二次根式知識點回顧與典型例題二次根式是初中代數(shù)中的重要內(nèi)容，它既是對前面所學平方根、算術(shù)平方根等概念的深化，也是后續(xù)學習一元二次方程、函數(shù)等知識的基礎(chǔ)。掌握二次根式的概念、性質(zhì)及運算，對于提升代數(shù)運算能力和解決綜合問題至關(guān)重要。本文將對二次根式的核心知識點進行系統(tǒng)回顧，并結(jié)合典型例題進行解析，旨在幫助同學們鞏固基礎(chǔ)，提升應用能力。一、二次根式的核心知識點回顧（一）二次根式的定義形如`√a(a≥0)`的式子叫做二次根式。其中，“√”稱為二次根號，根號下的數(shù)`a`叫做被開方數(shù)。關(guān)鍵點解讀：1.二次根式的雙重非負性：`√a`中，被開方數(shù)`a`必須是非負數(shù)（`a≥0`），同時二次根式`√a`本身也是非負數(shù)（`√a≥0`）。這是二次根式概念中最核心的內(nèi)涵，許多問題都源于此。2.“`√`”表示的是算術(shù)平方根，即結(jié)果為非負。（二）二次根式的基本性質(zhì)1.性質(zhì)1：`(√a)2=a(a≥0)`此性質(zhì)表明，一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身。利用此性質(zhì)可以將根號去掉，常用于化簡。2.性質(zhì)2：`√(a2)=|a|={a,a≥0;-a,a<0}`此性質(zhì)表明，一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。這里要特別注意`a`的符號對結(jié)果的影響，這是易錯點。3.積的算術(shù)平方根：`√(ab)=√a·√b(a≥0,b≥0)`即積的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的積。利用此性質(zhì)可以將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式開出來，進行二次根式的化簡。4.商的算術(shù)平方根：`√(a/b)=√a/√b(a≥0,b>0)`即商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商。同樣，此性質(zhì)也是二次根式化簡和運算的重要依據(jù)。（三）最簡二次根式滿足以下兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式：1.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；2.被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（即被開方數(shù)不含分母）?；喍胃降哪繕耍簩⑵浠癁樽詈喍胃?。這是進行二次根式加減運算的前提。（四）同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式。關(guān)鍵點：判斷同類二次根式的前提是它們都必須是最簡二次根式。同類二次根式可以像同類項一樣進行合并。（五）二次根式的運算1.加減法：先將各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并。合并方法與合并同類項類似，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變。2.乘法：`√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)`。二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變。運算結(jié)果要化為最簡二次根式。3.除法：`√a/√b=√(a/b)(a≥0,b>0)`。二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。運算結(jié)果要化為最簡二次根式。4.混合運算：遵循實數(shù)的運算順序和運算律（如交換律、結(jié)合律、分配律）。在運算過程中，能化簡的要先化簡，能使用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）的要盡量使用，以簡化運算。二、典型例題解析（一）利用二次根式的定義及雙重非負性解題例1：若式子`√(x-2)+√(3-x)`有意義，求`x`的取值范圍。分析：要使二次根式有意義，被開方數(shù)必須是非負數(shù)。因此，需同時滿足`x-2≥0`和`3-x≥0`。解答：由題意得：`x-2≥0`解得`x≥2``3-x≥0`解得`x≤3`所以，`x`的取值范圍是`2≤x≤3`。例2：已知`|a-1|+√(b+2)=0`，求`(a+b)^2023`的值。分析：絕對值和二次根式都是非負數(shù)，幾個非負數(shù)的和為零，則每個非負數(shù)都為零。解答：因為`|a-1|≥0`，`√(b+2)≥0`，且它們的和為0，所以`|a-1|=0`，`√(b+2)=0`。即`a-1=0`，`b+2=0`。解得`a=1`，`b=-2`。則`(a+b)^2023=(1-2)^2023=(-1)^2023=-1`。（二）利用二次根式的性質(zhì)化簡例3：化簡`√(x2-4x+4)`，其中`x<2`。分析：首先將被開方數(shù)化為完全平方式，即`x2-4x+4=(x-2)^2`。然后利用性質(zhì)`√(a2)=|a|`，再根據(jù)`x<2`判斷`x-2`的符號，去掉絕對值。解答：`√(x2-4x+4)=√[(x-2)^2]=|x-2|`因為`x<2`，所以`x-2<0`，因此`|x-2|=-(x-2)=2-x`。故原式化簡結(jié)果為`2-x`。（三）最簡二次根式與同類二次根式例4：下列二次根式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？若不是，請化為最簡二次根式。`√12`，`√(1/3)`，`√(a2b)(a>0)`，`√(x2+1)`分析：根據(jù)最簡二次根式的兩個條件進行判斷和化簡。解答：`√12`：被開方數(shù)12含能開得盡方的因數(shù)4（`12=4×3`），不是最簡二次根式?；啠篳√12=√(4×3)=√4×√3=2√3`。`√(1/3)`：被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式?；啠篳√(1/3)=√(3/9)=√3/√9=√3/3`。`√(a2b)(a>0)`：被開方數(shù)含能開得盡方的因式`a2`，不是最簡二次根式?；啠篳√(a2b)=√(a2)·√b=a√b(a>0)`。`√(x2+1)`：被開方數(shù)`x2+1`不含能開得盡方的因數(shù)或因式，且為整式，是最簡二次根式。例5：若`√(2m-1)`與`√(3m+2)`是同類二次根式，求`m`的值。分析：同類二次根式要求化成最簡后被開方數(shù)相同。這里兩個根式均為最簡形式（被開方數(shù)是一次式，無法再開方），因此直接令被開方數(shù)相等即可。解答：因為`√(2m-1)`與`√(3m+2)`是同類二次根式，所以`2m-1=3m+2`解得`m=-3`。經(jīng)檢驗，當`m=-3`時，`2m-1=-7`，`3m+2=-7`，被開方數(shù)為負數(shù)，二次根式無意義。因此，此題無解。點評：此題易忽略二次根式有意義的條件。同類二次根式的前提是二次根式本身有意義，即被開方數(shù)必須非負。因此，解出`m`后需進行檢驗。（四）二次根式的四則運算例6：計算`(√18-√(1/2)+√50)×√2`分析：先將括號內(nèi)的各二次根式化為最簡二次根式，再進行加減運算，最后與`√2`相乘。也可利用乘法分配律進行簡便運算。解答：方法一（先化簡括號內(nèi)）：`√18=3√2`，`√(1/2)=√2/2`，`√50=5√2`原式=`(3√2-√2/2+5√2)×√2`=`((3-1/2+5)√2)×√2`=`((8-1/2)√2)×√2`=`(15/2√2)×√2`=`15/2×(√2×√2)`=`15/2×2`=`15`方法二（乘法分配律）：原式=`√18×√2-√(1/2)×√2+√50×√2`=`√(18×2)-√((1/2)×2)+√(50×2)`=`√36-√1+√100`=`6-1+10`=`15`點評：方法二利用乘法分配律和`√a·√b=√(ab)`直接計算，過程更為簡便。例7：計算`(3√2-2√3)(3√2+2√3)`分析：觀察到式子符合平方差公式`(a-b)(a+b)=a2-b2`的形式，可以利用公式簡化計算。解答：原式=`(3√2)2-(2√3)2`=`9×2-4×3`=`18-12`=`6`（五）分母有理化例8：化簡`1/(√3-√2)`分析：分母中含有二次根式，需要進行分母有理化。通常利用平方差公式，分子分母同乘以分母的有理化因式`√3+√2`。解答：`1/(√3-√2)=(√3+√2)/[(√3-√2)(√3+√2)]=(√3+√2)/((√3)2-(√2)2)=(√3+√2)/(3-2)=√3+√2`三、小結(jié)二次根式的學習