第三章圓錐曲線的方程3.3拋物線第1課時(shí)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程之間的關(guān)系．2．能根據(jù)已知條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能運(yùn)用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決有關(guān)問(wèn)題．新知初探·基礎(chǔ)落實(shí)一、概念表述平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離________的點(diǎn)的軌跡叫做__________．點(diǎn)F叫做________________，直線l叫做________________．注意：焦點(diǎn)F不在直線l上，若點(diǎn)F在直線l上，點(diǎn)M的軌跡就變?yōu)檫^(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的一條直線．相等拋物線拋物線的焦點(diǎn)拋物線的準(zhǔn)線二、概念辨析：判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離和到直線x＝－2的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線． (

)(2)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離和到直線x＋y－1＝0的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線． (

)(3)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離比到直線x＝－2的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線． (

)(4)拋物線y2＝2px(p＞0)中p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離． (

)√×√√典例精講·能力初成探究1拋物線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程

(教材P132例1補(bǔ)充)根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點(diǎn)；1【解答】

(教材P132例1補(bǔ)充)根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，且|AF|＝5．1【解答】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需注意的三個(gè)問(wèn)題：(1)掌握拋物線的開(kāi)口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．(2)當(dāng)拋物線的開(kāi)口方向沒(méi)有確定時(shí)，可設(shè)方程為y2＝mx或x2＝ny，這樣可以減少討論的情形．(3)注意p的幾何意義．探究2拋物線定義的應(yīng)用視角1到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化

(1)已知拋物線y2＝4x，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，拋物線上兩點(diǎn)A，B滿足|AF|＋|BF|＝8，那么線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于 (

)A．2 B．3C．4 D．6【解析】

拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，即x1＋x2＝6，所以線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，從而線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為3．B2－1

(2)已知P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為_(kāi)_____．【解析】2－1拋物線定義的兩種應(yīng)用：(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題．(2)解決最值問(wèn)題．往往用拋物線的定義，化折線為直線來(lái)解決最值問(wèn)題．視角2拋物線的軌跡問(wèn)題一圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(0，3)，且和直線y＋3＝0相切，求圓心的軌跡方程，并畫出圖形．【解答】2－2求軌跡方程的常用方法(1)直接法：設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，可根據(jù)幾何條件直接求x，y間的關(guān)系式；(2)定義法：若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數(shù)法求出軌跡方程；(3)相關(guān)點(diǎn)法(代入法)：有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)條件中去．【解答】探究3拋物線方程的實(shí)際應(yīng)用3【解答】求解拋物線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題的步驟(1)建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系．(2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)計(jì)算：通過(guò)計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(4)求解：求出需要求出的量．(5)還原：還原到實(shí)際問(wèn)題中，從而解決實(shí)際問(wèn)題．隨堂內(nèi)化·及時(shí)評(píng)價(jià)1．若拋物線C：x2＝2py(p＞0)上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為8，到x軸的距離為6，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (

)A．x2＝4y B．x2＝6yC．x2＝8y D．x2＝16y【解析】C2．已知M是拋物線C：y2＝4x上的一個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|MF|＝2，則|MO|＝______．【解析】3．已知雙曲線x2－y2＝1的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)重合，那么p的值為_(kāi)______，拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)__________．【解析】4．若動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F(4，0)的距離比它到直線x＋3＝0的距離大1，則點(diǎn)M的軌跡方程是__________．【解析】y2＝16x5．已知直線l：3x－4y－12＝0，若P為拋物線x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___________．【解析】配套新練案一、單項(xiàng)選擇題1．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (

)A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝8x【解析】C2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (

)A．y2＝x或x2＝－8y B．y2＝x或y2＝8xC．y2＝－8x D．x2＝－8y【解析】A3．拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為 (

)【解析】A【解析】D二、多項(xiàng)選擇題5．已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線C上．若|AF|＝4，則下列結(jié)論正確的是 (

)A．拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)B．拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－1C．線段AF的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為3【解析】【答案】BCD

【解析】

對(duì)于A，由題意知F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則拋物線D的焦點(diǎn)為F2，p＝4，故A正確．【答案】AB

三、填空題7．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M是拋物線C上一點(diǎn)，MH⊥l于點(diǎn)H．若|MH|＝4，∠HFM＝60°，則拋物線C的方程為_(kāi)________．【解析】

因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以|MF|＝|MH|＝4．又∠HFM＝60°，所以△MHF為正三角形，從而|HF|＝4．記準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)Q，則∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|·sin∠QHF＝4sin30°＝2，從而拋物線C的方程為y2＝4x．y2＝4x8．已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－2)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___________，距離的最小值為_(kāi)____．【解析】

由題意可得點(diǎn)Q在拋物線的內(nèi)部，如圖，過(guò)點(diǎn)Q向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，過(guò)點(diǎn)P作PP′垂直于準(zhǔn)線，垂足為P′，連接FP．拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，|QN|＝3，則|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PP′|≥|QN|，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，N三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為－2，將y＝－2代入拋物線的方程，可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x＝1，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－2)．(1，－2)3四、解答題9．根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)是F(0，－2)；【解答】9．根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5．【解答】

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，所以可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝

－2px(p＞0)．由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知p＝5，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝－10x．10．某農(nóng)場(chǎng)為節(jié)水推行噴灌技術(shù)，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個(gè)方向上呈拋物線狀(如圖所示)．現(xiàn)要求水流最高點(diǎn)B離地面5m，點(diǎn)B到管柱OA所在直線的距離為4m，且水流落在地面上以O(shè)為圓心、9m為半徑的圓上，求管柱OA的高度．【解答】11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P為拋物線C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)__________．【解析】12．已知圓心在x軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－4，