第23頁（共23頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版期中必刷?？碱}之直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式一．選擇題（共5小題）1．（2025秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（a，b）到兩直線l1：y＝2x與l2：y=-1A．(-∞，-117]∪[C．[-117，72．（2025?欽南區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B在直線x+y﹣3＝0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣1，4） D．(3．（2025?欽南區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)O到直線l的距離為2，并且x軸正半軸與直線l的垂線的傾斜角為π6，則直線lA．3x+y-4=0C．-3x+y4．（2024秋?漢中期末）已知直線l1：x+y+C＝0與直線l2：Ax+By+C＝0交于（1，1），則原點(diǎn)到直線l2距離的最大值為（）A．2 B．2 C．22 D．5．（2024秋?長沙校級(jí)期末）已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，1），點(diǎn)P是圓（x﹣2）2+y2＝2上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最小值為（）A．2 B．1 C．12 D．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?任城區(qū)校級(jí)模擬）以下四個(gè)命題表述正確的是（）A．若直線傾斜角α∈[π4，2B．直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒過定點(diǎn)（﹣3，﹣3） C．若直線l1：ax+（1﹣a）y＝3與l2：（a﹣1）x+（2a+3）y＝2互相垂直，則a＝﹣3 D．若直線l1：x﹣2y+3＝0與l2：2x+ay﹣2＝0平行，則l1與l2的距離為4（多選）7．（2024秋?利通區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于直線l1：ax+2y+3a＝0，l2：3x+（a﹣1）y+3﹣a＝0．以下說法錯(cuò)誤的有（）A．l1∥l2的充要條件是a＝3 B．當(dāng)a=25時(shí)，l1⊥C．直線l1一定經(jīng)過點(diǎn)M（3，0） D．點(diǎn)P（1，3）到直線l1的距離的最大值為5（多選）8．（2024秋?新吳區(qū)校級(jí)月考）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．過（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為y-B．已知點(diǎn)A（3，1），B（2，3），則過點(diǎn)A且與B距離為1的直線的方程為3x+4y﹣13＝0 C．直線x﹣2y﹣2＝0與直線2x﹣4y+1＝0之間的距離為52D．已知點(diǎn)A（﹣3，5），B（2，8），點(diǎn)P在直線x﹣y+1＝0上，則|PA|+|PB|的最小值為10三．填空題（共4小題）9．（2025?方城縣校級(jí)開學(xué)）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是直線l：y＝2x+b上的兩點(diǎn)，若|x2﹣x1|＝3，求|AB|＝．10．（2024秋?巴中期末）已知直線（m﹣2）x+（m﹣1）y﹣4＝0與直線3x+4y+m+6＝0平行（其中m為實(shí)數(shù)），則它們之間的距離為．11．（2025春?湖北月考）經(jīng)過點(diǎn)M（3，5）的所有直線中距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的直線方程為．12．（2024秋?泗陽縣期末）已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），若直線y＝kx+4上存在點(diǎn)M，使MA2+MB2＝10，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．四．解答題（共3小題）13．（2025?欽南區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知兩直線l1：x﹣2y+4＝0，l2：4x+3y+5＝0．（1）求直線l1與l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求過直線l1，l2交點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；（3）若直線l3：ax+2y﹣6＝0與直線l1，l2能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．14．（2024秋?雙灤區(qū)校級(jí)月考）已知兩直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0．（1）求過兩直線的交點(diǎn)，且垂直于直線3x+4y﹣5＝0的直線方程；（2）求過兩直線的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；（3）已知兩點(diǎn)A（﹣1，1），B（0，2），動(dòng)點(diǎn)P在直線l1運(yùn)動(dòng)，求|PA|+|PB|的最小值．15．（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）過點(diǎn)A（x0，y0）作斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，若k1k2＝μ（μ≠0），則稱直線l1，l2是KA（μ）定積直線或K(x（1）已知直線a：y＝kx（k≠0），直線b：y=-13kx，試問是否存在點(diǎn)A，使得直線a，b是KA（2）在△OPM中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)M均在第一象限，且點(diǎn)M（x0，y0）在二次函數(shù)y＝x2﹣3的圖象上．若直線OP與直線OM是K（0，0）（1）定積直線，直線OP與直線PM是KP（﹣2）定積直線，直線OM與直線PM是K(x0，（3）已知直線m與n是K（﹣2，4）（﹣4）定積直線，設(shè)點(diǎn)O（0，0）到直線m，n的距離分別為d1，d2，求d1d2的取值范圍．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號(hào)12345答案CAABC二．多選題（共3小題）題號(hào)678答案ADACABD一．選擇題（共5小題）1．（2025秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（a，b）到兩直線l1：y＝2x與l2：y=-1A．(-∞，-117]∪[C．[-117，7【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式得|2a﹣b|+|a+2b﹣2|＝5，作圖，結(jié)合b+1【解答】解：將直線l1：y＝2x與l2：y=-12x+1化為一般式為l1：2x﹣y＝0，l2：所以P（a，b）到兩直線的距離之和為|2a所以|2a﹣b|+|a+2b﹣2|＝5①．當(dāng)2a-b≥0a+2b-2＞當(dāng)2a-b＜0a+2b-當(dāng)2a-b≥0a+2b-2≤0時(shí)，當(dāng)2a-b＜0a+2b-2則動(dòng)點(diǎn)P（a，b）的軌跡為如圖所示的四邊形的邊，b+1a+4的幾何意義為四邊形邊上任意一點(diǎn)與E（﹣4由3a+b由3a+b所以C(-35，-65所以b+1a+4故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．2．（2025?欽南區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B在直線x+y﹣3＝0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣1，4） D．(【考點(diǎn)】兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】當(dāng)線段AB最短時(shí)，直線AB與直線x+y﹣3＝0垂直，點(diǎn)B為直線AB與直線x+y﹣3＝0的交點(diǎn)，聯(lián)立求解即可．【解答】解：點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B在直線x+y﹣3＝0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，直線AB與直線x+y﹣3＝0垂直，此時(shí)點(diǎn)B為直線AB與直線x+y﹣3＝0的交點(diǎn)．因?yàn)橹本€AB與直線x+y﹣3＝0垂直，所以kAB＝1，直線AB方程為y＝x+1，由y=x+1x+y-3=0得故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025?欽南區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)O到直線l的距離為2，并且x軸正半軸與直線l的垂線的傾斜角為π6，則直線lA．3x+y-4=0C．-3x+y【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式；直線的點(diǎn)斜式方程．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)x軸正半軸與直線l的垂線的傾斜角為π6，得出直線l【解答】解：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)O到直線l的距離為2，并且x軸正半軸與直線l的垂線的傾斜角為π6所以直線l的傾斜角為π6所以直線l的斜率為k=對(duì)于B選項(xiàng)：3x-y+4=0的斜率為對(duì)于C選項(xiàng)：-3x+y+4=0對(duì)于D選項(xiàng)：x+3y+4=0的斜率為對(duì)于A選項(xiàng)：點(diǎn)O到直線l的距離為43+1=2，故故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的斜率和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．4．（2024秋?漢中期末）已知直線l1：x+y+C＝0與直線l2：Ax+By+C＝0交于（1，1），則原點(diǎn)到直線l2距離的最大值為（）A．2 B．2 C．22 D．【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】將點(diǎn)（1，1）代入直線l1的方程，可得C的值，求出原點(diǎn)到直線l2的距離d的表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得d的最大值．【解答】解：將（1，1）代入直線l1的方程可得1+1+C＝0，解得C＝﹣2，所以l2的方程為：A+B﹣2＝0，可得A＝2﹣B，原點(diǎn)到直線l2的距離d=|-2|當(dāng)B＝1時(shí)，dmax=2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?長沙校級(jí)期末）已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，1），點(diǎn)P是圓（x﹣2）2+y2＝2上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最小值為（）A．2 B．1 C．12 D．【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由題意求出|AB|的值及直線AB的方程，再求出圓心到直線的距離，進(jìn)而可得圓上的點(diǎn)到直線的最小距離，代入三角形的面積公式，可得三角形面積的最小值．【解答】解：因?yàn)锳（﹣1，0），B（0，1），所以|AB|=(-1且直線AB的方程為x﹣y+1＝0，圓心（2，0）到直線AB的距離d=|2-0+1|所以圓上點(diǎn)P到直線AB的最小距離d'＝d﹣r=3所以（S△PAB）min=12|AB|?d'故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓上的點(diǎn)到直線的最小距離的求法，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?任城區(qū)校級(jí)模擬）以下四個(gè)命題表述正確的是（）A．若直線傾斜角α∈[π4，2B．直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒過定點(diǎn)（﹣3，﹣3） C．若直線l1：ax+（1﹣a）y＝3與l2：（a﹣1）x+（2a+3）y＝2互相垂直，則a＝﹣3 D．若直線l1：x﹣2y+3＝0與l2：2x+ay﹣2＝0平行，則l1與l2的距離為4【考點(diǎn)】兩條平行直線間的距離；直線的傾斜角；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系；恒過定點(diǎn)的直線．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】對(duì)于A由k＝tanα即可求解，對(duì)于B將直線整理為（x+3）m+3x+4y﹣3＝0即可求解，對(duì)于C由l1⊥l2得a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）＝0即可求解，對(duì)于D先求a，再利用兩平行線間的距離公式即可求解．【解答】解：對(duì)于A：當(dāng)α∈[π4，2對(duì)于B：由直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0得（x+3）m+3x+4y﹣3＝0，令x+3＝0有3x+4y﹣3＝0，解得x＝﹣3，y＝3，即定點(diǎn)為（﹣3，3），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：直線l1：ax+（1﹣a）y＝3與l2：（a﹣1）x+（2a+3）y＝2互相垂直，則a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）＝0?（a﹣1）（﹣a﹣3）＝0解得a＝﹣3或1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由l1∥l2有a＝﹣4，所以l1與l2的距離為d=|6-(-2)|2故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線斜率與傾斜角關(guān)系的應(yīng)用，恒過定點(diǎn)的直線方程，直線平行及垂直的斜率關(guān)系，屬于中檔題．（多選）7．（2024秋?利通區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于直線l1：ax+2y+3a＝0，l2：3x+（a﹣1）y+3﹣a＝0．以下說法錯(cuò)誤的有（）A．l1∥l2的充要條件是a＝3 B．當(dāng)a=25時(shí)，l1⊥C．直線l1一定經(jīng)過點(diǎn)M（3，0） D．點(diǎn)P（1，3）到直線l1的距離的最大值為5【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離公式；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；恒過定點(diǎn)的直線．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】求出l1∥l2的充要條件即可判斷A；驗(yàn)證a=25時(shí)，兩直線斜率之積是否為﹣1，判斷B；求出直線l1經(jīng)過的定點(diǎn)即可判斷C；判斷何種情況下點(diǎn)P（1，3）到直線l1【解答】解：由題意直線l1：ax+2y+3a＝0，l2：3x+（a﹣1）y+3﹣a＝0，當(dāng)l1∥l2時(shí)，a（a﹣1）﹣6＝0解得a＝3或a＝﹣2，當(dāng)a＝﹣2時(shí)，兩直線為x-當(dāng)a＝3時(shí)，兩直線為3x+2y+9＝0，3x+2y＝0，符合題意，故A錯(cuò)誤；當(dāng)a=25時(shí)，兩直線為x+5y+3＝0，15x﹣3y+13＝0所以l1⊥l2，故B正確；直線l1：ax+2y+3a＝0即直線a（x+3）+2y＝0，故直線過定點(diǎn)（﹣3，0），故C錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€l1：ax+2y+3a＝0過定點(diǎn)（﹣3，0），當(dāng)直線l1：ax+2y+3a＝0與點(diǎn)P（1，3）和（﹣3，0）的連線垂直時(shí)，P（1，3）到直線l1的距離最大，最大值為(1+3)故D正確．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的方程，兩直線平行，點(diǎn)到直線的距離，是基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024秋?新吳區(qū)校級(jí)月考）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．過（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為y-B．已知點(diǎn)A（3，1），B（2，3），則過點(diǎn)A且與B距離為1的直線的方程為3x+4y﹣13＝0 C．直線x﹣2y﹣2＝0與直線2x﹣4y+1＝0之間的距離為52D．已知點(diǎn)A（﹣3，5），B（2，8），點(diǎn)P在直線x﹣y+1＝0上，則|PA|+|PB|的最小值為10【考點(diǎn)】兩條平行直線間的距離；直線的兩點(diǎn)式方程；點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】利用兩點(diǎn)式方程的條件，判斷A；判斷直線方程的條數(shù)判斷B；平行線之間的距離判斷C；推導(dǎo)出點(diǎn)A（﹣3，5），B（2，8），P在直線x﹣y+1＝0同側(cè)，求出點(diǎn)A關(guān)于直線x﹣y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為C（4，﹣2），|PA|+|PB|的最小值為|BC|，由此能求出結(jié)果，判斷D．【解答】解：過（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)的直線，如果兩點(diǎn)連線與坐標(biāo)軸不平行，直線方程表示為y-y1點(diǎn)A（3，1），B（2，3），則過點(diǎn)A且與B距離為1的直線的方程為2條，所以B不正確．直線x﹣2y﹣2＝0與直線2x﹣4y+1＝0之間的距離為：|12+2|∵兩定點(diǎn)A（﹣3，5），B（2，8），動(dòng)點(diǎn)P在直線x﹣y+1＝0上，∴點(diǎn)A（﹣3，5），B（2，8），P在直線x﹣y+1＝0同側(cè)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x﹣y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為C（a，b），則a-32-5+b2+1=0b-5a+3=-1，解得a∴|PA|+|PB|的最小值為：|BC|=(4-2)2故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的求法與應(yīng)用，兩線段和的最小值的求法，考查直線方程、兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?方城縣校級(jí)開學(xué)）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是直線l：y＝2x+b上的兩點(diǎn)，若|x2﹣x1|＝3，求|AB|＝35【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離公式．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】35【分析】根據(jù)題設(shè)條件先求出|y2﹣y1|＝6，再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即得．【解答】解：因?yàn)锳（x1，y1），B（x2，y2）在直線l上，由|x2﹣x1|＝3，得|y2﹣y1|＝|（2x2+b）﹣（2x1+b）|＝2|x2﹣x1|＝6，|AB故答案為：35【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩點(diǎn)間距離公式，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024秋?巴中期末）已知直線（m﹣2）x+（m﹣1）y﹣4＝0與直線3x+4y+m+6＝0平行（其中m為實(shí)數(shù)），則它們之間的距離為3．【考點(diǎn)】兩條平行直線間的距離．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】首先根據(jù)兩條直線平行，列式算出m＝5，然后利用兩條平行線之間的距離公式算出答案．【解答】解：根據(jù)題意，若m+6＝0，則m＝﹣6，此時(shí)兩條直線分別為﹣8x﹣7x﹣4＝0、3x+4y＝0，它們不平行，故m≠﹣6．因此，若直線（m﹣2）x+（m﹣1）y﹣4＝0與直線3x+4y+m+6＝0平行，則m-23=m所以兩條直線分別為3x+4y﹣4＝0與3x+4y+11＝0，可得它們之間的距離為d=|-4-11|3故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩條直線平行與方程的關(guān)系、平行線之間的距離公式等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（2025春?湖北月考）經(jīng)過點(diǎn)M（3，5）的所有直線中距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的直線方程為3x+5y﹣34＝0．【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】直線與圓．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】經(jīng)過點(diǎn)M（3，5）的所有直線中距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的直線是與直線OM垂直的直線，利用斜率計(jì)算公式、點(diǎn)斜式即可得出．【解答】解：經(jīng)過點(diǎn)M（3，5）的所有直線中距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的直線是與直線OM垂直的直線，∴要求的直線斜率k=-1∴要求的直線方程為：y-化為：3x+5y﹣34＝0．故答案為：3x+5y﹣34＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024秋?泗陽縣期末）已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），若直線y＝kx+4上存在點(diǎn)M，使MA2+MB2＝10，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，-3]∪[3，+∞）【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】（﹣∞，-3]∪[3，+∞【分析】根據(jù)題干條件先求出點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上，再利用直線與圓的位置關(guān)系即可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），由|MA|2+|MB|2＝10，則（x﹣1）2+y2+（x+1）2+y2＝10，整理得x2+y2＝4，即點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上，若直線y＝kx+4上存在點(diǎn)M，使|MA|2+|MB|2＝10，則直線與圓有交點(diǎn)，故圓心（0，0）到直線y＝kx+4的距離小于等于半徑；即41+解得：k≤-3或即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，-3]∪[3，+∞故答案為：（﹣∞，-3]∪[3，+∞【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2025?欽南區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知兩直線l1：x﹣2y+4＝0，l2：4x+3y+5＝0．（1）求直線l1與l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求過直線l1，l2交點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；（3）若直線l3：ax+2y﹣6＝0與直線l1，l2能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；直線的截距式方程．【專題】分類討論；方程思想；定義法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】（1）（﹣2，1）；（2）x+y+1＝0或x+2y＝0；（3）{a|a≠﹣1，且a≠83，且a≠﹣【分析】（1）聯(lián)立兩條直線構(gòu)成方程組，求解方程組即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，設(shè)出直線方程，分截距為0和不為0兩種情況討論即可；（3）直線l3：ax+2y﹣6＝0與直線l1，l2能構(gòu)成三角形時(shí)要考慮不能構(gòu)成三角形的三種情況即可．【解答】解：（1）由題意得，x-2y+4=04x+3y+5=0（2）設(shè)所求直線為l，（?。┊?dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為xt+yt=1，由-2所以直線l的方程為x-1+y-1=1，化簡為（ⅱ）當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，由1＝k×（﹣2），解得k=-1所以直線l的方程為y=-12x，化簡為x+2y＝綜上，直線l的方程為x+y+1＝0或x+2y＝0；（3）（?。┊?dāng)直線l3與l1平行時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)a×（﹣2）﹣2×1＝0，解得a＝﹣1；（ⅱ）當(dāng)直線l3與l2平行時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)a×3﹣2×4＝0，解得a=8（ⅲ）當(dāng)直線l3過l1與l2的交點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)a×（﹣2）+2×1﹣6＝0，解得a＝﹣2．綜上，a的取值范圍是{a|a≠﹣1，且a≠83，且a≠﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程的應(yīng)用，是中檔題．14．（2024秋?雙灤區(qū)校級(jí)月考）已知兩直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0．（1）求過兩直線的交點(diǎn)，且垂直于直線3x+4y﹣5＝0的直線方程；（2）求過兩直線的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；（3）已知兩點(diǎn)A（﹣1，1），B（0，2），動(dòng)點(diǎn)P在直線l1運(yùn)動(dòng)，求|PA|+|PB|的最小值．【考點(diǎn)】兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；直線的截距式方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】（1）4x﹣3y+2＝0；（2）y＝2x或x+y﹣3＝0；（3）22【分析】（1）聯(lián)立方程，求出交點(diǎn)，再由垂直關(guān)系得出斜率，進(jìn)而寫出直線方程；（2）由交點(diǎn)坐標(biāo)，再分類討論求出要求的直線方程；（3）由對(duì)稱性得出點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線l1對(duì)稱的點(diǎn)為C（x，y），進(jìn)而結(jié)合圖像得出最小值．【解答】解：（1）聯(lián)立3x-y-1=0x+2y-可得兩條直線的交點(diǎn)為（1，2），設(shè)垂直于直線3x+4y﹣5＝0的直線的方程為：4x﹣3y+c＝0，將交點(diǎn)（1，2）代入可得：4×1﹣3×2+c＝0，解得c＝2，所以所求直線方程為4x﹣3y+2＝0；（2）由（1）得兩直線的交點(diǎn)為（1，2），當(dāng)所求的直線過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為：y＝2x，當(dāng)所求的直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x+y﹣a＝0，把交點(diǎn)（1，2）代入可得1+2﹣a＝0，求得a＝3，可得所求的直線方程為x+y﹣3＝0，綜上，所求的直線方程為y＝2x或x+y﹣3＝0；（3）設(shè)點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線l1對(duì)稱的點(diǎn)為C（x，y），A（﹣1，1），聯(lián)立y-2x即C（95，7可得|PA|+|PB|＝|PA|+|PC|≥|AC|=(-1-95當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．故|PA|+|PB|的最小值為22【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的方程的求法和關(guān)于直線的對(duì)稱性點(diǎn)的求法，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）過點(diǎn)A（x0，y0）作斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，若k1k2＝μ（μ≠0），則稱直線l1，l2是KA（μ）定積直線或K(x（1）已知直線a：y＝kx（k≠0），直線b：y=-13kx，試問是否存在點(diǎn)A，使得直線a，b是KA（2）在△OPM中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)M均在第一象限，且點(diǎn)M（x0，y0）在二次函數(shù)y＝x2﹣3的圖象上．若直線OP與直線OM是K（0，0）（1）定積直線，直線OP與直線PM是KP（﹣2）定積直線，直線OM與直線PM是K(x0，（3）已知直線m與n是K（﹣2，4）（﹣4）定積直線，設(shè)點(diǎn)O（0，0）到直線m，n的距離分別為d1，d2，求d1d2的取值范圍．【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式；直線的點(diǎn)斜式方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】（1）存在，理由見解析；（2）（1，2）；（3）[0，8）．【分析】（1）由定積直線的定義運(yùn)算可求結(jié)論；（2）設(shè)直線OM的斜率為（λ≠0），則直線OP的斜率為1λ，利用定積直線的定義可得λx0＝1或﹣1，進(jìn)而x（3）設(shè)直線m：y﹣4＝1（x+2），直線n：y-4=-4t(x+2)，其中t≠0，計(jì)算得【解答】解：（1）存在點(diǎn)A（0，0），使得a，b是KA（μ）定積直線，理由如下：由題意可得k?(-1由y=kx(故存在點(diǎn)A（0，0），使得a，b是KA（μ）定積直線，且μ=-（2）設(shè)直線OM的斜率為（λ≠0），則直線OP的斜率為1λ，直線PM的斜率為﹣2λ依題意得λ?(-2λ)=-2x02，得λ2直線OM的方程為y＝λx，因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，x因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以x02-3=λx0=1，解得x0＝2或﹣2（舍去），所以直線OP的方程為y=1λx=2x，直線PM的方程為y＝﹣2λ（x﹣2由y=2xy=-x+3，得x=1（3）設(shè)直線m：y﹣4＝t（x+2），直線n：y-4=-4t則d=81-t2+17+16t2≥2t2所以0≤81-25t2+17+16t2＜故d1d2的取值范圍為[0，8）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查新定義問題，利用定積直線的定義進(jìn)行計(jì)算求解是解題的關(guān)鍵，考查了運(yùn)算求解能力，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．直線的傾斜角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．2．范圍：[0，π）（特別地：當(dāng)直線l和x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線l的傾斜角為0°）3．意義：體現(xiàn)了直線對(duì)x軸正方向的傾斜程度．4．斜率與傾斜角的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別：①每條直線都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線都有斜率．②傾斜角是從幾何的角度刻畫直線的方向，而斜率是從代數(shù)的角度刻畫直線的方向．（2）聯(lián)系：①當(dāng)a≠π2時(shí)，k＝tanα；當(dāng)α②根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性：當(dāng)α∈[0，π2）時(shí)，k＞0且tanα隨α的增大而增大，當(dāng)α∈（π2，π）時(shí)，k＜0且tanα隨【解題方法點(diǎn)撥】直線的傾斜角常結(jié)合直線的斜率進(jìn)行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，也是用坐標(biāo)法研究直線性質(zhì)的基礎(chǔ)．在高考中多以選擇填空形式出現(xiàn)，是高考考查的熱點(diǎn)問題．【命題方向】（1）直接根據(jù)直線斜率求傾斜角例：直線3x+y﹣1＝0的傾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角即可．解答：因?yàn)橹本€3x+y﹣1＝0的斜率為：-3直線的傾斜角為：α．所以tanα=-3α＝120°故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的傾斜角的求法，基本知識(shí)的應(yīng)用．（2）通過條件轉(zhuǎn)換求直線傾斜角例：若直線經(jīng)過A（0，1），B（3，4）兩點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直線經(jīng)過A（0，1），B（3，4）兩點(diǎn)，能求出直線AB的斜率，從而能求出直線AB的傾斜角．解答：∵直線經(jīng)過A（0，1），B（3，4）兩點(diǎn)，∴直線AB的斜率k=4-13-0∴直線AB的傾斜角α＝45°．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的傾斜角的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．2．兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】在同一個(gè)平面中，直線的關(guān)系可能是相交、平行、重合；這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中我們探討的是相交直線的一個(gè)特例，直線垂直．顧名思義，直線垂直就是兩條直線的夾角為90°．兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系：①當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，這兩條直線互相垂直；②當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)斜率分別為k1，k2，若兩條直線互相垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，若兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直．l1⊥l2?k2=-1k1?k1?k2【解題方法點(diǎn)撥】例：設(shè)A、B為x軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x﹣2y+1＝0，則直線PB的方程是．解：根據(jù)|PA|＝|PB|得到點(diǎn)P一定在線段AB的垂直平分線上，根據(jù)x﹣2y+1＝0求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），由P的橫坐標(biāo)是2代入x﹣2y+1＝0求得縱坐標(biāo)為32，則P（2，32），P在x軸上的投影為Q（2，0），又因?yàn)镼為A與B的中點(diǎn)，所以得到B（5，0），所以直線PB的方程為：y﹣0=32-02-5（x﹣5）化簡后為故答案為：x+2y﹣5＝0．3．直線的點(diǎn)斜式方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】設(shè)P（x，y）是直線l上不同于P0的任意一點(diǎn)．方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直線上一點(diǎn)和直線的斜率確定的，所以叫做直線的點(diǎn)斜式方程．4．直線的兩點(diǎn)式方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線的兩點(diǎn)式方程：經(jīng)過直線上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直線方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式．y-y1y2-y1=x-x1#注意：兩點(diǎn)式適用于與兩坐標(biāo)軸不垂直的直線．特別地：①當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線l的方程為x＝x1；②當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，直線l的方程為y＝y(tǒng)1．5．直線的截距式方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線的截距式方程：若直線l與x軸交點(diǎn)為（a，0），與y軸交點(diǎn)為（0，b），其中a≠0，b≠0，a為直線l在x軸上的截距，b為直線l在y軸上的截距，由兩點(diǎn)式：y-0b#注意：斜截式適用于與兩坐標(biāo)軸不垂直且不過原點(diǎn)的直線．6．直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、兩條直線平行與垂直的判定對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1⊥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時(shí)為0．直線一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率為-A（2）與直線l：Ax+By+C＝0平行的直線，可設(shè)所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線Ax+By+C＝0垂直的直線，可設(shè)所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直線l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時(shí)為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時(shí)為0），則兩條直線的位置關(guān)系可以如下判別：①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0時(shí)，則l1∥l2?A1A2=B1B2≠C1C2；l1與l27．直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、兩條直線平行與垂直的判定對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1∥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時(shí)為0．直線一般式方程Ax+By+C＝