第31頁(yè)（共31頁(yè)）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版期中必刷?？碱}之直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一．選擇題（共6小題）1．（2024秋?深圳期末）設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過C上一點(diǎn)M作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若|MF|＝3，則∠FMN＝（）A．30° B．60° C．90° D．120°2．（2024秋?南寧期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．55 B．355 C．333．（2025?四川校級(jí)模擬）已知直線l交拋物線C：x2＝﹣18y于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為（3，﹣2），則直線l的斜率為（）A．﹣3 B．-16 C．19 4．（2025?彭水縣校級(jí)開學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為33，點(diǎn)P在橢圓C上，直線PF1A．3 B．2 C．32 D．5．（2024秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過點(diǎn)F1．若點(diǎn)F2關(guān)于lA．13 B．23 C．12 6．（2025秋?江蘇月考）橢圓Γ：x24+y23=1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為A．（6，9） B．（6，9] C．（6，8] D．（6，8）二．多選題（共2小題）（多選）7．（2025秋?永嘉縣校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線Γ的方程為：x2y＝x+y﹣y2，試判斷下列說法中正確的是（）A．曲線Γ與直線：y=2B．存在垂直于x軸的直線與曲線Γ沒有交點(diǎn) C．曲線Γ與直線：x+y+3＝0有兩個(gè)交點(diǎn) D．曲線Γ與圓：x2+y2＝x+y有三個(gè)交點(diǎn)（多選）8．（2025秋?重慶月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率e=1A．C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為43B．0≤∠FC．當(dāng)∠PF1F2=πD．若|PF1|＝2|QF1|，則sin三．填空題（共4小題）9．（2025?三水區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在直線l：y＝x﹣4上方的雙曲線y=2x(x＞0)上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線l于點(diǎn)Q，連接OP，OQ，則△10．（2025?安徽開學(xué)）已知拋物線y＝ax2過點(diǎn)A（4，4），其焦點(diǎn)為F，則直線AF的方程為．11．（2025?石峰區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，第一象限與第四象限內(nèi)的點(diǎn)M，N在C上，且MF⊥NF，則△MFN的面積為25時(shí)，|MF|+|NF|＝．12．（2024秋?固始縣期末）已知直線l與雙曲線x24-y23=1交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為M(3，四．解答題（共3小題）13．（2024秋?簡(jiǎn)陽(yáng)市校級(jí)期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A（3，0），離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若C的上頂點(diǎn)為B，直線BM，BN的斜率分別為k1，k2，求證：1k14．（2025?蘇州開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線m：x＝﹣1的距離相等，記P的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）直線l過點(diǎn)F與曲線E交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q滿足MQ→=9QF→，當(dāng)直線15．（2024秋?赫章縣期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0（1）求雙曲線C的方程；（2）直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），求直線l的方程．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷?？碱}之直線與圓錐曲線的位置關(guān)系參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號(hào)123456答案BBDACD二．多選題（共2小題）題號(hào)78答案BDBCD一．選擇題（共6小題）1．（2024秋?深圳期末）設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過C上一點(diǎn)M作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若|MF|＝3，則∠FMN＝（）A．30° B．60° C．90° D．120°【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑；拋物線的定義．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用拋物線的定義求出M的坐標(biāo)，結(jié)合直角三角形可求答案．【解答】解：設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過C上一點(diǎn)M作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，設(shè)M（x0，y0），由拋物線的定義可得x0所以x0=9不妨設(shè)y0則sin∠所以∠FMN＝60°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了拋物線的定義，屬基礎(chǔ)題．2．（2024秋?南寧期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．55 B．355 C．33【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】記|F2A→|=2m(m＞0)，分別用m表示出|F1A→|，|F1B→|，|【解答】解：因?yàn)镕2A→=-23F2B又F1A→⊥F記|F2A由雙曲線定義和對(duì)稱性可得|F則有（2a+2m）2+（3m）2＝（5m）2，即a2+2ma﹣3m2＝0，解得a＝m或a＝﹣3m（舍去）．記∠F1AF2＝θ，則cosθ=在△AF1F2中，由余弦定理得4c整理得5c2＝9a2，得e=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．3．（2025?四川校級(jí)模擬）已知直線l交拋物線C：x2＝﹣18y于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為（3，﹣2），則直線l的斜率為（）A．﹣3 B．-16 C．19 【考點(diǎn)】拋物線的弦及弦長(zhǎng)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】設(shè)出直線l的斜率為k，點(diǎn)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程x2＝﹣18y，作差，可得y1-y2x1-x2【解答】解：易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，M（x1，y1），N（x2，y2），則x12=-18y1因?yàn)镸N的中點(diǎn)為（3，﹣2），則x1+x2＝2×3＝6，所以k=y1-y故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線斜率的求法，是中檔題．4．（2025?彭水縣校級(jí)開學(xué)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為33，點(diǎn)P在橢圓C上，直線PF1A．3 B．2 C．32 D．【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)三角形．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】不妨設(shè)a＝3，∠F1PF2＝θ，則c=3，由題意|P【解答】解：如圖，橢圓C：x2a2+y2b不妨設(shè)a＝3，則c=點(diǎn)P在橢圓C上，直線PF1與直線y=3x交于點(diǎn)Q，且QF1⊥所以∠QOF2＝60°，又O是F1F2的中點(diǎn)，所以|QO所以△QOF2是正三角形，所以|QF2|=c=3，可得∠F設(shè)∠F1PF2＝θ，|P所以csinθ+c所以1+cosθsinθ=又θ∈(0，π2)故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的焦點(diǎn)三角形，屬于中檔題．5．（2024秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過點(diǎn)F1．若點(diǎn)F2關(guān)于lA．13 B．23 C．12 【考點(diǎn)】橢圓與平面向量．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求解出-4c2?c2-a2+2【解答】解：如圖，由已知可得，|PF1|＝|F1F2|＝2c，F(xiàn)1H⊥PF2，由橢圓定義，得2a﹣|PF1|＝|PF2|＝2a﹣2c，在△PF1F2中，由余弦定理得：cos∠PF1F2=4所以PF又a2＝b2+c2，整理得2c2+3ac﹣2a2＝0，又橢圓的離心率e=所以2e2+3e﹣2＝0，解得e=12或e所以C的離心率e=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2025秋?江蘇月考）橢圓Γ：x24+y23=1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為A．（6，9） B．（6，9] C．（6，8] D．（6，8）【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)三角形；橢圓的定義．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】D【分析】可先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出相關(guān)參數(shù)，再結(jié)合橢圓的定義求出△APF的周長(zhǎng)表達(dá)式，最后根據(jù)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍確定周長(zhǎng)的取值范圍．【解答】解：對(duì)于橢圓Γ：其中b為短半軸長(zhǎng)，a為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為半焦距且c2＝a2﹣b2，可得a2＝4，那么a＝2，b2＝3c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，因此c＝1，已知橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0），左頂點(diǎn)A（﹣2，0），根據(jù)橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1，F(xiàn)2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，且|PF|+|PF′|＝2a（F′為橢圓的左焦點(diǎn)），橢圓Γ的左焦點(diǎn)F′（﹣1，0），那么|PF|+|PF′|＝2a＝4，即|PF|＝4﹣|PF′|，三角形APF的周長(zhǎng)L＝|AP|+|PF|+|AF|，其中|AF因此L＝|AP|+4﹣|PF′|+3＝|AP|﹣|PF′|+7，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得||AP|﹣|PF′||＜|AF′|，|AF'|=(-1+2)2+(0-0)2=1，即﹣1＜|AP所以﹣1+7＜|AP|﹣|PF′|+7＜1+7，又因?yàn)楫?dāng)P，A，F(xiàn)'共線時(shí)，||AP|﹣|PF′||＝|AF′|＝1，此時(shí)L＝8或L＝6，所以6＜L＜8，D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．二．多選題（共2小題）（多選）7．（2025秋?永嘉縣校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線Γ的方程為：x2y＝x+y﹣y2，試判斷下列說法中正確的是（）A．曲線Γ與直線：y=2B．存在垂直于x軸的直線與曲線Γ沒有交點(diǎn) C．曲線Γ與直線：x+y+3＝0有兩個(gè)交點(diǎn) D．曲線Γ與圓：x2+y2＝x+y有三個(gè)交點(diǎn)【考點(diǎn)】曲線與方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】對(duì)于A，代入后用判別式判斷即可；對(duì)于B，易知直線x＝﹣1與曲線Γ沒有交點(diǎn)；對(duì)于C，聯(lián)立得x3+2x2﹣6x﹣12＝0，可因式分解求根確定交點(diǎn)；對(duì)于D，代入后可得x2y＝x2，解得x＝0或y＝1，再代入圓中求解即可．【解答】解：對(duì)于A，y=22Δ=1-4×22對(duì)于B，因?yàn)閤＝﹣1時(shí)，y＝﹣1+y﹣y2，即﹣y2﹣1＝0無(wú)解，所以存在垂直于x軸的直線與曲線Γ沒有交點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，聯(lián)立x2解得x=-2y=-1或x即曲線Γ與直線：x+y+3＝0只有3個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將x2+y2＝x+y代入曲線得x2y＝x2，所以x＝0或y＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，即y2＝y(tǒng)，解得x=0y=0當(dāng)y＝1時(shí)，即x2＝x，解得x=0y=1綜上，曲線Γ與圓：x2+y2＝x+y有三個(gè)交點(diǎn)（0，0），（0，1），（1，1），故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查曲線與方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．（多選）8．（2025秋?重慶月考）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率e=1A．C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為43B．0≤∠FC．當(dāng)∠PF1F2=πD．若|PF1|＝2|QF1|，則sin【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，針對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別求解即可．【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，因?yàn)闄E圓C：x2a2所以ca=12，所以a＝2c，所以所以b=32a，所以橢圓C的方程可化為：x2a2+y234a所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2a2b對(duì)B選項(xiàng)，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得∠F1PF2的最大角一半的正弦值為ca所以∠F1PF2的最大角為π3，又∠F1PF2的最小角為0，所以B對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)∠PF1F2=π3時(shí)，點(diǎn)P為上（或下）頂點(diǎn)，F(xiàn)不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，則直線PQ為y=3(x+a2)，設(shè)P（x1，y1），聯(lián)立y=3(所以5x2+4ax＝0，所以x1所以y1所以S△同理當(dāng)P在x軸下方時(shí)，也有S△PQF對(duì)D選項(xiàng)，根據(jù)題意可設(shè)直線PQ為x=聯(lián)立x=my-a23x則yP+y若|PF1|＝2|QF1|，則|yP|＝2|yQ|，即yP＝﹣2yQ，所以-yQ=所以(-3ma3所以直線PQ的斜率為±52，均有sin∠故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓與直線的位置關(guān)系，屬難題．三．填空題（共4小題）9．（2025?三水區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在直線l：y＝x﹣4上方的雙曲線y=2x(x＞0)上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線l于點(diǎn)Q，連接OP，OQ，則△【考點(diǎn)】曲線與方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】3，【分析】根據(jù)P(x，2x)，Q（【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x﹣4），∴PQ=∴S△∵-12＜0，二次函數(shù)圖象開口向下，有最大值，∴當(dāng)x＝2時(shí)，S△故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線與方程的應(yīng)用，三角形的面積的求法，是中檔題．10．（2025?安徽開學(xué)）已知拋物線y＝ax2過點(diǎn)A（4，4），其焦點(diǎn)為F，則直線AF的方程為y=34【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】y=【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線方程，進(jìn)而求出直線AF的方程．【解答】解：已知拋物線y＝ax2過點(diǎn)A（4，4），則a=即拋物線的方程為y=則拋物線y=14x2的焦點(diǎn)F所以直線AF的方程為y=即y=故答案為：y=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了直線方程的求法，屬基礎(chǔ)題．11．（2025?石峰區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，第一象限與第四象限內(nèi)的點(diǎn)M，N在C上，且MF⊥NF，則△MFN的面積為25時(shí)，|MF|+|NF|＝15．【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑；拋物線的焦點(diǎn)三角形；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】15．【分析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)與直線MN方程：x＝my+n，聯(lián)立直線方程和拋物線方程消元可得y2﹣4my﹣4n＝0，根據(jù)韋達(dá)定理與完全平方公式可得的性質(zhì)可得y12+y22=16m【解答】解：因?yàn)閽佄锞€C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，所以p＝2，所以F（1，0），設(shè)M(設(shè)直線MN的方程為x＝my+n，聯(lián)立x=my+ny2=4x，可得y2﹣則Δ＝16m2+16n＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n＜0，n＞0，y12+y22因?yàn)镸F⊥NF，所以FM→＝n2﹣6n+1﹣4m2＝0，所以m2所以△MFN的面積為1=1所以n＝6，m=±12故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬中檔題．12．（2024秋?固始縣期末）已知直線l與雙曲線x24-y23=1交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為M(3，32)，則直線l的方程為【考點(diǎn)】雙曲線的中點(diǎn)弦．【專題】方程思想；設(shè)而不求法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，然后利用點(diǎn)差法得到直線l的斜率，即可求解直線方程．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由弦AB的中點(diǎn)M(3可得x1+x2＝6，y1+y2＝3，又x124兩式相減，得(x即6(x所以直線l的斜率為k=故直線l的方程為y-32=32(x-3)，化簡(jiǎn)得故答案為：3x﹣2y﹣6＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，屬中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?簡(jiǎn)陽(yáng)市校級(jí)期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A（3，0），離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若C的上頂點(diǎn)為B，直線BM，BN的斜率分別為k1，k2，求證：1k【考點(diǎn)】橢圓的定點(diǎn)及定值問題；根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）x2（2）證明：顯然直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為：y＝k（x﹣3）+2，聯(lián)立x29+y24=1y=k(x-3)+2，消去y得（4+9k2）x2+18k（2Δ＝[18k（2﹣3k）]2﹣4（4+9k2）（81k2﹣108k）＞0，化簡(jiǎn)得k＞0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1易得B（0，2），所以k1所以1=2=2?(81所以1k【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)和離心率，列方程即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，即可根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合韋達(dá)定理，代入化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：（1）由題意知a=3ca所以C的方程為x2（2）證明：顯然直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為：y＝k（x﹣3）+2，聯(lián)立x29+y24=1y=k(x-3)+2，消去y得（4+9k2）x2+18k（2Δ＝[18k（2﹣3k）]2﹣4（4+9k2）（81k2﹣108k）＞0，化簡(jiǎn)得k＞0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1易得B（0，2），所以k1所以1=2=2?(81所以1k【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想，屬于中檔題．14．（2025?蘇州開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線m：x＝﹣1的距離相等，記P的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）直線l過點(diǎn)F與曲線E交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q滿足MQ→=9QF→，當(dāng)直線【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）y2＝4x；（2）N(【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求出方程；（2）先通過向量關(guān)系得到點(diǎn)M與Q的坐標(biāo)聯(lián)系，再結(jié)合拋物線方程，利用基本不等式求直線OQ斜率最大值，最后聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)N坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），∵動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線m：x＝﹣1的距離相等，∴(x-1)2+y2=|x（2）設(shè)Q（x0，y0），由MQ→=9QF→，即x0-xM=9(1-x0)，∵點(diǎn)M在軌跡E上，∴(10y0)∵要求OQ斜率的最大值，∴y0＞0，∴k=1025y0∴M（9，6），直線l：由l：y=34(x-1)與y∴yMyN＝﹣4，即6yN＝﹣4，∴yN∴N(【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15．（2024秋?赫章縣期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0（1）求雙曲線C的方程；（2）直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），求直線l的方程．【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；根據(jù)abc及其關(guān)系式求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)漸近線方程及雙曲線所過的點(diǎn)列方程求參數(shù)，即可得方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），應(yīng)用點(diǎn)差法得y1【解答】解：（1）根據(jù)已知，可得100a2-15b2=1（2）設(shè)B（x2，y2），A（x1，y1），那么x1225所以y1由于（3，2）是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，因此y1+y2＝4，x1+x2＝6，因此直線l的斜率k=因此直線l的方程為y-2=310(x-3)，所以3經(jīng)檢驗(yàn)可知雙曲線C與直線l相交，因此直線l的方程為3x﹣10y+11＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與雙曲線綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．橢圓的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的第一定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，其中，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做焦距．2．橢圓的第二定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離之比是常數(shù)e=ca（0＜e＜1，其中a是半長(zhǎng)軸，c是半焦距）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)3．注意要點(diǎn)橢圓第一定義中，橢圓動(dòng)點(diǎn)P滿足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；（2）當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；（3）當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P沒有運(yùn)動(dòng)軌跡．【命題方向】利用定義判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，需注意橢圓定義中的限制條件：只有當(dāng)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和2a＞|F1F2|時(shí)，其軌跡才為橢圓．1．根據(jù)定義判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡例：如圖，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓分析：根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線．可推斷出|MP|＝|PF|，進(jìn)而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|結(jié)果為定值，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義推斷出點(diǎn)P的軌跡．解答：由題意知，CD是線段MF的垂直平分線．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又顯然|MO|＞|FO|，∴根據(jù)橢圓的定義可推斷出點(diǎn)P軌跡是以F、O兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用．2．與定義有關(guān)的計(jì)算例：已知橢圓x24+y23=1A．25B．23C．5D．3分析：先由橢圓的第一定義求出點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離，再用第二定義求出點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d．解答：由橢圓的第一定義得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于4-32=5再由橢圓的第二定義得52d=∴點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d＝5，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的第一定義和第二定義，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．2．根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】已知橢圓的方程中abc及其關(guān)系，可以直接代入標(biāo)準(zhǔn)方程中．關(guān)系式c2＝a2﹣b2可用于計(jì)算焦距．【解題方法點(diǎn)撥】1．確定a和b：從題目中給定的a和b得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．代入公式：標(biāo)準(zhǔn)方程形式為：x【命題方向】﹣給定a和b，直接求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣利用a和b的關(guān)系確定標(biāo)準(zhǔn)方程．3．橢圓的焦點(diǎn)三角形【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】焦點(diǎn)三角形是由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和橢圓上的一點(diǎn)形成的三角形．三角形的面積和其他性質(zhì)可以通過橢圓的參數(shù)計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算三角形面積：使用焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓上的點(diǎn)計(jì)算三角形的面積．2．應(yīng)用公式：三角形面積公式為：面積=【命題方向】﹣給定焦點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)，計(jì)算焦點(diǎn)三角形的面積．﹣分析焦點(diǎn)三角形的幾何特征．4．橢圓與平面向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓與平面向量的關(guān)系涉及橢圓的參數(shù)、平面向量的方向和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解題方法點(diǎn)撥】1．使用向量：利用向量表示橢圓的長(zhǎng)軸和短軸．2．計(jì)算夾角：利用平面向量計(jì)算橢圓的參數(shù)和方程．【命題方向】﹣利用平面向量求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣分析向量與橢圓的關(guān)系．5．橢圓的定點(diǎn)及定值問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】定點(diǎn)問題涉及橢圓上的某點(diǎn)到固定點(diǎn)的距離、角度等特性．定值問題通常要求解決橢圓上的點(diǎn)的距離問題．【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算定點(diǎn)距離：利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算定點(diǎn)的距離．2．應(yīng)用定值：解決與定值相關(guān)的幾何問題．【命題方向】﹣給定橢圓的定點(diǎn)和定值，求解相關(guān)問題．﹣分析定點(diǎn)問題的幾何特征．6．拋物線的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】拋物線是指平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡．他有許多表示方法，比如參數(shù)表示，標(biāo)準(zhǔn)方程表示等等．它在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處．拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線．拋物線在合適的坐標(biāo)變換下，也可看成二次函數(shù)圖象．標(biāo)準(zhǔn)方程①y2＝2px，當(dāng)p＞0時(shí)，為右開口的拋物線；當(dāng)p＜0時(shí)，為左開口拋物線；②x2＝2py，當(dāng)p＞0時(shí)，為開口向上的拋物線，當(dāng)p＜0時(shí)，為開口向下的拋物線．性質(zhì)我們以y2＝2px（p＞0）為例：①焦點(diǎn)為（p2，0）；②準(zhǔn)線方程為：x=-p2；③離心率為e＝1．④通徑為2p（過焦點(diǎn)并垂直于x【解題方法點(diǎn)撥】例1：點(diǎn)P是拋物線y2＝x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0），則|PQ|的最小值為解：∵點(diǎn)P是拋物線y2＝x上的動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)P（x，x），∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0），∴|PQ|==x=(∴當(dāng)x=52，即P（|PQ|取最小值112故答案為：112這個(gè)例題其實(shí)是一個(gè)求最值的問題，一般的解題思路就是把他轉(zhuǎn)化為求一個(gè)未知數(shù)的最值，需要注意的是一定要明確這個(gè)未知數(shù)的定義域，后面的工作就是求函數(shù)的最值了．例2：已知點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)（0，3）的距離與點(diǎn)P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是．解：如圖所示，設(shè)此拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線l：x＝﹣1．過點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M．則|PM|＝|PF|．設(shè)Q（0，3），因此當(dāng)F、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|=3即|PM|+|PQ|的最小值為10．故答案為：10．這是個(gè)經(jīng)典的例題，解題的關(guān)鍵是用到了拋物線的定義：到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，然后再根據(jù)幾何里面的兩點(diǎn)之間線段最短的特征求出p點(diǎn)．這個(gè)題很有參考價(jià)值，我希望看了這個(gè)例題的同學(xué)能把這個(gè)題記下了，并拓展到橢圓和雙曲線上面去．【命題方向】拋物線是初中高中階段重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，高中主要是增加了焦點(diǎn)、準(zhǔn)線還有定義，這也提示我們這將是它的一個(gè)重點(diǎn)，所以在學(xué)習(xí)的時(shí)候要多多理會(huì)它的含義，并能夠靈活運(yùn)用．7．拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)：8．拋物線的弦及弦長(zhǎng)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】弦是連接拋物線上的兩點(diǎn)的線段．弦長(zhǎng)可以通過弦中點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算弦長(zhǎng)：利用弦中點(diǎn)和焦點(diǎn)距離計(jì)算弦長(zhǎng)．2．使用公式：應(yīng)用相關(guān)公式計(jì)算弦的長(zhǎng)度．【命題方向】﹣給定兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算弦的長(zhǎng)度．﹣利用拋物線方程求弦長(zhǎng)．9．拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】焦點(diǎn)弦是通過焦點(diǎn)且與拋物線的兩條切線相交的弦．焦半徑是從焦點(diǎn)到弦上任意一點(diǎn)的距離．【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算焦點(diǎn)弦：使用焦點(diǎn)和弦的方程計(jì)算焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度．2．計(jì)算焦半徑：計(jì)算焦點(diǎn)到弦上點(diǎn)的距離．【命題方向】﹣給定焦點(diǎn)和弦，計(jì)算焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度和焦半徑．﹣分析焦點(diǎn)弦和焦半徑的性質(zhì)．10．拋物線的焦點(diǎn)三角形【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】焦點(diǎn)三角形是由拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)及其切線交點(diǎn)組成的三角形．焦點(diǎn)三角形的面積可以通過拋物線的參數(shù)p計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】1．確定三角形頂點(diǎn)：計(jì)算拋物線上的點(diǎn)和焦點(diǎn)的坐標(biāo)．2．計(jì)算面積：使用焦點(diǎn)三角形的面積公式計(jì)算面積．【命題方向】﹣給定拋物線上的點(diǎn)和焦點(diǎn)，求焦點(diǎn)三角形的面積．﹣分析焦點(diǎn)三角形的幾何性質(zhì)及計(jì)算方法．11．根據(jù)abc及其關(guān)系式求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】a和b是雙曲線的參數(shù)，它們滿足關(guān)系c2＝a2+b2（其中c是焦距的一半）．【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算c：利用c2＝a2+b2計(jì)算．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)a，b和c計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】﹣給定a和b，求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣根據(jù)a和b計(jì)算相關(guān)參數(shù)并代入方程．12．直線與雙曲線的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與雙曲線的交點(diǎn)數(shù)量取決于它們的方程．可以通過聯(lián)立方程求解交點(diǎn)數(shù)量．【解題方法點(diǎn)撥】1．聯(lián)立方程：將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立．2．求解交點(diǎn)：通過解方程得到交點(diǎn)的數(shù)量．【命題方向】﹣給定直線方程和雙曲線方程，求交點(diǎn)數(shù)量．﹣分析直線與雙曲線的交點(diǎn)情況．13．雙曲線的中點(diǎn)弦【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】中點(diǎn)弦是指經(jīng)過某點(diǎn)P，與雙曲線相較于兩點(diǎn)，且P為兩點(diǎn)的中點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段稱為過P點(diǎn)的中點(diǎn)弦．【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)算中點(diǎn)：找出雙曲線上的兩點(diǎn)的中點(diǎn)．2．計(jì)算弦長(zhǎng)：計(jì)算中點(diǎn)弦的長(zhǎng)度．【命題方向】﹣給定雙曲線上的兩點(diǎn)，計(jì)算中點(diǎn)弦的長(zhǎng)度．﹣利用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算中點(diǎn)弦．14．雙曲線與平面向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線與平面向量的關(guān)系涉及到向量在雙曲線方程中的應(yīng)用，如切線和法線的計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】1．向量計(jì)算：利用向量計(jì)算雙曲線上的切線和法線．2．應(yīng)用方程：將向量應(yīng)用到雙曲線的方程中．【命題方向】﹣給定向量，計(jì)算雙曲線上的相關(guān)向量性質(zhì)．﹣利用向量分析雙曲線的性質(zhì)．15．曲線與方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x，y）＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點(diǎn)撥】例：：定義點(diǎn)M到曲線C上每一點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點(diǎn)B的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對(duì)定點(diǎn)B分類討論：①若點(diǎn)B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的橢圓．②若點(diǎn)B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點(diǎn)M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．③若定點(diǎn)B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點(diǎn)P是圓A上的任意一點(diǎn)，取線段AP的中點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿足條件，因此點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，以12④若點(diǎn)B在圓A上，則滿足條件的點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)B．綜上可知：可以看到滿足條件的點(diǎn)M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個(gè)點(diǎn)，而不可能是一條直線．故選A．這是一個(gè)非常好的題，一個(gè)題把幾個(gè)很重要的曲線都包含了，我認(rèn)為這個(gè)題值得每一個(gè)學(xué)生去好好研究一下．這個(gè)題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個(gè)等量關(guān)系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線到兩端點(diǎn)的距離相等這個(gè)特點(diǎn)，最后還需結(jié)合曲線的第二定義等來(lái)判斷，是個(gè)非常有價(jià)值的題．【命題方向】這個(gè)考點(diǎn)非常重要，但也比較難，我們?cè)趯W(xué)習(xí)這個(gè)考點(diǎn)的時(shí)候，先要認(rèn)真掌握各曲線的定義，特別是橢圓、拋物線、雙曲線的第二定義，然后學(xué)會(huì)去找等量關(guān)系，最后建系求解即可．16．直線與圓錐曲線的綜合【知識(shí)點(diǎn)的