第3課時(shí)行程問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)課題第3課時(shí)行程問(wèn)題授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.能根據(jù)行程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，加強(qiáng)模型觀念。2.借助行程問(wèn)題，體會(huì)畫(huà)圖分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法。3.經(jīng)歷運(yùn)用方程解決行程問(wèn)題的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)尋找行程問(wèn)題中的等量關(guān)系，建立方程。教學(xué)難點(diǎn)畫(huà)圖分析行程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：引用故事，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖引用經(jīng)典故事，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。【故事導(dǎo)入】大家應(yīng)該都聽(tīng)過(guò)龜兔賽跑的故事吧，假如兔子每分鐘跑30m，烏龜每分鐘爬1m，它們同時(shí)同地同向出發(fā)，兔子跑了2min后覺(jué)得領(lǐng)先太多，就躺下睡覺(jué)了。烏龜出發(fā)多久后追上兔子？這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)用一元一次方程解決此類行程問(wèn)題?！窘虒W(xué)建議】指定學(xué)生代表回答，列出式子或者方程，并解釋理由?；顒?dòng)二：?jiǎn)栴}引入，合作探究設(shè)計(jì)意圖通過(guò)直線形的追及問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)圖分析行程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)從中找等量關(guān)系的能力，感受方程模型對(duì)于解決行程問(wèn)題的作用，加強(qiáng)模型觀念與應(yīng)用意識(shí)。設(shè)計(jì)意圖將前面的問(wèn)題進(jìn)行一些變式和延伸，讓學(xué)生掌握環(huán)形跑道問(wèn)題中的相遇與追及情況，強(qiáng)化畫(huà)圖分析數(shù)量關(guān)系的方法，培養(yǎng)學(xué)生從問(wèn)題中尋找隱含等量關(guān)系的能力，深刻感受方程模型對(duì)于解決較復(fù)雜的行程問(wèn)題的作用。讓學(xué)生歸納用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，總結(jié)找等量關(guān)系列方程的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步加強(qiáng)模型觀念與應(yīng)用意識(shí)。探究點(diǎn)利用一元一次方程解決行程問(wèn)題1.追及問(wèn)題問(wèn)題小明每天早上要到距家1000m的學(xué)校上學(xué)。一天，小明以80m/min的速度出發(fā)，出發(fā)后5min，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)小明忘了帶語(yǔ)文書(shū)。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一條路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多長(zhǎng)時(shí)間？追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？（1）問(wèn)題中有哪些已知量和未知量？已知量：小明家與學(xué)校的距離、小明的速度、爸爸的速度、小明先出發(fā)的時(shí)間；未知量：爸爸追小明所用的時(shí)間、爸爸追小明期間小明所走的路程、爸爸追小明的路程。（2）想象一下追及的過(guò)程，你能用一個(gè)圖直觀表示問(wèn)題中各個(gè)量之間的關(guān)系嗎？如圖所示。小明先出發(fā)的路程+爸爸追小明期間小明所走的路程=爸爸追小明的路程。（3）你是怎樣列出方程的？與同伴進(jìn)行交流。設(shè)爸爸追上小明用了xmin。當(dāng)爸爸追上小明時(shí)，兩人所行路程相等，如圖所示。根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：80×5+80x=180x。解這個(gè)方程，得x=4。因此，爸爸追上小明用了4min，此時(shí)距離學(xué)校還有280m?！緦?duì)應(yīng)訓(xùn)練】小明和小剛步行的速度分別為4.5km/h和3.5km/h。他們分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)。如果相向而行，那么0.5h相遇；如果他們同向而行（小剛在前，小明在后），那么小明追上小剛需要幾小時(shí)？解：設(shè)小明追上小剛需要xh。根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：（4.5+3.5）×0.5+3.5x=4.5x。解這個(gè)方程，得x=4。因此，如果他們同向而行，那么小明追上小剛需要4h。歸納總結(jié)：對(duì)于行程問(wèn)題，通常借助“線段圖”來(lái)分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。對(duì)于行程問(wèn)題，通常借助“線段圖”來(lái)分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。甲、乙兩人同向出發(fā)，甲追乙這類問(wèn)題為追及問(wèn)題：（1）對(duì)于同向同時(shí)不同地的問(wèn)題，如圖所示，甲的行程-乙的行程=兩出發(fā)地的距離；（2）對(duì)于同向同地不同時(shí)的問(wèn)題，如圖所示，甲的行程=乙先走的路程+乙后走的路程。注意：同向而行注意始發(fā)時(shí)間和地點(diǎn)。2.環(huán)形跑道問(wèn)題例（教材P151例3）小明和小華兩人在400m的環(huán)形跑道上練習(xí)長(zhǎng)跑，小明每分鐘跑260m，小華每分鐘跑300m，兩人起跑時(shí)站在跑道同一位置。（1）如果小明起跑后1min小華才開(kāi)始跑，那么小華用多長(zhǎng)時(shí)間能追上小明？（2）如果小明起跑后1min小華開(kāi)始反向跑，那么小華起跑后多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇？分析：本題涉及哪些量？你能畫(huà)圖說(shuō)明小明和小華跑步的情形嗎？在問(wèn)題（1）和（2）中，兩人所走的路程分別有什么關(guān)系？（1）小華的路程=小明1min的路程+小華追小明期間小明的路程；（2）小華的路程+小華跑步期間小明的路程=跑道一圈的長(zhǎng)-小明1min的路程。解：（1）設(shè)小華用了xmin追上小明，根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：260+260x=300x。解這個(gè)方程，得x=6.5。因此，小華用6.5min追上小明。（2）設(shè)小華起跑后xmin兩人首次相遇，根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：260x+300x=400-260。解這個(gè)方程，得x=0.25。因此，小華起跑后0.25min兩人首次相遇。歸納總結(jié)：環(huán)形跑道問(wèn)題：設(shè)v環(huán)形跑道問(wèn)題：設(shè)v甲＞v乙，環(huán)形跑道長(zhǎng)sm，經(jīng)過(guò)ts甲、乙第一次相遇。一般有如下兩種情形：①同時(shí)同地同向而行：v甲t-v乙t=s。②同時(shí)同地背向而行：v甲t+v乙t=s。思考（1）用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是什么？與同伴進(jìn)行交流。用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟如圖所示。（2）回顧本節(jié)一元一次方程應(yīng)用的學(xué)習(xí)，對(duì)于如何尋找等量關(guān)系列方程，你積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？找到問(wèn)題中包含的已知量與未知量，設(shè)其中一個(gè)未知量為x，可借助表格或畫(huà)圖分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出其他相關(guān)的量，關(guān)注相等量，根據(jù)相等量的兩種不同表達(dá)式就可以建立等量關(guān)系，列出方程了。【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】甲、乙二人在一環(huán)形場(chǎng)地上從A點(diǎn)同時(shí)同向勻速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4min后兩人首次相遇，此時(shí)乙還需要跑300m才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及環(huán)形場(chǎng)地的周長(zhǎng)。解：設(shè)乙的速度為xm/min，則甲的速度為2.5xm/min。根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：2.5x×4-4x=4x+300。解這個(gè)方程，得x=150。2.5×150=375，4×150+300=900。因此，甲的速度為375m/min，乙的速度為150m/min，環(huán)形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為900m?！窘虒W(xué)建議】讓學(xué)生交流討論，指定學(xué)生代表回答問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生找出題目中的等量關(guān)系，畫(huà)圖分析數(shù)量關(guān)系，根據(jù)相等量列出方程。教師酌情總結(jié)追及問(wèn)題的相等量：慢者先走的路程+慢者后走的路程=快者追慢者所走的路程，慢者后走的路程所用的時(shí)間=快者追慢者所用的時(shí)間?！窘虒W(xué)建議】先讓學(xué)生獨(dú)立思考，指定學(xué)生代表回答分析中提出的問(wèn)題，上臺(tái)畫(huà)圖說(shuō)明，提醒學(xué)生注意環(huán)形跑道、問(wèn)題（2）中“反向跑”與“首次相遇”的意義，教師酌情用多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生有直觀的感受?！窘虒W(xué)建議】讓學(xué)生交流討論，指定學(xué)生代表回答問(wèn)題，言之有理即可。教師可酌情回顧前面兩個(gè)課時(shí)的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)。【教學(xué)建議】提醒學(xué)生：在環(huán)形場(chǎng)地上同時(shí)同地同向而行的首次相遇，應(yīng)看作追及問(wèn)題，追趕的距離即為環(huán)形場(chǎng)地的周長(zhǎng)。此問(wèn)題較復(fù)雜，教師酌情引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖分析數(shù)量關(guān)系。活動(dòng)三：知識(shí)延伸，鞏固升華設(shè)計(jì)意圖借助不同形式的古代數(shù)學(xué)問(wèn)題，強(qiáng)化畫(huà)圖分析數(shù)量關(guān)系的方法，培養(yǎng)學(xué)生從問(wèn)題中尋找隱含等量關(guān)系的能力，深刻感受方程模型對(duì)于解決古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的作用。例《孫子算經(jīng)》記載：“今有長(zhǎng)木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩若干，屈繩度之，余繩二尺五寸，繩再屈量之，不足二尺五寸，木長(zhǎng)幾何？”大意是：用一根繩子去度量一根長(zhǎng)木，余繩較多，將繩子對(duì)折后去量，繩子還剩余2.5尺，將繩子再次對(duì)折后再量，繩子則差2.5尺，木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)x尺，則可列方程為AA.2（x+2.5）=4（x-2.5）B.2x-2.5=4（x-2.5）C.2x+2.5=4x-2.5D.2（x+2.5）=4x-2.5【解析】如圖，設(shè)木長(zhǎng)x尺。因?yàn)閷⒗K子對(duì)折后去量，繩子還剩余2.5尺，所以繩子長(zhǎng)為2（x+2.5）尺。因?yàn)閷⒗K子再次對(duì)折后再量，繩子則差2.5尺，所以繩子長(zhǎng)為4（x-2.5）尺，所以方程為2（x+2.5）=4（x-2.5）。故選A?！緦?duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P152隨堂練習(xí)【教學(xué)建議】讓學(xué)生交流討論，指定學(xué)生代表上臺(tái)畫(huà)圖分析數(shù)量關(guān)系，列出方程，其他同學(xué)在紙上列出方程，教師巡堂，酌情指導(dǎo)。活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練?！菊n堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.你會(huì)畫(huà)圖分析行程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系嗎？2.用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是什么？3.對(duì)于在實(shí)際問(wèn)題中尋找等量關(guān)系列方程，你積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P155習(xí)題5.3第8，9題。2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練。板書(shū)設(shè)計(jì)第3課時(shí)行程問(wèn)題1.行程問(wèn)題：（1）畫(huà)圖分析數(shù)量關(guān)系；（2）列方程；（3）求解。2.用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟。教學(xué)反思本節(jié)課首先借助故事情境引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。接著通過(guò)不同形式的行程問(wèn)題，讓學(xué)生掌握畫(huà)圖分析數(shù)量關(guān)系的方法，培養(yǎng)從行程問(wèn)題中找等量關(guān)系列方程的能力。然后歸納總結(jié)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟與經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程模型對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題的作用，加強(qiáng)模型觀念與應(yīng)用意識(shí)。整體而言，本節(jié)課學(xué)習(xí)了新知識(shí)，又對(duì)舊知識(shí)做了總結(jié)與回顧，其中環(huán)形跑道的問(wèn)題學(xué)生不太容易理解，教師要注意安排好時(shí)間。解題大招行程問(wèn)題中的順逆航行問(wèn)題航行工具等量關(guān)系船順?biāo)俣?船在靜水中的速度+水流速度；逆水速度=船在靜水中的速度-水流速度；順?biāo)俣?逆水速度=2×水流速度飛機(jī)順風(fēng)速度=飛機(jī)在無(wú)風(fēng)時(shí)的速度+風(fēng)速；逆風(fēng)速度=飛機(jī)在無(wú)風(fēng)時(shí)的速度-風(fēng)速；順風(fēng)速度-逆風(fēng)速度=2×風(fēng)速例一架飛機(jī)飛行在兩城市之間，風(fēng)速為24km/h，順風(fēng)飛行需要2h50min，逆風(fēng)飛行需要3h。求兩個(gè)城市之間的飛行路程。解法一（直接設(shè)未知數(shù)）：設(shè)兩個(gè)城市之間的飛行路程為xkm，則順風(fēng)飛行的速度為km/h，逆風(fēng)飛行的速度為km/h。根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：。解這個(gè)方程，得x=2448。因此，兩個(gè)城市之間的飛行路程為2448km。解法二（間接設(shè)未知數(shù)）：設(shè)飛機(jī)在無(wú)風(fēng)時(shí)的速度為xkm/h，則順風(fēng)飛行的速度為（x+24）km/h，逆風(fēng)飛行的速度為（x-24）km/h。根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：。解這個(gè)方程，得x=840。3×（840-24）=2448。因此，兩個(gè)城市之間的飛行路程為2448km。培優(yōu)點(diǎn)行程問(wèn)題中的分類討論思想例A，B兩地相距70km，甲從A地出發(fā)，每小時(shí)行15km，乙從B地出發(fā)，每小時(shí)行20km。（1）若兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，則經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩人相遇？（2）若兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，則幾小時(shí)后兩人相距10km？分析：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)xh，甲、乙路程之和為70km即可求解；（2）注意分兩人相遇前與相遇后兩種情況討論，相遇前兩人路程之和為（70