平行四邊形的存在性問題一、解題的預(yù)備知識1、線段的中點坐標(biāo)公式及兩點間距離公式在平面直角坐標(biāo)系中A,B兩點間的距離為E2、平行四邊形頂點坐標(biāo)規(guī)律平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形兩組相對頂點的橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和也相等（x1,y1)AC（x3,y3)D（x4,y4)B（x2,y2)一、解題的預(yù)備知識3、過平面內(nèi)不共線三點能畫3個平行四邊形已知平面上不共線三點A、B、C，求一點D，使得A、B、C、D四個點組成平行四邊形ABCD1D2D3連接AB,AC,BC，方法一：（按邊分類）分別過點A,B,C作對邊的平行線，三條平行線的交點即為所有點D方法二：（按對角線分類）分別以AB,AC,BC為對角線，倍長中線CE,BG,AF一、解題的預(yù)備知識4、已知平面上兩個點A,B，求兩點P,Q，使得A,B,P,Q四個點組成平行四邊形（題目中P，Q的位置有具體的限制）分兩種情況討論（1）AB為平行四邊形的邊，將AB上下左右平移，確定P，Q的位置（2）若AB為平行四邊形的對角線，取AB中點，旋轉(zhuǎn)經(jīng)過中點的直線確定P,Q的位置ABAB一、解題的預(yù)備知識

例1如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-1,0),B(1,-2),C(3,1),點D是平面內(nèi)一動點，若以點A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標(biāo)是__________ABCD1D2D3設(shè)點D（x,y)①點A與點B相對②點A與點C相對③點A與點D相對三定一動(-3,-3),(1,3),(5,-1)說明：若題中四邊形ABCD是平行四邊形，則點D的坐標(biāo)只有一個結(jié)果__(1,3)二、典例分析例2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，y=-0.25x2+x與x軸相交于點B(4,0)，點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，且以點O,B,Q,P為頂點的四邊形為平行四邊形，寫出相應(yīng)的點P的坐標(biāo)已知B(4,0),O(0,0)設(shè)Q(2,a),P(m,-0.25m2+m)∴P1(2,1),P2(6,-3),P3(-2,-3)二、典例分析兩定兩動①OB為邊②OB為對角線例2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，y=-0.25x2+x與x軸相交于點B(4,0)，點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，且以點O,B,Q,P為頂點的四邊形為平行四邊形，寫出相應(yīng)的點P的坐標(biāo)已知B(4,0),O(0,0)設(shè)Q(2,a),P(m,-0.25m2+m)①點B與點O相對②點B與點Q相對③點B與點P相對∴P1(2,1),P2(6,-3),P3(-2,-3)二、典例分析兩定兩動例3.已知拋物線y=x2-2x+a(a<0)與y軸相交于點A,頂點為M，直線y=0.5x-a與y軸相交于點C，并且與直線AM相交于點N。若P為拋物線上一動點，求出使得以P,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標(biāo)①點A與點C相對②點A與點N相對③點A與點P相對二、典例分析四動三、拓展提高菱形的存在性拋物線，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，x軸上點D（5,0），若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在上，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．B(4，0)，C(0，-2)，直線BC：,D(5,0)①以BD為對角線，如圖，∵四邊形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，三、拓展提高菱形的存在性B(4，0)，C(0，-2)，直線BC：,D(5,0)②以BD為邊且BM=BD，N為拋物線，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，x軸上點D（5,0），若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在上，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．三、拓展提高菱形的存在性B(4，0)，C(0，-2)，直線BC：,D(5,0)③以BD為邊且DM=DB，拋物線，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，，x軸上點D（5,0），若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在上，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．三、拓展提高矩形的存在性如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．A(-1，0)，D(4，5a)，P(1，26a)，Q（-4,21a）∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴[4﹣(﹣1)]2+(5a)2+(1﹣4)2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，①若AD為邊三、拓展提高矩形的存在性如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．A(-1，0)，D(4，5a)，EP(1，8a)，Q（2,-3a）∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，②若AD為對角線E如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），C（0,3），頂點D(1,4)，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD,線段BD上一點P（2,2），過點P作PF⊥x軸于點F，G為拋物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線