高中數(shù)學(xué)極限與連續(xù)專題講義引言：從“無窮”的困惑到極限的思想在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程中，從有限到無限，是一個(gè)重要的跨越。面對(duì)“無窮小”、“無窮大”這些看似矛盾的概念，早期的數(shù)學(xué)家們也曾感到困惑。例如，古希臘的芝諾悖論，就深刻地揭示了人們?cè)谥庇^上理解“無限過程”時(shí)遇到的困境。而極限思想的誕生，正是為了精確地描述和把握這些“無限過程”，它是微積分的基石，也是高等數(shù)學(xué)的入門鑰匙。理解極限，不僅有助于我們解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，更能培養(yǎng)一種從變化中把握不變、從近似中尋求精確的思維方式。本講義將帶你逐步揭開極限的神秘面紗，并探討函數(shù)連續(xù)性這一與極限緊密相關(guān)的重要概念。一、極限的概念1.1數(shù)列的極限我們先從數(shù)列談起。數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù)，例如：1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...。當(dāng)我們觀察這個(gè)數(shù)列時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)隨著項(xiàng)數(shù)n的無限增大，數(shù)列的項(xiàng)1/n似乎“無限地靠近”于0。描述性定義：對(duì)于數(shù)列{an}，如果當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)an無限地趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A，那么我們就說數(shù)列{an}的極限是A，或者說數(shù)列{an}收斂于A，記作lim(n→∞)an=A，讀作“當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，an的極限等于A”。如果不存在這樣的常數(shù)A，就說數(shù)列{an}沒有極限，或者說數(shù)列{an}是發(fā)散的。*理解要點(diǎn)：*“n無限增大”：指n的變化過程是趨向于正無窮大。*“an無限地趨近于A”：指an與A的距離|an-A|可以變得任意小，并且保持任意小。例題1：考察數(shù)列{1/n}，其通項(xiàng)公式為an=1/n。當(dāng)n越來越大時(shí)，1/n越來越小，無限地接近于0。因此，lim(n→∞)1/n=0。例題2：考察常數(shù)列{2}，即an=2對(duì)于一切n都成立。顯然，無論n如何增大，an始終是2，因此lim(n→∞)2=2。例題3：考察數(shù)列{(-1)^n}，即-1,1,-1,1,...。該數(shù)列在-1和1之間來回?cái)[動(dòng)，不趨向于任何一個(gè)確定的常數(shù)，因此該數(shù)列極限不存在。1.2函數(shù)的極限數(shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集的特殊函數(shù)。對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，我們同樣關(guān)心當(dāng)自變量x在某種變化趨勢(shì)下，函數(shù)值f(x)的變化趨勢(shì)。自變量x的變化趨勢(shì)主要有兩種：x趨向于無窮大（x→∞）和x趨向于某個(gè)確定的值x0（x→x0）。1.2.1當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)函數(shù)的極限描述性定義：設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義。如果當(dāng)x的絕對(duì)值無限增大（即x→∞）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限地趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱A是函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作lim(x→∞)f(x)=A。類似地，我們可以定義當(dāng)x→+∞（x趨向于正無窮大）和x→-∞（x趨向于負(fù)無窮大）時(shí)函數(shù)的極限，分別記作lim(x→+∞)f(x)=A和lim(x→-∞)f(x)=A。*說明：lim(x→∞)f(x)=A當(dāng)且僅當(dāng)lim(x→+∞)f(x)=A且lim(x→-∞)f(x)=A。例題4：考察函數(shù)f(x)=1/x。當(dāng)x→+∞時(shí)，1/x無限趨近于0；當(dāng)x→-∞時(shí)，1/x也無限趨近于0。因此，lim(x→∞)1/x=0。例題5：考察函數(shù)f(x)=arctanx。當(dāng)x→+∞時(shí)，arctanx無限趨近于π/2；當(dāng)x→-∞時(shí)，arctanx無限趨近于-π/2。由于左右極限不相等，因此lim(x→∞)arctanx不存在。1.2.2當(dāng)x趨向于x0時(shí)函數(shù)的極限這是函數(shù)極限中更為重要也更為復(fù)雜的一種情形。我們關(guān)心的是當(dāng)自變量x無限接近于某個(gè)確定的值x0（但x不等于x0）時(shí)，函數(shù)值f(x)的變化趨勢(shì)。描述性定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義（即f(x)可以在x0點(diǎn)沒有定義）。如果當(dāng)x在該鄰域內(nèi)無限接近于x0（即x→x0）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限地趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A，那么就稱A是函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作lim(x→x0)f(x)=A。*核心理解：*“x無限接近于x0”：指x與x0的距離|x-x0|可以任意小，但x≠x0。這意味著函數(shù)在x0點(diǎn)的極限是否存在以及極限值是多少，與函數(shù)在x0點(diǎn)是否有定義以及在x0點(diǎn)的函數(shù)值是多少無關(guān)。*“f(x)無限地趨近于A”：與數(shù)列極限類似，指|f(x)-A|可以任意小。例題6：考察函數(shù)f(x)=x+1。當(dāng)x無限接近于1時(shí)，f(x)=x+1無限接近于2。因此，lim(x→1)(x+1)=2。這里f(1)=2，極限值等于函數(shù)值。例題7：考察函數(shù)f(x)=(x2-1)/(x-1)。顯然，函數(shù)在x=1處無定義（分母為0）。但當(dāng)x≠1時(shí)，f(x)=(x+1)(x-1)/(x-1)=x+1。因此，當(dāng)x無限接近于1（x≠1）時(shí)，f(x)無限接近于2。所以，lim(x→1)(x2-1)/(x-1)=2。這里函數(shù)在x=1處無定義，但極限存在。1.2.3左極限與右極限在討論x→x0時(shí)的極限，x可以從x0的左側(cè)（即x<x0）無限趨近于x0，也可以從x0的右側(cè)（即x>x0）無限趨近于x0。我們分別稱之為“左極限”和“右極限”。*左極限：當(dāng)x從x0的左側(cè)（x→x0?）無限趨近于x0時(shí)，f(x)的極限，記作lim(x→x0?)f(x)或f(x0?)。*右極限：當(dāng)x從x0的右側(cè)（x→x0?）無限趨近于x0時(shí)，f(x)的極限，記作lim(x→x0?)f(x)或f(x0?)。定理：lim(x→x0)f(x)=A當(dāng)且僅當(dāng)lim(x→x0?)f(x)=A且lim(x→x0?)f(x)=A。即函數(shù)在x0處極限存在的充分必要條件是其左右極限都存在且相等。這個(gè)定理非常重要，它為我們判斷函數(shù)在某點(diǎn)的極限是否存在提供了依據(jù)。如果左右極限中有一個(gè)不存在，或者兩個(gè)都存在但不相等，那么函數(shù)在該點(diǎn)的極限就不存在。例題8：考察符號(hào)函數(shù)f(x)=sgn(x)，其定義為：f(x)=-1,當(dāng)x<0;f(x)=0,當(dāng)x=0;f(x)=1,當(dāng)x>0。當(dāng)x→0?時(shí)，f(x)=-1，所以左極限lim(x→0?)f(x)=-1；當(dāng)x→0?時(shí)，f(x)=1，所以右極限lim(x→0?)f(x)=1。由于左右極限不相等，因此lim(x→0)sgn(x)不存在。二、極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則2.1極限的性質(zhì)（若極限存在）1.唯一性：如果函數(shù)f(x)在某一變化趨勢(shì)下的極限存在，則極限值是唯一的。2.局部有界性：若lim(x→x0)f(x)=A，則存在x0的某一去心鄰域，使得f(x)在該鄰域內(nèi)有界。（對(duì)于x→∞的情形，是指當(dāng)|x|足夠大時(shí)，f(x)有界。）3.局部保號(hào)性：若lim(x→x0)f(x)=A，且A>0（或A<0），則存在x0的某一去心鄰域，使得在該鄰域內(nèi)f(x)>0（或f(x)<0）。2.2極限的四則運(yùn)算法則假設(shè)在自變量的同一變化趨勢(shì)下，limf(x)=A和limg(x)=B都存在，則有：1.和差法則：lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B。2.乘積法則：lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B。特別地，lim[C·f(x)]=C·limf(x)=C·A，其中C為常數(shù)。3.商法則：若B≠0，則lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B。這些法則對(duì)于數(shù)列極限同樣適用。例題9：求lim(x→2)(x2+3x-1)。解：lim(x→2)(x2+3x-1)=lim(x→2)x2+lim(x→2)3x-lim(x→2)1=(limx)2+3limx-1=22+3*2-1=4+6-1=9。例題10：求lim(x→1)(x3-1)/(x2-1)。解：當(dāng)x→1時(shí)，分子分母都趨向于0，屬于“0/0”型未定式，不能直接用商法則。先因式分解：(x3-1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-1)=(x-1)(x+1)當(dāng)x≠1時(shí)，原式=(x2+x+1)/(x+1)因此，lim(x→1)(x3-1)/(x2-1)=lim(x→1)(x2+x+1)/(x+1)=(1+1+1)/(1+1)=3/2。2.3復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則（變量替換法則）設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成。若lim(x→x0)g(x)=u0，且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)≠u0，又lim(u→u0)f(u)=A，則lim(x→x0)f[g(x)]=lim(u→u0)f(u)=A。這個(gè)法則表明，在滿足一定條件下，可以通過變量替換u=g(x)來求復(fù)合函數(shù)的極限。2.4幾個(gè)重要的極限公式在高中階段，我們需要記住并能運(yùn)用以下幾個(gè)重要的極限公式（證明超出高中范圍，可直接使用）：1.lim(x→0)sinx/x=1。（這是一個(gè)核心極限，用于推導(dǎo)三角函數(shù)相關(guān)的導(dǎo)數(shù)公式）2.lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。（其中e是一個(gè)無理數(shù)，約等于2.____...，這是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的重要基礎(chǔ)）也可以寫成lim(t→0)(1+t)^(1/t)=e。例題11：求lim(x→0)tanx/x。解：tanx=sinx/cosx，所以原式=lim(x→0)(sinx/cosx)/x=lim(x→0)(sinx/x)·(1/cosx)=lim(x→0)(sinx/x)·lim(x→0)(1/cosx)=1·1/1=1。例題12：求lim(x→∞)(1+2/x)^x。解：令t=x/2，則x=2t，當(dāng)x→∞時(shí)，t→∞。原式=lim(t→∞)(1+1/t)^(2t)=[lim(t→∞)(1+1/t)^t]^2=e2。三、函數(shù)的連續(xù)性3.1函數(shù)連續(xù)性的定義我們直觀上理解的連續(xù)函數(shù)，是其圖像可以“一筆畫成”的函數(shù)。從極限的角度，我們可以給出精確的定義。定義1：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義。如果當(dāng)自變量的增量Δx=x-x0趨近于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趨近于零，即lim(Δx→0)Δy=0，那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)。定義2：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義。如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。*說明：定義2與定義1是等價(jià)的。由定義2可知，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：1.f(x)在點(diǎn)x0處有定義；2.lim(x→x0)f(x)存在；3.上述極限值等于函數(shù)值f(x0)。這三個(gè)條件缺一不可。如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，或稱f(x)是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)。對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，在左端點(diǎn)a要求右連續(xù)（lim(x→a?)f(x)=f(a)），在右端點(diǎn)b要求左連續(xù)（lim(x→b?)f(x)=f(b)）。例題13：函數(shù)f(x)=x2在其定義域(-∞,+∞)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。因?yàn)閷?duì)于任意x0，lim(x→x0)x2=x02=f(x0)。例題14：考察函數(shù)f(x)=(x2-1)/(x-1)在x=1處的連續(xù)性。由例題7知，lim(x→1)f(x)=2，但f(x)在x=1處無定義，因此f(x)在x=1處不連續(xù)。如果我們補(bǔ)充定義f(1)=2，得到一個(gè)新的函數(shù)g(x)：g(x)=(x2-1)/(x-1)，x≠1；g(x)=2，x=1。則g(x)在x=1處連續(xù)。這種情況稱為“可去間斷點(diǎn)”。3.2函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱x0為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。根據(jù)函數(shù)在間斷點(diǎn)處的極限情況，可以將間斷點(diǎn)分為以下幾類：1.第一類間斷點(diǎn)：函數(shù)在x0處的左右極限都存在。*可去間斷點(diǎn)：左右極限存在且相等，但不等于f(x0)（或f(x0