微專題2對(duì)稱問題典例剖析素養(yǎng)初現(xiàn)拓展1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例1點(diǎn)A(2，－1)關(guān)于點(diǎn)M(3，4)對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，9)．【解析】設(shè)B(x，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝3，,\f(－1＋y,2)＝4，))解得x＝4，y＝9，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，9).點(diǎn)A(a，b)關(guān)于點(diǎn)M(m，n)對(duì)稱的點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2m－a，2n－b).拓展2點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱例2點(diǎn)(1，2)關(guān)于直線x＋y－2＝0對(duì)稱的點(diǎn)是(B)A.(1，0) B.(0，1)C.(0，－1) D.(2，1)【解析】設(shè)點(diǎn)A(1，2)關(guān)于直線x＋y－2＝0對(duì)稱的點(diǎn)是B(a，b)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－2,a－1)＝1，,\f(a＋1,2)＋\f(b＋2,2)－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))故點(diǎn)(1，2)關(guān)于直線x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)是(0，1).如圖，求點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱的點(diǎn)Q(a，b)的步驟：設(shè)PQ的中點(diǎn)為D，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋a,2)，\f(y1＋b,2)))，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入直線l：Ax＋By＋C＝0中，結(jié)合kPQ·kl＝－1可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．變式2已知某地A，B兩村在同一平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(1，2)，(4，0)，一條河所在直線l的方程為x＋2y－10＝0.現(xiàn)要在河邊上建一座供水站P分別向A，B兩村供水，若要使所用管道最省，則供水站P應(yīng)建在什么地方？【解答】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P.若點(diǎn)P′(異于點(diǎn)P)在直線l上，則|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|，因此供水站建在P處，才能使得所用管道最?。O(shè)A′(a，b)，則AA′的中點(diǎn)在l上，且AA′⊥l，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)＋2×\f(b＋2,2)－10＝0，,\f(b－2,a－1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，)))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝6，)))即A′(3，6)，所以直線A′B的方程為6x＋y－24＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(6x＋y－24＝0，,x＋2y－10＝0，)))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝\f(38,11)，,y＝\f(36,11)，)))所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(38,11)，\f(36,11))).故供水站P應(yīng)建在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(38,11)，\f(36,11)))處．(變式2答)拓展3直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例3求直線2x＋11y＋16＝0關(guān)于點(diǎn)P(0，1)對(duì)稱的直線的方程．【解答】方法一：在直線2x＋11y＋16＝0上取一點(diǎn)A(－8，0)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P(0，1)對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，2).設(shè)所求直線的方程為2x＋11y＋C＝0.因?yàn)橹本€過點(diǎn)B(8，2)，所以2×8＋11×2＋C＝0，解得C＝－38，從而所求直線的方程為2x＋11y－38＝0.方法二：設(shè)所求直線的方程為2x＋11y＋C＝0(C≠16)，由點(diǎn)到直線的距離公式可得eq\f(|0＋11＋16|,\r(22＋112))＝eq\f(|0＋11＋C|,\r(22＋112))，解得C＝16(舍去)或C＝－38，所以所求直線的方程為2x＋11y－38＝0.方法三：設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則其關(guān)于點(diǎn)P(0，1)對(duì)稱的點(diǎn)為(－x，2－y).因?yàn)辄c(diǎn)(－x，2－y)在直線2x＋11y＋16＝0上，所以2(－x)＋11(2－y)＋16＝0，化簡(jiǎn)得2x＋11y－38＝0，即所求直線的方程為2x＋11y－38＝0.求解直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問題的方法：如圖，求直線l1關(guān)于點(diǎn)P(a，b)對(duì)稱的直線l2.方法一：在直線l1上找一點(diǎn)A，求點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的點(diǎn)B.由l1∥l2，知k1＝k2，再由點(diǎn)斜式求直線l2的方程．方法二：由l1∥l2設(shè)出直線l2的方程，由點(diǎn)P到兩直線的距離相等求相關(guān)參數(shù)．拓展4直線關(guān)于直線對(duì)稱例4(1)求直線l1：2x＋y－4＝0關(guān)于直線l：x－y＋2＝0對(duì)稱的直線l2的方程．【解答】方法一：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得直線l1與直線l的交點(diǎn)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(8,3))).在直線l1上取一點(diǎn)B(2，0)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為C(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,2)－\f(y,2)＋2＝0，,\f(y,x－2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝4，))即C(－2，4).又直線l2過Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(8,3)))和C(－2，4)兩點(diǎn)，故由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為eq\f(y－4,\f(8,3)－4)＝eq\f(x＋2,\f(2,3)＋2)，即x＋2y－6＝0.方法二：設(shè)M(x0，y0)是直線l1上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為N(x，y)，則線段MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))，直線MN的斜率為eq\f(y－y0,x－x0).由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,\f(y－y0,x－x0)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y(tǒng)－2，,y0＝x＋2.))因?yàn)镸(x0，y0)在直線l1上，所以2x0＋y0－4＝0，即2(y－2)＋(x＋2)－4＝0，所以直線l2的方程為x＋2y－6＝0.(2)已知直線l1：2x－y＋3＝0關(guān)于直線l：2x－y＋1＝0對(duì)稱的直線為l2，求直線l2的方程．【解答】由題意可設(shè)直線l2的方程為2x－y＋c＝0(c≠3)，則有eq\f(|1－3|,\r(22＋(－1)2))＝eq\f(|c－1|,\r(22＋(－1)2))，即2＝|c－1|，解得c＝3(舍去)或c＝－1，所以直線l2的方程為2x－y－1＝0.求解直線關(guān)于直線對(duì)稱的問題的方法：(1)如圖，已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)和l：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交，求l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2.方法一：①求出l1與l的交點(diǎn)P；②在l1上任意取一點(diǎn)M(不同于點(diǎn)P)，求點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)N；③根據(jù)P，N兩點(diǎn)求出直線l2.方法二：可設(shè)直線l2：A1x＋B1y＋C＝0，再根據(jù)直線l到直線l1和直線l2的距離相等求出直線l2.(2)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)和直線l：A1x＋B1y＋C2＝0，求l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2.方法同(1)中方法二．隨堂內(nèi)化及時(shí)評(píng)價(jià)1.點(diǎn)A(2，1)關(guān)于點(diǎn)M(－1，0)對(duì)稱的點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(－4，－1)．【解析】設(shè)A1(x，y)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,2)＝－1，,\f(y＋1,2)＝0，))解得x＝－4，y＝－1，所以A1(－4，－1).2.點(diǎn)A(0，－3)關(guān)于直線l：x＋y－3＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(B)A.(5，2) B.(6，3)C.(3，6) D.(6，－3)【解析】設(shè)點(diǎn)A(0，－3)關(guān)于直線l：x＋y－3＝0對(duì)稱的點(diǎn)為B(x，y).由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(0＋x,2)＋\f(－3＋y,2)－3＝0，,\f(－3－y,0－x)·(－1)＝－1，)))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，)))所以點(diǎn)A(0，－3)關(guān)于直線l：x＋y－3＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，3).3.直線3x－2y＝0關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))對(duì)稱的直線的方程為3x－2y－2＝0．【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)為(x，y)，則其關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))對(duì)稱的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y)).因?yàn)辄c(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))在直線3x－2y＝0上，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x))－2(－y)＝0，化簡(jiǎn)得3x－2y－2＝0，所以所求直線的方程為3x－2y－2＝0.4.已知點(diǎn)P在直線x－y－1＝0上，點(diǎn)A(1，－2)，B(2，6)，則|PA|－|PB|的最小值為－3eq\r(5)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，－4)．【解析】設(shè)點(diǎn)A(1，－2)關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱的點(diǎn)為E(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)－\f(b－2,2)－1＝0，,\f(b＋2,a－1)×1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0，))則E(－1，0)，于是|PA|－|PB|＝|PE|－|PB|，結(jié)合圖形，當(dāng)B，E，P三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在點(diǎn)Q的位置時(shí)，|PE|－|PB|取得最小值－|BE|＝－3eq\r(5).而kBQ＝eq\f(6－0,2－(－1))＝2，則直線BQ的方程為y＝2x＋2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋2，,x－y－1＝0，))得點(diǎn)Q(－3，－4)，因此|PA|－|PB|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，－4).(第4題答)5.若一條光線沿直線2x－y＋2＝0入射到直線x＋y－5＝0后反射，則反射光線所在直線的方程為x－2y＋7＝0．【解析】取直線2x－y＋2＝0上一點(diǎn)A(0，2).設(shè)點(diǎn)A(0，2)關(guān)于直線x＋y－5＝0對(duì)稱的點(diǎn)為B(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b＋2,2)－5＝0，,\f(b－2,a)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5，))所以B(3，5).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))所以直線2x－y＋2＝0與直線x＋y－5＝0的交點(diǎn)為P(1，4).因?yàn)榉瓷涔饩€為經(jīng)過點(diǎn)B(3，5)和P(1，4)的直線，所以反射光線所在直線的方程為y－4＝eq\f(4－5,1－3)(x－1)，即x－2y＋7＝0.eq\o(\s\up7(),\s\do5(請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套新練案》中的練習(xí)！))配套新練案一、選擇題1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(0，4)關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)為(D)A.(－1，2) B.(2，－1)C.(1，3) D.(3，1)【解析】設(shè)點(diǎn)(0，4)關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)是(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(b＋4,2)＋1＝0，,\f(b－4,a)＝－1，)))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.)))2.已知直線l′與直線x＋3y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)M(2，1)對(duì)稱，則直線l′的方程為(A)A.x＋3y－11＝0 B.x＋3y＋11＝0C.3x＋y－11＝0 D.3x＋y＋11＝0【解析】由題意可設(shè)直線l′的方程為x＋3y＋m＝0(m≠1)，則eq\f(|2＋3＋m|,\r(12＋32))＝eq\f(|2＋3＋1|,\r(12＋32))，解得m＝－11或m＝1(舍去)，故直線l′的方程為x＋3y－11＝0.3.如圖，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過的路程是(A)(第3題)A.2eq\r(10) B.6C.3eq\r(3) D.2eq\r(5)【解析】由題意知AB所在直線的方程為x＋y－4＝0.如圖，點(diǎn)P關(guān)于直線AB對(duì)稱的點(diǎn)為D(4，2)，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為C(－2，0)，則光線所經(jīng)過的路程為|CD|＝2eq\r(10).(第3題答)4.(多選)若一光線過點(diǎn)(2，4)，經(jīng)傾斜角為135°的直線l：y＝kx＋1反射后經(jīng)過點(diǎn)(13，1)，則反射光線還經(jīng)過點(diǎn)(AD)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,8))) B.(14，1)C.(13，2) D.(5，0)【解析】因?yàn)橹本€l的傾斜角為135°，所以直線l的斜率k＝－1，從而l：y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.設(shè)點(diǎn)(2，4)關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－2)＝1，,\f(a＋2,2)＋\f(b＋4,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－1，))所以反射光線所在直線的方程為eq\f(y＋1,1＋1)＝eq\f(x＋3,13＋3)，即x－8y－5＝0，從而反射光線還經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,8)))，(5，0).二、填空題5.直線2x＋5y－3＝0關(guān)于點(diǎn)M(－1，2)對(duì)稱的直線的方程是2x＋5y－13＝0．【解析】設(shè)所求直線為l′：2x＋5y＋C0＝0，則有eq\f(|－2＋5×2＋C0|,\r(22＋52))＝eq\f(|－2＋5×2－3|,\r(22＋52))，解得C0＝－3(舍去)或C0＝－13.所以直線l′的方程為2x＋5y－13＝0.6.已知直線l1：x＋y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，則直線l2關(guān)于直線l1對(duì)稱的直線l的方程是x－2y＋4＝0．【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,2x－y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝\f(5,3)，))所以直線l過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(5,3))).顯然Q(－1，1)是直線l2上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于直線l1對(duì)稱的點(diǎn)為Q′(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0－1,2)＋\f(y0＋1,2)－1＝0，,\f(y0－1,x0＋1)·(－1)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝2，))所以Q′(0，2).因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P，Q′，所以直線l的方程為x－2y＋4＝0.三、解答題7.已知點(diǎn)P(－1，2)，M(1，3)，直線l：y＝2x＋1.(1)求點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)R的坐標(biāo)；【解答】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)R的坐標(biāo)為(x，y)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(2＋y,2)＝2×\f(－1＋x,2)＋1，,\f(y－2,x＋1)×2＝－1，)))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,5)，,y＝\f(4,5)，))所以Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(4,5))).(2)求直線PM關(guān)于直線l對(duì)稱的直線的方程．【解答】因?yàn)辄c(diǎn)M(1，3)在直線l上，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(4,5)))，所以直線MR即為所求的直線，從而所求直線的方程為11x＋2y－17＝0