第1頁(yè)/共1頁(yè)2022北京八一學(xué)校高一6月月考數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.若且，則角所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.點(diǎn)A在直線l上，直線l在平面內(nèi)，用符號(hào)表示，正確的是（）A.， B.， C.， D.，3.`已知向量，，，則實(shí)數(shù)k的值為（）A. B. C.6 D.24.下列選項(xiàng)中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的是（）A. B. C. D.5.函數(shù)是（）A.周期為的奇函數(shù) B.周期為的奇函數(shù)C.周期為的偶函數(shù) D.周期為的偶函數(shù)6.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度7.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是“是直角三角形”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞增 D.在上單調(diào)遞減9.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)之為“陽(yáng)馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為“鱉臑”.如圖，在塹堵中，，且.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.四棱錐為“陽(yáng)馬”B.四面體為“鱉臑”C.四棱錐體積的最大值為D.過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)F，則面AEF10.在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共60分）二、填空題，共5小題，每小題4分，共20分.11.如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．12.已知單位向量夾角為60°，______________，的最小值為_(kāi)________.13.已知某圓錐的母線長(zhǎng)為3，其側(cè)面展開(kāi)圖的面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．14.已知的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則能使成立的一組A，B的值是________．15.已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為4，S是四邊形ABCD及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為_(kāi)_____.三、解答題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．17.已知函數(shù)的最大值為1.（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.18.已知三棱錐中，側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)均為6，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且.（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；（2）設(shè)直線EH與FG相交于一點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P一定在直線BD上；（3）求三棱錐的體積.19.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱(chēng)向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且，的值；（3）已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問(wèn)在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的正負(fù)，確定角所在的象限.【詳解】，則角在第三，四象限，，則角在第二，四象限，所以滿足且，角在第四象限.故選：D2.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)線關(guān)系和線面關(guān)系判定即可.【詳解】點(diǎn)A在直線l上，則，l在平面內(nèi)，則故選：D3.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩向量垂直向量積為0，得到關(guān)于的方程，進(jìn)行求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，解?故選：C.4.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)由中點(diǎn)構(gòu)成的中位線和幾何體的特征先判斷是否平行，再判斷是否在同一平面內(nèi)，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，如圖所示，易證，所以P，Q，R，S四個(gè)點(diǎn)共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，過(guò)P，Q，R，S可作一正六邊形，如圖示，所以P，Q，R，S四個(gè)點(diǎn)共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，分別連接，如圖示，易證，所以P，Q，R，S四個(gè)點(diǎn)共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，連接，如圖示因?yàn)槠矫?，平面，但平面，所以異面，所以P，Q，R，S四個(gè)點(diǎn)不共面，故D正確.故選：D5.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷的最小正周期、奇偶性，即可得答案.【詳解】由正切函數(shù)性質(zhì)知：的最小正周期為，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且，即為奇函數(shù).所以是周期為的奇函數(shù).故選：B6.【答案】A【解析】【分析】將所給函數(shù)化為，根據(jù)三角函數(shù)相位變換原則可得結(jié)果.【詳解】只需將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到的圖象.故選：A7.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合余弦定理，角化邊，即可求解【詳解】由，得，即，則是直角三角形；反之，若是直角三角形，則與不一定相等.故“”是“是直角三角形”的充分不必要條件.8.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：B.9.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“陽(yáng)馬”和“鱉膈”的定義，可判斷A，B的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意可證平面，進(jìn)而判斷D的正誤.【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“塹堵”，∴在塹堵中，，側(cè)棱平面，A選項(xiàng)，∴，又，且，則平面，∴四棱錐為“陽(yáng)馬”，故A正確；B選項(xiàng)，由，即，又且，∴平面，∴，則為直角三角形，又由平面，得為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形，∴四面體為“鱉膈”，故B正確；C選項(xiàng)，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，最大值為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以平面，故D正確；故選：C10.【答案】D【解析】【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D第二部分（非選擇題共60分）二、填空題，共5小題，每小題4分，共20分.11.【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則得到直角三角形的直角邊長(zhǎng)，用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知，，，，所以，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則是解題關(guān)鍵.12.【答案】①.②.【解析】【分析】利用定義求向量數(shù)量積，再根據(jù)模的平方求?！驹斀狻?，，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積．求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有：①或.②.③若則.13.【答案】##【解析】【分析】先由側(cè)面展開(kāi)圖求出底面圓半徑，進(jìn)而求得高，再由體積公式求解即可.【詳解】設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為l，高為h，底面圓的半徑為r．圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為，解得，，該圓錐的體積為．故答案為：.14.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換公式得到等式，進(jìn)而寫(xiě)出一組值即可.【詳解】由正弦定理得：，，，，，（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.15.【答案】【解析】【分析】由題意，相當(dāng)于求出以為球心，4為半徑的球與底面的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為正方形的中心，如圖，且，故.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓面，而正方形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡在正方形內(nèi)部，故其面積為.故答案為：三、解答題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.【小問(wèn)2詳解】解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.17.【答案】（1）最小正周期，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）.【解析】【分析】（1）用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解；（2）由，得，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)得值域．【詳解】（1），∴.令，，得，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）由，∴，∵，∴，∴，∴的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查兩角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)．此類(lèi)問(wèn)題的解題方法是：利用二倍角公式降冪，利用誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦（余弦）公式展開(kāi)與合并，最終把函數(shù)化為形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解．18.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)中位線及平行線分線段成比例的逆定理可得與平行，即可知，得證；（2）根據(jù)兩平面的公共點(diǎn)必在兩平面交線上求證即可；（3）求出棱錐的高，再由棱錐體積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】連接，，如圖，，，又分別為AD，CD的中點(diǎn)，，，故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面【小問(wèn)2詳解】，平面，平面，平面，平面，平面平面，，即點(diǎn)P一定在直線BD上.【小問(wèn)3詳解】取的中心，連接，，如上圖，則平面，即是三棱錐的高，在正中，，所以，所以.19.【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn).【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)得，根據(jù)題意可可得特征向量；（2）根據(jù)題意可得相伴函數(shù)，再根據(jù)條件可得，由最終得到