第22頁（共22頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版期中必刷?？碱}之集合間的基本關(guān)系一．選擇題（共4小題）1．（2025?河南開學(xué)）已知集合A＝{x∈R|x2+ax+2＝0}有且僅有2個子集，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A．{a|-22≤aC．{22} D．{2．（2024秋?衡陽校級期末）已知集合M＝{x|x4∈N*，且x10∈N*}，集合N＝{x|x40∈A．M＝N B．N?M C．M∪N＝{x|x20∈Z} D．M∩N＝{x|x40∈N3．（2025?固始縣二模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，則A的子集個數(shù)為（）A．4 B．7 C．8 D．164．（2025?恩施市模擬）已知全集U＝{x∈N|x≤3}，A＝{1，2}，B＝{1，3}，則集合?U（A∩B）的真子集個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．8二．多選題（共4小題）（多選）5．（2025秋?葉縣校級月考）設(shè)全集為U，非空真子集A，B，C滿足：A∩B＝A，B∪C＝B，則（）A．A∩C≠? B．?UB??UA C．?U（A∪C）≠? D．?UB??U（A∩C）（多選）6．（2025?廣西校級開學(xué)）下列命題中正確的是（）A．集合{a，b}的真子集是{a}， B．{x|x是菱形}?{x|x是平行四邊形} C．設(shè)a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{﹣1，b}，若A＝B，則a﹣b＝﹣2 D．??{x|x2﹣1＝0}（多選）7．（2025?潼南區(qū)校級開學(xué)）已知集合A＝{﹣1，1}，非空集合B＝{x|x3+ax2+bx+c＝0}，下列條件能夠使得B?A的是（）A．a(chǎn)＝﹣3，b＝3，c＝﹣1 B．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣3，c＝1 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣1，c＝1 D．a(chǎn)+b+c+1＝0且（a+1）2+4c＜0（多選）8．（2025春?新余期末）下列選項(xiàng)中的兩個集合相等的是（）A．P＝{x∈N*|x是6和10的公倍數(shù)}，Q＝{x|x＝30n，n∈N*} B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N*} C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q={D．P＝{y|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}三．填空題（共4小題）9．（2025?蔡甸區(qū)校級開學(xué)）定義集合的⊙運(yùn)算：已知集合A，B，則A⊙B＝{x|x=ab，a∈A，b∈B}．若集合A＝{1，x}，B＝{x2，x3}，則集合A⊙B的真子集個數(shù)的一個可能取值是10．（2025?邗江區(qū)校級開學(xué)）若設(shè)A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．11．（2025?閔行區(qū)校級開學(xué)）已知集合M={x|-5＜x＜3①P＝{﹣3，0，1}；②Q＝{﹣1，0，1，2}；③R＝{y|﹣π＜y＜﹣1，y∈Z}；④S={12．（2025?楊浦區(qū)校級開學(xué)）已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{x|6x5﹣5x4﹣4x3+3x2+2x﹣1＝0}，則集合A∩B的子集數(shù)為．四．解答題（共3小題）13．（2025秋?寧夏月考）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣x﹣1＝0，a∈R}．（1）若a＝2，寫出集合A的所有子集；（2）若集合A中僅含有一個元素，求實(shí)數(shù)a的值．14．（2025?蔡甸區(qū)校級開學(xué)）已知集合A={（1）當(dāng)m＝1時，求A∪B；（2）若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．15．（2025秋?韓城市校級月考）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|2x﹣1≥1}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}．（1）求A∩B；（2）設(shè)集合C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，若B∩C＝C，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之集合間的基本關(guān)系參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）題號1234答案BDCC二．多選題（共4小題）題號5678答案BCDBCDACDAC一．選擇題（共4小題）1．（2025?河南開學(xué)）已知集合A＝{x∈R|x2+ax+2＝0}有且僅有2個子集，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A．{a|-22≤aC．{22} D．{【考點(diǎn)】子集與真子集．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由集合的子集個數(shù)，判斷出集合A中有且只有一個元素，從而轉(zhuǎn)化為方程有兩個相等根問題求解即可．【解答】解：由集合A有且僅有2個子集，可得集合A中有且只有1個元素，所以方程x2+ax+2＝0有2個相等的實(shí)數(shù)解，即Δ＝a2﹣8＝0，解得a=±2所以實(shí)數(shù)a的取值集合為{-22故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了子集的定義，集合子集個數(shù)的計(jì)算公式，是基礎(chǔ)題．2．（2024秋?衡陽校級期末）已知集合M＝{x|x4∈N*，且x10∈N*}，集合N＝{x|x40∈A．M＝N B．N?M C．M∪N＝{x|x20∈Z} D．M∩N＝{x|x40∈N【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；集合．【答案】D【分析】化簡可得M＝{x|x20∈N*}，從而求M∩N【解答】解：∵x4∈N*，且x10∈N∴x20∈N*∴M＝{x|x20∈N*}又∵N＝{x|x40∈Z}∴M∩N＝{x|x40∈N*}故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了集合的化簡與集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025?固始縣二模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，則A的子集個數(shù)為（）A．4 B．7 C．8 D．16【考點(diǎn)】子集與真子集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意求集合A，結(jié)合集合元素個數(shù)與子集個數(shù)之間的關(guān)系分析求解．【解答】解：題意可得：A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，可知A有3個元素，所以A的子集個數(shù)為23＝8．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查子集的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?恩施市模擬）已知全集U＝{x∈N|x≤3}，A＝{1，2}，B＝{1，3}，則集合?U（A∩B）的真子集個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．8【考點(diǎn)】子集的個數(shù)；集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】求解補(bǔ)集，再根據(jù)元素個數(shù)計(jì)算真子集個數(shù)．【解答】解：由題意全集U＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，A＝{1，2}，B＝{1，3}，可得A∩B＝{1}，?U（A∩B）＝{0，2，3}，則集合?U（A∩B）的真子集個數(shù)為7個．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了集合的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）5．（2025秋?葉縣校級月考）設(shè)全集為U，非空真子集A，B，C滿足：A∩B＝A，B∪C＝B，則（）A．A∩C≠? B．?UB??UA C．?U（A∪C）≠? D．?UB??U（A∩C）【考點(diǎn)】判斷兩個集合的包含關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】通過集合包含關(guān)系（A?B、C?B），結(jié)合補(bǔ)集、并集的性質(zhì)，直接推導(dǎo)各選項(xiàng)邏輯．【解答】解：由A∩B＝A，得A?B；由B∪C＝B，得C?B．選項(xiàng)A：A與C均為B的子集，但其在B內(nèi)的位置未明確（可無交集、部分重疊或完全包含），故A∩C可能為空，A錯誤．選項(xiàng)B：因A?B，根據(jù)補(bǔ)集“集合包含關(guān)系反向傳遞”，即小集合的補(bǔ)集包含大集合的補(bǔ)集，故?UB??UA，B正確．選項(xiàng)C：由A?B、C?B，得A∪C?B．又B是U的非空真子集（B不等于U），故A∪C也為U的真子集，其補(bǔ)集?U（A∪C）必含U中不屬于A∪C的元素，即?U（A∪C）≠?，C正確．選項(xiàng)D：由A?B、C?B，得A∩C?B．同理，補(bǔ)集滿足“小集合的補(bǔ)集包含大集合的補(bǔ)集”，故?UB??U（A∩C），D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查集合包含關(guān)系、補(bǔ)集與并集的性質(zhì)及真子集的補(bǔ)集特征，屬于基礎(chǔ)題．（多選）6．（2025?廣西校級開學(xué)）下列命題中正確的是（）A．集合{a，b}的真子集是{a}， B．{x|x是菱形}?{x|x是平行四邊形} C．設(shè)a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{﹣1，b}，若A＝B，則a﹣b＝﹣2 D．??{x|x2﹣1＝0}【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；集合的相等．【專題】集合思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)建模．【答案】BCD【分析】根據(jù)空集是任何非空集合的真子集可知A不正確；根據(jù)菱形一定是平行四邊形，可知B正確；根據(jù)集合相等的概念求出a，b，可知C正確；根據(jù)空集是任何非空集合的真子集，可知D正確．【解答】解：集合{a，b}的真子集包括{a}，，?，A錯誤；因?yàn)榱庑我欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，所以{x|x是菱形}?{x|x是平行四邊形}，B正確；因?yàn)锳＝{1，a}，B＝{﹣1，b}，A＝B，所以a＝﹣1，b＝1，a﹣b＝﹣2，C正確；因?yàn)榉匠蘹2﹣1＝0的解為x＝±1，所以{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，空集是任何非空集合的真子集，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查集合間關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2025?潼南區(qū)校級開學(xué)）已知集合A＝{﹣1，1}，非空集合B＝{x|x3+ax2+bx+c＝0}，下列條件能夠使得B?A的是（）A．a(chǎn)＝﹣3，b＝3，c＝﹣1 B．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣3，c＝1 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣1，c＝1 D．a(chǎn)+b+c+1＝0且（a+1）2+4c＜0【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】把三次方程因式分解求根，即可化簡集合B，然后利用集合關(guān)系即可判斷．【解答】解：對于選項(xiàng)A，方程x3﹣3x2+3x﹣1＝0，因式分解得（x﹣1）3＝0，解得x＝1，所以B＝{1}，滿足B?A，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，方程x3﹣3x2﹣3x+1＝0，因式分解得（x+1）（x2﹣4x+1）＝0，解得x＝﹣1或x=2±3，所以B={-1，2-3對于選項(xiàng)C，方程x3﹣x2﹣x+1＝0，因式分解得（x+1）（x﹣1）2＝0，解得x＝±1，所以B＝{﹣1，1}，滿足B?A，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)閍+b+c+1＝0，所以x＝1是方程x3+ax2+bx+c＝0的解，所以方程x3+ax2+bx+c＝0變形為（x﹣1）[x2+（a+1）x﹣c]＝0，因?yàn)椋╝+1）2+4c＜0，所以方程x2+（a+1）x﹣c＝0無解，所以方程（x﹣1）[x2+（a+1）x﹣c]＝0有唯一解x＝1，所以B＝{1}，滿足B?A，所以選項(xiàng)D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2025春?新余期末）下列選項(xiàng)中的兩個集合相等的是（）A．P＝{x∈N*|x是6和10的公倍數(shù)}，Q＝{x|x＝30n，n∈N*} B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N*} C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q={D．P＝{y|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}【考點(diǎn)】判斷兩個集合是否相同．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】利用兩個集合相等的意義，逐項(xiàng)判斷作答．【解答】解：對于A，由于6和10的最小正公倍數(shù)為30，因此P＝{x|x＝30n，n∈N*}，即P＝Q，故A正確；對于B，由于1∈P，1?Q，則P≠Q(mào)，故B錯誤；對于C，依題意，P＝{0，1}，Q＝{0，1}，即P＝Q，故C正確；對于D，集合P是函數(shù)y＝x+1值的集合，為實(shí)數(shù)集，集合Q是函數(shù)y＝x+1圖象上點(diǎn)的集合，P≠Q(mào)，故D錯誤．故選：AC．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合相等的定義，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）9．（2025?蔡甸區(qū)校級開學(xué)）定義集合的⊙運(yùn)算：已知集合A，B，則A⊙B＝{x|x=ab，a∈A，b∈B}．若集合A＝{1，x}，B＝{x2，x3}，則集合A⊙B的真子集個數(shù)的一個可能取值是3或7【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．【答案】3或7．【分析】根據(jù)題中定義和元素的性質(zhì)，結(jié)合集合真子集個數(shù)公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：由集合中元素互異性，x≠0且x≠1．當(dāng)x＝﹣1時，A＝{1，﹣1}，B＝{1，﹣1}，所以A⊙B＝{﹣1，1}，集合元素個數(shù)為2，真子集個數(shù)為22﹣1＝3．當(dāng)x≠0且x≠±1時，A⊙B={1x，1x2，1x3}故答案為：3或7．【點(diǎn)評】解題關(guān)鍵在于理解新定義的集合運(yùn)算，再結(jié)合集合元素的互異性，分情況討論求出集合A⊙B的元素個數(shù)，最后根據(jù)“若集合有n個元素，則真子集個數(shù)為2n﹣1”計(jì)算．10．（2025?邗江區(qū)校級開學(xué)）若設(shè)A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍a≤﹣1或a＝1．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分別求出A，B，利用B?A，建立集合元素之間的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．【解答】解：A＝{x|x2+4x＝0}＝{0，﹣4}．方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0對應(yīng)的判別式Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＝8a+8．∵B?A，∴若B＝?，則Δ＜0，即8a+8＜0，解得a＜﹣1．若B≠?，若B?A，則B＝{0}，或{﹣4}或{0，﹣4}．①若B＝{0}，則Δ=0a2-1=0，即a②若B＝{﹣4}，則Δ=0-2(③若B＝{0，﹣4}，則Δ＞0a2-綜上：a≤﹣1或a＝1．故答案為：a≤﹣1或a＝1．【點(diǎn)評】本題主要考查集合關(guān)系的應(yīng)用，將集合關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程根的問題是解決本題的關(guān)鍵，注意要進(jìn)行分類討論．11．（2025?閔行區(qū)校級開學(xué)）已知集合M={x|-5＜x＜3①P＝{﹣3，0，1}；②Q＝{﹣1，0，1，2}；③R＝{y|﹣π＜y＜﹣1，y∈Z}；④S={【考點(diǎn)】子集的判斷與求解．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】④．【分析】先求出集合M，R，S，然后子集的定義分別對選項(xiàng)判斷即可求解．【解答】解：由已知可得集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，所以由子集的定義可得選項(xiàng)①錯誤，②錯誤，因?yàn)镽＝{﹣3，﹣2}，所以集合R不表示集合M的子集，③錯誤，因?yàn)镾＝{﹣1，0，1}，所以是集合M的子集，故正確．故答案為：④．【點(diǎn)評】本題考查了集合的子集，是基礎(chǔ)題．12．（2025?楊浦區(qū)校級開學(xué)）已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{x|6x5﹣5x4﹣4x3+3x2+2x﹣1＝0}，則集合A∩B的子集數(shù)為1．【考點(diǎn)】子集的個數(shù)．【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】1．【分析】結(jié)合集合交集運(yùn)算先求出A∩B，即可求解．【解答】解：因?yàn)榧螦＝{0，1，2}，集合B＝{x|6x5﹣5x4﹣4x3+3x2+2x﹣1＝0}，x＝0時，6x5﹣5x4﹣4x3+3x2+2x﹣1＝﹣1，故0?B，x＝1時，6x5﹣5x4﹣4x3+3x2+2x﹣1＝1，故1?B，x＝2時，6x5﹣5x4﹣4x3+3x2+2x﹣1＝95，故2?B，所以A∩B＝?，則子集個數(shù)為1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合交集運(yùn)算及集合子集個數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2025秋?寧夏月考）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣x﹣1＝0，a∈R}．（1）若a＝2，寫出集合A的所有子集；（2）若集合A中僅含有一個元素，求實(shí)數(shù)a的值．【考點(diǎn)】子集的個數(shù)．【專題】集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解．【答案】（1）?，（2）0或-1【分析】（1）求出集合A，進(jìn)而求出其子集即得．（2）按a的值是否為0，分類求解即得．【解答】解：（1）若a＝2，則A={所以集合A的所有子集是：?，（2）當(dāng)a＝0時，方程﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，符合題意；當(dāng)a≠0時，則Δ＝1+4a＝0，解得a=-所以實(shí)數(shù)a的值為0或-1【點(diǎn)評】本題考查集合的子集的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．（2025?蔡甸區(qū)校級開學(xué)）已知集合A={（1）當(dāng)m＝1時，求A∪B；（2）若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用；求集合的并集．【專題】集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解．【答案】（1）{x|﹣1≤x≤3}；（2）(-∞，【分析】（1）由m＝1，得到B＝{x|1≤x≤3}，再利用集合的并集運(yùn)算求解；（2）由A∪B＝A，得到B?A，再分B＝?和B≠?求解．【解答】解：（1）由題意，集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，當(dāng)m＝1時，集合B＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}；（2）由A∪B＝A，得B?A，當(dāng)B＝?時，3﹣2m＞2m+1，即m＜當(dāng)B≠?時，3-2m≤2m綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍(-∞，【點(diǎn)評】本題考查集合間關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025秋?韓城市校級月考）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|2x﹣1≥1}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}．（1）求A∩B；（2）設(shè)集合C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，若B∩C＝C，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用；求集合的交集；解一元二次不等式．【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】（1）{x|1≤x＜5}；（2）{m|m≤3}．【分析】（1）根據(jù)題意，將集合化簡，再由集合交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件B∩C＝C得C?B，分C≠?和C＝?討論，即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|2x﹣1≥1}＝{x|x≥1}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1≤x＜5}；（2）∵B∩C＝C，∴C?B，又∵集合C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，當(dāng)C≠?時，由C?B得m+1＜2m-1當(dāng)C＝?時，2m﹣1≤m+1，解得m≤2；綜上所述：m的取值范圍是{m|m≤3}．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合基本運(yùn)算，還考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．集合的相等【知識點(diǎn)的認(rèn)識】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時B?A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B．（3）對于兩個有限數(shù)集A＝B，則這兩個有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個集合的元素個數(shù)相等；②兩個集合的元素之和相等；③兩個集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實(shí)質(zhì)是一致的，只是表達(dá)方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個元素都在B中，而且B中的每一個元素都在A中．解題時往往只解答一個問題，忽視另一個問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．【命題方向】通常是判斷兩個集合是不是同一個集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運(yùn)算相聯(lián)系，也可能與函數(shù)的定義域、值域聯(lián)系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時出現(xiàn)在大題的一小問．2．判斷兩個集合是否相同【知識點(diǎn)的認(rèn)識】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時B?A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B．【解題方法點(diǎn)撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個元素都在B中，而且B中的每一個元素都在A中．元素一一對應(yīng)：兩個集合相同，需確保每個元素都在兩個集合中出現(xiàn)，且沒有遺漏．直接對比：對于簡單集合，可以直接對比元素列舉是否完全一致．【命題方向】下列集合中相等的集合是（）①{x|y=x+②{y|y=x+③{（x，y）|y=x+④{s|s＝t2+1}．解：①{x|y=x+1}＝{x|x②{y|y=x+1}＝{y|y③{（x，y）|y=x+1}＝{（x，y）|x④{s|s＝t2+1}＝{s|s≥1}．∴相等的集合是②④．3．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】概念：1．如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．4．判斷兩個集合的包含關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，則（）A．A＞BB．B∈AC．A?BD．B?A解：由題意可得，B?A．故選：D．5．集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】設(shè)m為實(shí)數(shù)，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當(dāng)m＞2m﹣1時，即m＜1時，B＝?，符合題意；當(dāng)m≥1時，可得-3≤m2綜上所述，m≤32，即m故答案為：(-∞，6．子集與真子集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}3、真子集和子集的區(qū)別子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時成立的；子集個數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．【命題方向】本考點(diǎn)要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個數(shù)問題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．7．子集的判斷與求解【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}【解題方法點(diǎn)撥】定義子集：A是B的子集，當(dāng)且僅當(dāng)A中的每一個元素都在B中．驗(yàn)證元素：逐個檢查A中的元素是否在B中．符號表示：用?表示子集關(guān)系，若A是B的子集，記為A?B．【命題方向】本考點(diǎn)要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個數(shù)問題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．8．子集的個數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】公式計(jì)算：若一個集合有n個元素，則它的子集個數(shù)為2^n．理解冪集：冪集是一個集合的所有子集組成的集合．【命題方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，當(dāng)x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)．解：當(dāng)x∈Z時，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8個元素，∴A的非空真子集的個數(shù)為28﹣2＝254個；9．求集合的并集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運(yùn)算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點(diǎn)撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命題方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝{解：依題意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．10．求集合的交集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}