正方形呢？這個正方形的邊長和三角形的斜邊有什么關(guān)系？或者，我們也可以利用勾股定理的思想（雖然五年級沒學(xué)，但可以通過圖形拼接引導(dǎo)）來思考。例題6：如圖，正方形ABCD的邊長是8厘米，三角形ADF是正方形的一部分，三角形CEF的面積比三角形ADF的面積大8平方厘米。求CE的長度。（*此處應(yīng)有圖：正方形ABCD，F(xiàn)點在BC邊上，連接AF，E點在DC延長線上，連接EF交AD于某點*）思路點睛：這道題沒有直接給出三角形CEF或ADF的底和高。但題目告訴我們它們的面積差。我們可以考慮將這兩個三角形的面積差，轉(zhuǎn)化為另外兩個圖形的面積差，比如梯形ABCF和三角形ABE的面積差？試試看，能不能找到它們之間的聯(lián)系。第二節(jié)長方體與正方體的表面積和體積例題7：一個長方體木塊，長、寬、高分別是5厘米、4厘米、3厘米。如果把它鋸成一個最大的正方體，體積要比原來減少百分之幾？思路點睛：首先要明確，在一個長方體中鋸出最大的正方體，這個正方體的棱長等于長方體長、寬、高中的最小值。然后分別計算原來長方體的體積和鋸出的正方體的體積，就可以求出體積減少了多少，再計算減少的體積占原來體積的百分比。例題8：一個正方體玻璃容器，從里面量棱長是2分米。向容器中倒入5升水，再把一塊不規(guī)則的石頭浸沒水中，這時量得容器內(nèi)的水深是15厘米。這塊石頭的體積是多少立方厘米？思路點睛：石頭的體積等于它浸沒在水中后，水和石頭的總體積減去原來水的體積。我們需要注意單位的統(tǒng)一，先將所有數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為厘米或立方厘米，再進行計算。正方體容器的底面積是固定的，水深的變化與體積變化有關(guān)。第三章排列組合與邏輯推理生活中充滿了需要我們進行選擇和判斷的問題，排列組合幫助我們計算可能性的多少，邏輯推理則讓我們在紛繁復(fù)雜的條件中找到真相。第一節(jié)簡單的排列與組合例題9：從分別寫有數(shù)字1、2、3、4的四張卡片中，任取兩張組成一個兩位數(shù)?？梢越M成多少個不同的兩位數(shù)？思路點睛：我們可以分兩步思考：先確定十位上的數(shù)字，再確定個位上的數(shù)字。當十位上是1時，個位上可以是2、3、4，組成3個兩位數(shù)；當十位上是2時，個位上可以是1、3、4，又能組成3個……以此類推，把所有情況相加。注意，數(shù)字卡片不能重復(fù)使用。例題10：五年級（1）班有5名同學(xué)報名參加學(xué)校組織的乒乓球單打比賽。如果每兩名同學(xué)之間都要進行一場比賽，那么一共要安排多少場比賽？思路點睛：這是一個組合問題，因為比賽雙方?jīng)]有順序之分。我們可以用連線法，或者思考每個人都要和其他4人比賽，但這樣會重復(fù)計算，所以要除以2。第二節(jié)邏輯推理例題11：甲、乙、丙三個孩子踢球打碎了玻璃。甲說：“是丙打碎的?！币艺f：“我沒有打碎玻璃。”丙說：“是乙打碎的?！彼麄儺斨兄挥幸粋€人說了謊話，到底是誰打碎了玻璃？思路點睛：邏輯推理的關(guān)鍵在于找到矛盾點。我們可以假設(shè)是某個人打碎了玻璃，然后看看三個人說的話是否符合“只有一個人說了謊話”這個條件。如果符合，假設(shè)就成立；如果不符合，就換一個假設(shè)。例題12：A、B、C、D、E五人參加乒乓球比賽，每兩人都要賽一場，并且只賽一場。規(guī)定勝者得2分，負者得0分。現(xiàn)在知道比賽結(jié)果是：A和B并列第一名，C是第三名，D和E并列第四名。那么C得了多少分？思路點睛：這道題需要我們計算總場次和總分數(shù)，然后根據(jù)名次推斷每個人的得分范圍。五人比賽，總場次是固定的，總分數(shù)也就能算出來。A和B并列第一，他們不可能全勝（因為他們之間有一場比賽），所以他們最多勝幾場？D和E并列第四，他們最少勝幾場？由此可以推斷出C的得分。第四章綜合與拓展這一章我們將綜合運用前面所學(xué)的知識，解決一些更具挑戰(zhàn)性的問題，培養(yǎng)大家舉一反三、觸類旁通的能力。例題13：某班同學(xué)去劃船，如果每條船坐4人，則有1人沒有船坐；如果每條船多坐1人，則可以少租2條船，且所有人都有座位。問：這個班一共有多少名同學(xué)？原計劃租多少條船？思路點睛：這是一個盈虧問題的變形。我們可以設(shè)原計劃租x條船，根據(jù)兩種不同的租船方式，學(xué)生人數(shù)是不變的，列出方程求解?；蛘撸覀円部梢酝ㄟ^分析兩種方案下座位的差異來找到解題思路。例題14：有一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)的和。那么在前100個數(shù)中，有多少個奇數(shù)？思路點睛：這是著名的斐波那契數(shù)列。題目問的是前100個數(shù)中有多少個奇數(shù)。我們不需要把前100個數(shù)都寫出來，只要觀察數(shù)列中奇數(shù)和偶數(shù)的排列規(guī)律，找到周期就可以了。例題15：如圖，長方形ABCD被分成六個小長方形，其中四個小長方形的面積如圖所示（單位：平方厘米）。求長方形ABCD的面積。（*此處應(yīng)有圖：一個大長方形被分割成a×b的小長方形網(wǎng)格，其中幾個格子標注了面積，例如：左上角25，其右鄰15，其下鄰20，右下角12等，具體位置需根據(jù)常見題型設(shè)定*）思路點睛：長方形的面積等于長乘寬。在分割成的小長方形中，某些小長方形之間會存在邊長的倍數(shù)關(guān)系或比例關(guān)系。我們可以設(shè)出其中一個小長方形的邊長，然后根據(jù)面積關(guān)系表示出其他小長方形的邊長，進而找到它們之間的聯(lián)系，求出未知小長方形的面積。第五章解題策略與方法總結(jié)第一節(jié)常用解題策略回顧在奧數(shù)學(xué)習(xí)中，掌握一些基本的解題策略往往能事半功倍。比如：*畫圖法：線段圖、示意圖、韋恩圖等，能讓抽象問題直觀化。*列表法：有序整理信息，便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律或進行排除。*假設(shè)法：對未知量進行假設(shè)，然后根據(jù)已知條件進行調(diào)整。*倒推法：從問題的結(jié)果出發(fā)，反向思考，逐步還原。*轉(zhuǎn)化法：將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識。第二節(jié)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)學(xué)習(xí)奧數(shù)，不僅僅是為了應(yīng)付考試或競賽，更重要的是培養(yǎng)一種數(shù)學(xué)思維。這種思維體現(xiàn)在：*嚴謹?shù)倪壿嬐评恚好恳徊蕉加幸罁?jù)，條理清晰。*敏銳的觀察力：能從復(fù)雜的條件中發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵信息和隱含規(guī)律。*靈活的應(yīng)變能力：同一問題能從不同角度思考，嘗試多種解法。*堅韌的探索精神：面對難題不畏懼、不放棄，勇于嘗試。練習(xí)題（此處應(yīng)有若干道與各章節(jié)知識點對應(yīng)的練習(xí)題，難度由易到難，供學(xué)生鞏固練習(xí)。每道題后可預(yù)留空白或提示框。）練習(xí)1：甲、乙兩地相距300千米，客車從甲地開往乙地，每小時行60千米；貨車從乙地開往甲地，每小時行40千米。兩車同時出發(fā)，幾小時后相遇？相遇時客車比貨車多行多少千米？練習(xí)2：一個直角三角形的三條邊分別是6厘米、8厘米和10厘米，求這個三角形斜邊上的高。練習(xí)3：用0、1、2、3這四個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？練習(xí)4：學(xué)校組織了音樂、美術(shù)、體育三個興趣小組。小明、小紅、小剛分別參加了不同的小組。小明不喜歡音樂，小紅不是美術(shù)小組的，小剛喜歡體育。請問他們?nèi)朔謩e參加了哪個興趣小組？總結(jié)與展望親愛的同學(xué)們，《五年級奧數(shù)思維訓(xùn)練題集》到這里就要和大家說再見了。希望通過這兩冊書的學(xué)習(xí)，你們不僅收獲了知識，更