第15頁（共15頁）2025-2026學年上學期高二數(shù)學蘇教版期中必刷常考題之平面上的距離一．選擇題（共5小題）1．（2025秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級月考）在平面直角坐標系中，已知動點P（a，b）到兩直線l1：y＝2x與l2：y=-1A．(-∞，-117]∪[C．[-117，72．（2025?欽南區(qū)校級開學）已知O為坐標原點，點O到直線l的距離為2，并且x軸正半軸與直線l的垂線的傾斜角為π6，則直線lA．3x+y-4=0C．-3x+y3．（2025?欽南區(qū)校級開學）著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：(x-a)2+(y-b)2可以轉(zhuǎn)化為平面上點M（A．1 B．2 C．3 D．24．（2025秋?巴楚縣校級月考）如圖，數(shù)軸上的點A，B，C，D分別對應實數(shù)a，b，c，d，則下列各式的值最小的是（）A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|5．（2025春?玉溪校級期中）若點A（3，4），B（5，3）到直線l：2x+ay+1＝0的距離相等，則a＝（）A．4 B．﹣4 C．4或-187 D．﹣4二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025春?洛陽期末）．已知點A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直線l：ax+y+1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值等于（）A．-79 B．-13 C．7（多選）7．（2025春?東坡區(qū)校級期末）已知點A（2，3），B（4，﹣5）到直線l的距離相等，且l過點P（1，2），則l的方程可能是（）A．x+4y﹣6＝0 B．4x+y﹣6＝0 C．2x+3y﹣7＝0 D．3x+2y﹣7＝0（多選）8．（2025春?永州校級期末）已知點A（﹣5，4）和B（3，2），則過點C（﹣1，2）且與A，B的距離相等的直線方程為（）A．x+4y﹣7＝0 B．x﹣4y﹣7＝0 C．y=-14x-7三．填空題（共4小題）9．（2024秋?慈溪市期末）已知點P(2，-3)和直線l：x-3y+1＝0，則點P到l的距離為10．（2025?方城縣校級開學）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是直線l：y＝2x+b上的兩點，若|x2﹣x1|＝3，求|AB|＝．11．（2024秋?長寧區(qū)校級期末）已知點M（4，﹣1），點P是直線l：y＝2x+3上的任一點，則|PM|最小值為．12．（2025春?楊浦區(qū)校級月考）與兩平行直線l1：3x﹣y+9＝0，l2：3x﹣y﹣3＝0等距離的直線方程為．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?良慶區(qū)校級期中）已知直線l：x﹣ay+2a﹣1＝0及點A（﹣2，2）．（1）若與l垂直的直線3x﹣my+2＝0過點A，求m與a的值；（2）若點A與點B（1，﹣1）到直線l的距離相等，求l的斜截式方程．14．（2024秋?武漢期中）已知△ABC的頂點A（4，2），邊AB上的中線CD所在直線方程為7x+2y﹣5＝0，邊AC上的高線BE所在直線方程為x+y﹣4＝0．（1）求邊BC所在直線的方程；（2）求△BCD的面積．15．（2024秋?湖北月考）直線l經(jīng)過兩直線l1：3x﹣y+1＝0和l2：3x+2y﹣2＝0的交點．（1）若直線l與直線x+2y+1＝0垂直，求直線l的方程．（2）若點A（4，2）到直線l的距離為4，求直線l的方程．

2025-2026學年上學期高二數(shù)學蘇教版（2019）期中必刷常考題之平面上的距離參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號12345答案CABCC二．多選題（共3小題）題號678答案ABBDAD一．選擇題（共5小題）1．（2025秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級月考）在平面直角坐標系中，已知動點P（a，b）到兩直線l1：y＝2x與l2：y=-1A．(-∞，-117]∪[C．[-117，7【考點】點到直線的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；運算求解．【答案】C【分析】由點到直線的距離公式得|2a﹣b|+|a+2b﹣2|＝5，作圖，結(jié)合b+1【解答】解：將直線l1：y＝2x與l2：y=-12x+1化為一般式為l1：2x﹣y＝0，l2：所以P（a，b）到兩直線的距離之和為|2a所以|2a﹣b|+|a+2b﹣2|＝5①．當2a-b≥0a+2b-2＞當2a-b＜0a+2b-當2a-b≥0a+2b-2≤0時，當2a-b＜0a+2b-2則動點P（a，b）的軌跡為如圖所示的四邊形的邊，b+1a+4的幾何意義為四邊形邊上任意一點與E（﹣4由3a+b由3a+b所以C(-35，-65所以b+1a+4故選：C．【點評】本題考查直線方程的應用，屬于中檔題．2．（2025?欽南區(qū)校級開學）已知O為坐標原點，點O到直線l的距離為2，并且x軸正半軸與直線l的垂線的傾斜角為π6，則直線lA．3x+y-4=0C．-3x+y【考點】點到直線的距離公式；直線的點斜式方程．【專題】計算題；整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)x軸正半軸與直線l的垂線的傾斜角為π6，得出直線l【解答】解：已知O為坐標原點，點O到直線l的距離為2，并且x軸正半軸與直線l的垂線的傾斜角為π6所以直線l的傾斜角為π6所以直線l的斜率為k=對于B選項：3x-y+4=0的斜率為對于C選項：-3x+y+4=0對于D選項：x+3y+4=0的斜率為對于A選項：點O到直線l的距離為43+1=2，故故選：A．【點評】本題考查了直線的斜率和點到直線的距離公式，屬于中檔題．3．（2025?欽南區(qū)校級開學）著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：(x-a)2+(y-b)2可以轉(zhuǎn)化為平面上點M（A．1 B．2 C．3 D．2【考點】兩點間的距離公式．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】B【分析】將x2-2x+5-x2+1轉(zhuǎn)化成P（x，0）到點M（1，2）的距離與到點N（0，1）的距離之差，再結(jié)合|【解答】解：x可轉(zhuǎn)化成x軸上一點P（x，0）到點M（1，2）的距離與到點N（0，1）的距離之差，|PM所以x2-2故選：B．【點評】本題主要考查了點關(guān)于直線的對稱性及距離公式的應用，屬于中檔題．4．（2025秋?巴楚縣校級月考）如圖，數(shù)軸上的點A，B，C，D分別對應實數(shù)a，b，c，d，則下列各式的值最小的是（）A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|【考點】兩點間的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)兩點距離的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由數(shù)軸可得點A離原點距離最遠，其次是D點，再次是B點，C點離原點距離最近，則|a|＞|d|＞|b|＞|c|，其中值最小的是|c|．故選：C．【點評】本題考查了兩點距離，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?玉溪校級期中）若點A（3，4），B（5，3）到直線l：2x+ay+1＝0的距離相等，則a＝（）A．4 B．﹣4 C．4或-187 D．﹣4【考點】點到直線的距離公式．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】C【分析】分A，B在直線l的同側(cè)和A，B分別在直線l的兩側(cè)兩種情況分析即可求解．【解答】解：由題意點A（3，4），B（5，3）到直線l：2x+ay+1＝0的距離相等，可分兩種情況分析：若A，B在直線l的同側(cè)，則4-33-5=-2a，解得若A，B分別在直線l的兩側(cè)，則直線l經(jīng)過AB的中點(4，則8+72a故選：C．【點評】本題考查了點到直線的距離，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025春?洛陽期末）．已知點A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直線l：ax+y+1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值等于（）A．-79 B．-13 C．7【考點】點到直線的距離公式．【專題】方程思想；定義法；直線與圓；運算求解．【答案】AB【分析】因為A和B到直線l的距離相等，根據(jù)點到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即得到a的值．【解答】解：由題意知點A和點B到直線l的距離相等得到|6a化簡得6a+4＝﹣3a﹣3或6a+4＝3a+3，解得a=-13或a故選：AB．【點評】本題考查學生靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，做題時注意兩種情況，是基礎(chǔ)題．（多選）7．（2025春?東坡區(qū)校級期末）已知點A（2，3），B（4，﹣5）到直線l的距離相等，且l過點P（1，2），則l的方程可能是（）A．x+4y﹣6＝0 B．4x+y﹣6＝0 C．2x+3y﹣7＝0 D．3x+2y﹣7＝0【考點】點到直線的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件，分直線l∥AB，直線l經(jīng)過AB的中點（3，﹣1）兩種情況討論，即可求解．【解答】解：當直線l∥AB時，∵kAB=3+52-4=-4，直線l過點P（1∴l(xiāng)的方程為y﹣2＝﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6＝0；當直線l經(jīng)過AB的中點（3，﹣1）時，l的斜率為2+11-3l的方程為y﹣2=-32（x﹣1），即3x+2y﹣7＝故選：BD．【點評】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2025春?永州校級期末）已知點A（﹣5，4）和B（3，2），則過點C（﹣1，2）且與A，B的距離相等的直線方程為（）A．x+4y﹣7＝0 B．x﹣4y﹣7＝0 C．y=-14x-7【考點】點到直線的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；高考數(shù)學專題；能力層次．【答案】AD【分析】分兩種情況：過C且與AB平行的直線，利用直線的點斜式方程，直接求解即可；直線過C且經(jīng)過AB中點，因為AB中點（﹣1，3），所以直線方程：x＝﹣1．【解答】解：由題意知A、B、C不共線，所以有以下兩種情況：（1）直線過C且經(jīng)過AB的中點，由A（﹣5，4）、B（3，2），求得AB的中點是（﹣1，3），因為AB中點與點C橫坐標相等，所以直線方程為x＝﹣1；（2）直線經(jīng)過C且與AB平行，可得直線方程為y-2=-14(x+1)，化簡得x綜上所述，所求直線方程的方程為x＝﹣1或x+4y﹣7＝0．故選：AD．【點評】本題主要考查直線的方程、兩條直線平行與方程的關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?慈溪市期末）已知點P(2，-3)和直線l：x-3y+1＝0，則點P到l的距離為【考點】點到直線的距離公式．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】3．【分析】由點到直線的距離公式可得答案．【解答】解：點P(2，-3)到直線l：x-3y+1＝故答案為：3．【點評】本題考查點到直線的距離公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2025?方城縣校級開學）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是直線l：y＝2x+b上的兩點，若|x2﹣x1|＝3，求|AB|＝35【考點】兩點間的距離公式．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】35【分析】根據(jù)題設(shè)條件先求出|y2﹣y1|＝6，再利用兩點間的距離公式計算即得．【解答】解：因為A（x1，y1），B（x2，y2）在直線l上，由|x2﹣x1|＝3，得|y2﹣y1|＝|（2x2+b）﹣（2x1+b）|＝2|x2﹣x1|＝6，|AB故答案為：35【點評】本題主要考查了兩點間距離公式，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024秋?長寧區(qū)校級期末）已知點M（4，﹣1），點P是直線l：y＝2x+3上的任一點，則|PM|最小值為1255【考點】兩點間的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】可得|PM|最小值即為點M到直線l的距離，由點到直線的距離公式計算可得．【解答】解：由題意可得|PM|最小值即為點M到直線l的距離，由距離公式可得d=|2×4-(-1)+3|故答案為：125【點評】本題考查點到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題．12．（2025春?楊浦區(qū)校級月考）與兩平行直線l1：3x﹣y+9＝0，l2：3x﹣y﹣3＝0等距離的直線方程為3x﹣y+3＝0．【考點】點到直線的距離公式；兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】3x﹣y+3＝0．【分析】設(shè)出直線方程，利用點到直線的距離公式求解即可．【解答】解：與兩平行直線l1：3x﹣y+9＝0，l2：3x﹣y﹣3＝0等距離的直線方程設(shè)為3x﹣y+b＝0．可得|9-b|9+1=|所求直線方程為：3x﹣y+3＝0．故答案為：3x﹣y+3＝0．【點評】本題考查直線方程的求法，點到直線的距離公式的應用，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?良慶區(qū)校級期中）已知直線l：x﹣ay+2a﹣1＝0及點A（﹣2，2）．（1）若與l垂直的直線3x﹣my+2＝0過點A，求m與a的值；（2）若點A與點B（1，﹣1）到直線l的距離相等，求l的斜截式方程．【考點】點到直線的距離公式；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）m＝﹣2，a=（2）當a＝﹣1時，l的斜截式方程為y＝﹣x+3，當a＝1時，l的斜截式方程為y＝x+1．【分析】（1）由垂直關(guān)系及點在線上列出等式求解即可；（2）由點到線的距離公式列出等式，求解即可．【解答】解：（1）因為直線3x﹣my+2＝0過點A（﹣2，2），所以﹣6﹣2m+2＝0，解得m＝﹣2，因為3x+2y+2＝0與l垂直，即1×3+（﹣a）×2＝0，即a=（2）因為點A與點B（1，﹣1）到直線l的距離相等，則3a解得a＝±1，當a＝﹣1時，l的斜截式方程為y＝﹣x+3，當a＝1時，l的斜截式方程為y＝x+1．【點評】本題考查了直線的方程及直線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．14．（2024秋?武漢期中）已知△ABC的頂點A（4，2），邊AB上的中線CD所在直線方程為7x+2y﹣5＝0，邊AC上的高線BE所在直線方程為x+y﹣4＝0．（1）求邊BC所在直線的方程；（2）求△BCD的面積．【考點】點到直線的距離公式；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系；兩點間的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）11x+7y﹣4＝0；（2）272【分析】（1）利用AC⊥BE，求出直線AC的方程，聯(lián)立CD所在直線方程，解出C（1，﹣1），設(shè)B（x0，y0），利用中點坐標公式求解出D(4+x02，2+y02)，又因為B（x0，y0）在直線BE上，D在（2）利用點到直線的距離公式求解D（﹣1，6）到直線BC的距離，再用兩點間的距離求解出|BC|，從而求出△BCD的面積．【解答】解：△ABC的頂點A（4，2），邊AB上的中線CD所在直線方程為7x+2y﹣5＝0，邊AC上的高線BE所在直線方程為x+y﹣4＝0，（1）因為AC⊥BE，所以設(shè)直線AC的方程為：x﹣y+m＝0，將A（4，2）代入得m＝﹣2，所以直線AC的方程為：x﹣y﹣2＝0，聯(lián)立AC，CD所在直線方程：x-y-2=07x+2設(shè)B（x0，y0），因為D為AB的中點，所以D(因為B（x0，y0）在直線BE上，D在CD上，所以x0+y0﹣4＝0，x0解得x0＝﹣6，y0＝10，所以B（﹣6，10），B(-6所以BC所在直線的方程為：y+1=-117(x-1)，即11x（2）由（1）知點D（﹣1，6）到直線BC的距離為：d=又|BC|=(-6-1【點評】本題主要考查直線方程的求解，考查計算能力，屬于中檔題．15．（2024秋?湖北月考）直線l經(jīng)過兩直線l1：3x﹣y+1＝0和l2：3x+2y﹣2＝0的交點．（1）若直線l與直線x+2y+1＝0垂直，求直線l的方程．（2）若點A（4，2）到直線l的距離為4，求直線l的方程．【考點】點到直線的距離公式；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系．【專題】計算題；整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）2x﹣y+1＝0；（2）x＝0或y=-【分析】（1）求出兩直線交點坐標，再由垂直關(guān)系計算可得結(jié)果；（2）分斜率是否存在進行討論，利用點到直線距離公式計算可得結(jié)果．【解答】解：（1）由3x-y+1=03因為l與直線x+2y+1＝0垂直，所以設(shè)l：2x﹣y+λ＝0，將（0，1）代入得λ＝1，所以l的方程為2x﹣y+1＝0；（2）當l的斜率不存在時，l為x＝0，滿足題意；當l的斜率存在時，設(shè)l：y＝kx+1，則A（4，2）到直線l的距離為d=解得k=-158，此時直線l綜上，直線l的方程為x＝0或y=-【點評】本題考查了兩直線垂直的關(guān)系和點到直線的距離公式，屬于中檔題．

考點卡片1．兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系【知識點的認識】兩直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系：①如果兩條直線的斜率存在，設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1，k2，傾斜角分別為α1，α2，則有：兩直線平行?傾斜角α1＝α2?斜率k1＝k2②如果兩條直線的斜率都不存在，那么這兩條直線的傾斜角都為90°，這兩條直線平行．2．兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系【知識點的認識】在同一個平面中，直線的關(guān)系可能是相交、平行、重合；這個知識點中我們探討的是相交直線的一個特例，直線垂直．顧名思義，直線垂直就是兩條直線的夾角為90°．兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系：①當一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在