數(shù)學(xué)競(jìng)賽遼寧真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為：A.3B.-3C.2D.-2答案：A2.不等式|2x-1|<x+1的解集為：A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案：B3.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)為：A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)答案：C4.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值為：A.√2B.1C.2D.√3答案：A5.拋物線y=x^2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：A.(0,1/4)B.(1/4,0)C.(0,1/2)D.(1/2,0)答案：A6.數(shù)列1,3,7,13,...的通項(xiàng)公式為：A.2n-1B.n^2-n+1C.2n+1D.n^2+n-1答案：B7.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z^2的值為：A.2iB.-2C.2D.-2i答案：A8.直線y=kx+b與圓x^2+y^2=r^2相切，則k^2+b^2的值為：A.r^2B.2r^2C.r^4D.4r^2答案：A9.極限lim(x→0)(sin(x)/x)的值為：A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在答案：B10.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)的值為：A.-2B.2C.-5D.5答案：C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有：A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=x^3D.f(x)=1/x答案：AC2.下列不等式成立的有：A.log2(3)>log3(2)B.e^2>e^3C.sin(π/3)>cos(π/3)D.2^100>10^30答案：CD3.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有：A.f(x)=x^2B.f(x)=e^xC.f(x)=-xD.f(x)=log(x)答案：BD4.下列數(shù)列中，收斂的有：A.1,1/2,1/4,1/8,...B.1,-1,1,-1,...C.1,2,3,4,...D.1,1/3,1/5,1/7,...答案：AD5.下列復(fù)數(shù)中，模長(zhǎng)為1的有：A.1+iB.1-iC.-1+iD.i答案：BD6.下列直線中，與圓x^2+y^2=1相切的有：A.y=xB.y=-xC.y=1D.x=1答案：ABD7.下列極限存在的有：A.lim(x→0)(sin(x)/x)B.lim(x→∞)(x^2/x^3)C.lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)D.lim(x→0)(1/x)答案：ABC8.下列矩陣中，可逆的有：A.[[1,0],[0,1]]B.[[1,2],[2,4]]C.[[3,0],[0,3]]D.[[1,1],[1,1]]答案：AC9.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的有：A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=1/xD.f(x)=sin(x)答案：ABD10.下列命題正確的有：A.奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱C.任何函數(shù)都可表示為奇函數(shù)和偶函數(shù)的和D.函數(shù)f(x)=x^3在x=0處取得極值答案：ABD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x)=x^2在x=0處取得極小值。答案：正確2.不等式|2x-1|=x+1無(wú)解。答案：錯(cuò)誤3.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的半徑為4。答案：錯(cuò)誤4.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的周期為2π。答案：正確5.拋物線y=x^2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1/4。答案：正確6.數(shù)列1,3,7,13,...的通項(xiàng)公式為2n-1。答案：錯(cuò)誤7.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z^2的值為2。答案：錯(cuò)誤8.直線y=kx+b與圓x^2+y^2=r^2相切，則k^2+b^2=r^2。答案：正確9.極限lim(x→0)(sin(x)/x)的值為1。答案：正確10.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)的值為5。答案：錯(cuò)誤四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。答案：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得到x=0和x=2。計(jì)算f(-1),f(0),f(2),f(3)的值，分別為-1,2,0,3。因此，最大值為3，最小值為-1。2.求不定積分∫(x^2+1)/(x^2-1)dx。答案：使用部分分式分解，得到∫(x^2+1)/(x^2-1)dx=∫(1+2/(x^2-1))dx=∫1dx+∫2/(x^2-1)dx=x+∫2/(x-1)dx-∫2/(x+1)dx=x+ln|x-1|-ln|x+1|+C。3.求極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。答案：使用洛必達(dá)法則，得到lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=lim(x→0)(e^x-1)/2x=lim(x→0)e^x/2=1/2。4.求解線性方程組：x+y+z=62x-y+z=3x+2y-z=0答案：使用高斯消元法，將方程組化為行階梯形矩陣，得到x=1,y=2,z=3。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的單調(diào)性和極值。答案：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得到x=0和x=2。當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)00，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，x=0是極大值點(diǎn)，x=2是極小值點(diǎn)。2.討論函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的性質(zhì)。答案：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)是周期函數(shù)，周期為2π。函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，且在x=0處取得最大值√2，在x=π/4和x=5π/4處取得最小值-√2。3.討論數(shù)列1,3,7,13,...的通項(xiàng)公式。答案：觀察數(shù)列