微專題3隱圓問(wèn)題典例剖析素養(yǎng)初現(xiàn)拓展1阿波羅尼斯圓例1已知兩個(gè)定點(diǎn)A(－2，0)，B(4，0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．【解答】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq\f(\r((x＋2)2＋y2),\r((x－4)2＋y2))＝eq\f(1,2)，整理得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以(－4，0)為圓心、4為半徑的圓．阿波羅尼斯圓的定義：在平面上給定相異的兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝λ(λ≠1)，則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓．(1)阿波羅尼斯圓的圓心C在直線AB上，半徑為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ2－1)))|AB|；(2)阿波羅尼斯圓的圓心C一定不在點(diǎn)A，B之間，且|CA|·|CB|等于半徑的平方．拓展2其他形式的隱圓例2(1)已知圓C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，點(diǎn)A(0，2)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿足|MA|2＋|MO|2＝10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，3]．【解析】設(shè)點(diǎn)M(x，y)．由點(diǎn)A(0，2)，O(0，0)及|MA|2＋|MO|2＝10，得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即點(diǎn)M在圓E：x2＋(y－1)2＝4上．圓C上存在點(diǎn)M滿足|MA|2＋|MO|2＝10等價(jià)于圓E與圓C有公共點(diǎn)，所以|2－1|≤|CE|≤2＋1，即|2－1|≤eq\r(a2＋(a－3)2)≤2＋1，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，3]．(2)若直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky－2＝0交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線x－y－4＝0的距離的最大值為3eq\r(2)．【解析】因?yàn)橹本€l1，l2分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，2)，B(2，0)，且l1⊥l2，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上，圓心為C(1，1)，半徑r＝eq\r(2)．因?yàn)閳A心C到直線l：x－y－4＝0的距離d＝eq\f(|1－1－4|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為d＋r＝3eq\r(2)．(3)若圓x2＋y2＝6上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，點(diǎn)M在圓x2＋y2＝16上運(yùn)動(dòng)，則|eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))|的最小值為4．【解析】圓x2＋y2＝6的圓心為原點(diǎn)，半徑r＝eq\r(6)．因?yàn)閨AB|＝2eq\r(2)，所以圓x2＋y2＝6的圓心到直線AB的距離d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),2)))\s\up12(2))＝2．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，則|ON|＝d＝2，所以點(diǎn)N在以原點(diǎn)為圓心、r1＝2為半徑的圓上，從而點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2＝4．因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，從而|eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))|min＝2|eq\o(MN,\s\up6(→))|min．因?yàn)辄c(diǎn)M在圓x2＋y2＝16上運(yùn)動(dòng)，圓x2＋y2＝16的半徑r2＝4，所以|eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))|min＝2|eq\o(MN,\s\up6(→))|min＝2×(4－2)＝4．(4)(多選)已知點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，若圓(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝3，則實(shí)數(shù)a的值可能為(BD)A．－2 B．－1C．2 D．0【解析】設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則eq\o(MA,\s\up6(→))＝(－x－1，－y)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(－x＋1，－y)，所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(－x－1)(－x＋1)＋y2＝3，從而點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2＝4，它表示一個(gè)圓，且圓心坐標(biāo)為(0，0)，半徑為2．由題意可知圓(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1與圓x2＋y2＝4有公共點(diǎn)，又圓(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1的圓心坐標(biāo)為(2a－1，2a＋2)，半徑為1，所以1≤eq\r((2a－1)2＋(2a＋2)2)≤3，解得－1≤a≤eq\f(1,2)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))．(5)已知a，b均為單位向量，且?jiàn)A角為eq\f(π,3)，若向量c滿足(c－2a)·(c－b)＝0，則|c|的最大值為(D)A．eq\f(7＋\r(3),2) B．eq\f(\r(7)－\r(3),2)C．eq\f(\r(11)＋\r(7),2) D．eq\f(\r(7)＋\r(3),2)【解析】將向量a，b，c的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)O，設(shè)向量2a，b，c的終點(diǎn)分別為A，B，C，則c－2a＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，c－b＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))．由(c－2a)·(c－b)＝0得eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上．因?yàn)閍，b均為單位向量，且?jiàn)A角為eq\f(π,3)，所以不妨設(shè)a＝(1，0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，從而A(2，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，于是以AB為直徑的圓的圓心M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(\r(3),4)))，半徑為eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)．又|OM|＝eq\r(\f(25,16)＋\f(3,16))＝eq\f(\r(7),2)，所以|c|＝|OC|≤|OM|＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(7),2)＋eq\f(\r(3),2)，即|c|的最大值為eq\f(\r(7)＋\r(3),2)．圓的方程是常考內(nèi)容，但有些時(shí)候，條件中不會(huì)直接給出圓的相關(guān)信息，而是將信息隱藏在題目中，要通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而可以利用圓的知識(shí)來(lái)求解，我們稱這類(lèi)問(wèn)題為“隱圓”問(wèn)題．如何發(fā)現(xiàn)隱圓(或圓的方程)是關(guān)鍵，常見(jiàn)的模型如下：模型一：利用圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡)確定隱圓；模型二：利用動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)A，B的張角是90°(即直線PA，PB的斜率存在時(shí)，kPA·kPB＝－1或直線PA，PB中一條直線的傾斜角為0°，另一條直線的傾斜角為90°，也即eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0)確定隱圓；模型三：利用兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝λ確定隱圓；模型四：利用兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2＋|PB|2是定值確定隱圓．隨堂內(nèi)化及時(shí)評(píng)價(jià)1．已知定點(diǎn)A(－2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|＝2|BC|，那么動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為一個(gè)阿波羅尼斯圓，記此圓為圓P．若點(diǎn)D在圓P上(點(diǎn)D在第一象限)，AD交圓P于點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交圓P于點(diǎn)F，連接DF，則當(dāng)∠DFE＝30°時(shí)，直線AD的斜率為(A)A．eq\f(\r(39),13) B．eq\f(\r(26),13)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(13),4)【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)C(x，y)，由題意知eq\r((x＋2)2＋y2)＝2eq\r((x－2)2＋y2)，化簡(jiǎn)可得x2＋y2－eq\f(20,3)x＋4＝0，即圓P的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(10,3)))2＋y2＝eq\f(64,9)．如圖，因?yàn)椤螪FE＝30°，所以由平面幾何知識(shí)可知∠DPE＝60°．又|PE|＝|PD|，所以△DPE為等邊三角形．過(guò)圓心P作PG⊥DE于點(diǎn)G，則|PG|＝|PE|sin60°＝eq\f(8,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3)，|PA|＝|PO|＋|OA|＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3)，sin∠PAG＝eq\f(|PG|,|PA|)＝eq\f(\f(4\r(3),3),\f(16,3))＝eq\f(\r(3),4)，所以cos∠PAG＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)))2)＝eq\f(\r(13),4)，故kAD＝tan∠PAG＝eq\f(\f(\r(3),4),\f(\r(13),4))＝eq\f(\r(39),13)．(第1題答)2．已知點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)．若圓(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝8，則實(shí)數(shù)a的值不可能為(D)A．－2 B．－1C．0 D．3【解析】設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝8，整理得x2＋y2＝9．由題意知圓(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1與圓x2＋y2＝9有公共點(diǎn)，所以2≤eq\r((a－1)2＋(a＋2)2)≤4，解得eq\f(－1－\r(23),2)≤a≤eq\f(－1＋\r(23),2)．3．已知圓O：x2＋y2＝1和圓O1：(x－2)2＋y2＝1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O，圓O1的切線PA，PB(A，B為切點(diǎn))，且|PA|2＋|PB|2＝18，則|PA|的最大值為eq\r(15)．【解析】設(shè)點(diǎn)P(m，n)，則|PO|2＝|PA|2＋1，即m2＋n2＝|PA|2＋1，|PO1|2＝|PB|2＋1，即(m－2)2＋n2＝|PB|2＋1．又|PA|2＋|PB|2＝18，所以(m2＋n2)＋[(m－2)2＋n2]＝20，化簡(jiǎn)得(m－1)2＋n2＝9，從而點(diǎn)P的軌跡是以M(1，0)為圓心，R＝3為半徑的圓．因?yàn)閨PA|＝eq\r(|PO|2－1)，且|PO|max＝|PM|＋|MO|＝3＋1＝4，所以|PA|的最大值為eq\r(16－1)＝eq\r(15)．4．已知向量a，b，c滿足|a|＝4，|b|＝2eq\r(2)，〈a，b〉＝eq\f(π,4)，(c－a)·(c－b)＝－1，則|c－a|的最大值為eq\r(2)＋1．【解析】設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)．因?yàn)閨a|＝4，|b|＝2eq\r(2)，〈a，b〉＝eq\f(π,4)，所以A(4，0)，B(2，2)．設(shè)C(x，y)，由(c－a)·(c－b)＝－1，可得(x－4，y)·(x－2，y－2)＝(x－4)(x－2)＋y(y－2)＝－1，即x2＋y2－6x－2y＋9＝0，整理得(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以點(diǎn)C在以(3，1)為圓心、1為半徑的圓上，從而|c－a|表示點(diǎn)A，C的距離，即圓上的點(diǎn)與A(4，0)的距離．因?yàn)閳A心到點(diǎn)A的距離為eq\r(2)，所以|c－a|的最大值為eq\r(2)＋1．(第4題答)請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套新練案》中的練習(xí)！配套新練案一、單項(xiàng)選擇題1．如果圓(x－a)2＋(y－1)2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)A．(－2eq\r(2)，0)∪(0，2eq\r(2)) B．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，1)【解析】因?yàn)閳A(x－a)2＋(y－1)2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，所以圓O：x2＋y2＝4與圓C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．易知|OC|＝eq\r(a2＋1)，由2－1＜|OC|＜2＋1，得1＜eq\r(a2＋1)＜3，所以0＜|a|＜2eq\r(2)，從而－2eq\r(2)＜a＜0或0＜a＜2eq\r(2)．2．已知點(diǎn)A(1－m，0)，B(1＋m，0)，若圓C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在點(diǎn)P，使得PA⊥PB，則實(shí)數(shù)m的最大值是(C)A．4 B．5C．6 D．7【解析】x2＋y2－8x－8y＋31＝0可化為(x－4)2＋(y－4)2＝1，所以圓C的圓心為C(4，4)，半徑r＝1．設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M(1，0)．而|AB|＝2|m|，所以以AB為直徑的圓的方程為(x－1)2＋y2＝m2．若圓C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在點(diǎn)P，使得PA⊥PB，則圓C與圓M有公共點(diǎn)．又|MC|＝eq\r((1－4)2＋(0－4)2)＝5，所以|m|－1≤5且|m|＋1≥5，解得4≤|m|≤6，即－6≤m≤－4或4≤m≤6，即實(shí)數(shù)m的最大值是6．3．設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最小值是(B)A．eq\f(\r(3)＋1,2) B．eq\f(\r(3)－1,2)C．eq\r(3) D．1【解析】如圖，以向量a，b的夾角的平分線所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，使得a，b的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))．設(shè)c的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)?a－c)·(b－c)＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－x，\f(1,2)－y))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－x，－\f(1,2)－y))＝0，化簡(jiǎn)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))2＋y2＝eq\f(1,4)，該方程表示以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))為圓心、eq\f(1,2)為半徑的圓，則|c|的最小值即為圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值．因?yàn)閳A心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))到原點(diǎn)的距離為eq\f(\r(3),2)，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)．(第3題答)4．已知點(diǎn)O(0，0)，A(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\f(|PA|,|PO|)＝2，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與圓(x－1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是(C)A．外離 B．外切C．相交 D．內(nèi)切【解析】設(shè)P(x，y)．由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，則點(diǎn)P的軌跡是圓心為(－1，0)，半徑R＝2的圓．圓(x－1)2＋y2＝1表示圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑r＝1的圓．因?yàn)閮蓤A的圓心距為2，滿足R－r＜2＜R＋r，所以兩圓相交．二、填空題5．已知圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1，點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)．設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令d＝|PA|2＋|PB|2，則d的最小值為14－4eq\r(5)．【解析】設(shè)P(x0，y0)，則|PA|2＝(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)，|PB|2＝(x0－1)2＋yeq\o\al(2,0)，|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)＋(x0－1)2＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1＋yeq\o\al(2,0)＋xeq\o\al(2,0)－2x0＋1＋yeq\o\al(2,0)＝2xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＋2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2，當(dāng)|OP|取得最小值時(shí)，|PA|2＋|PB|2取得最小值．圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心為C(－1，2)，半徑r＝1，易知|OP|min＝|OC|－r＝eq\r(1＋4)－1＝eq\r(5)－1，此時(shí)xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝(eq\r(5)－1)2，所以dmin＝2×(eq\r(5)－1)2＋2＝14－4eq\r(5)．6．已知點(diǎn)A(2，0)，圓C：(x－a－1)2＋(y－eq\r(3)a)2＝1上存在一點(diǎn)P，使得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))．【解析】設(shè)P(x，y)，而A(2，0)，由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝3，得(2－x，－y)·(－x，－y)＝3，化簡(jiǎn)得(x－1)2＋y2＝4．因?yàn)閳AC：(x－a－1)2＋(y－eq\r(3)a)2＝1上存在一點(diǎn)P，使得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝3，所以圓(x－1)2＋y2＝4與圓(x－a－1)2＋(y－eq\r(3)a)2＝1有公共點(diǎn)，從而2－1≤eq\r((a＋1－1)2＋(\r(3)a)2)≤2＋1，解得－eq\f(3,2)≤a≤－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)．7．已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x＋2)，若直線l與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)直線l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T(mén)，且|PA|＝eq\r(2)|PT|，則點(diǎn)P的軌跡方程是(x－6)2＋y2＝36，實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(7),7)，\f(3\r(7),7)))．【解析】由題意知直線l：y＝k(x＋2)與x軸交于點(diǎn)A(－2，0)．設(shè)P(x，y)，由|PA|＝eq\r(2)|PT|，可得(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，即x2＋y2－12x＝0，所以滿足|PA|＝eq\r(2)|PT|的點(diǎn)P的軌跡是圓(x－6)2＋y2＝36．原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線y＝k(x＋2)與圓(x－6)2＋y2＝36有公共點(diǎn)，所以eq\f(|6k－0＋2k|,\r(k2＋1))≤6，解得－eq\f(3\r(7),7)≤k≤eq\f(3\r(7),7)，即k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(7),7)，\f(3\r(7),7)))．8．(2025·徐州期末)已知點(diǎn)A(0，2)，若圓(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1上存在一點(diǎn)P，使得|PO|2＋|PA|2＝34(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，5]．【解析】設(shè)P(x，y)，則|PO|2＝x2＋y2，|PA|2＝x2＋(y－2)2，所以x2＋y2＋x2＋(y－2)2＝34，展開(kāi)并整理得x2＋(y－1)2＝16，故點(diǎn)P的軌跡是以Q(0，1)為圓心，r＝4為半徑的圓．圓(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1的圓心為M(a，a－4)，半徑R＝1．由題意知圓M與圓Q有公共點(diǎn)．又兩圓的圓心距d＝|MQ|＝eq\r((a－0)2＋[(a－4)－1]2)＝eq\r(2a2－10a＋25)，所以|r－R|≤d≤r＋R，即3≤eq\r(a2＋(a－5)2)≤5．對(duì)于3≤eq\r(a2＋(a－5)2)，兩邊平方得9≤2a2－10a＋25，即a2－5a＋8≥0，Δ＝(－5)2－4×8＝－7＜0，所以a2－5a＋8≥0恒成立．對(duì)于eq\r(2a2－10a＋25)≤5，兩邊平方得2a2－10a≤0，解得0≤a≤5．綜上，0≤a≤5．三、解答題9．如圖，A，B是兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站，B在A的正東方向16km處，AB的南面為居民生活區(qū)．為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個(gè)垃圾發(fā)電廠P．垃圾發(fā)電廠P的選址擬滿足以下兩個(gè)要求(A，B，P可看成三個(gè)點(diǎn))：①垃圾發(fā)電廠到兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；②垃圾發(fā)電廠應(yīng)盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)(這里參考的指標(biāo)是點(diǎn)P到直線AB