第二章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CLinearAlgebra矩陣線性代數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C這一節(jié)我們介紹矩陣的初等變換,并在此基礎(chǔ)上,給出用初等變換求逆矩陣及解一般的多元線性方程組的方法.目錄/Contents第五節(jié)矩陣的初等變換e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、矩陣的等價一、初等變換和初等矩陣目錄/Contents第五節(jié)矩陣的初等變換三、用初等變換求逆矩陣四、用初等變換求解矩陣方程及線性方程組一、初等變換和初等矩陣

在中學(xué)代數(shù)中,我們已經(jīng)學(xué)過用消元法解二元、三元線性方程組,實際上,這一方法也適用于解更為一般多元線性方程組.

引例

解線性方程組(1)

解方程組(1)中第二個方程和第三個方程分別加上第一個方程的3-倍和

(2)

倍,得

1-一、初等變換和初等矩陣將方程組(2)中第二個方程和第三個方程交換,(3)方程組(3)中第三個方程加上第二個方程的7倍,(4)方程組(4)稱為階梯形方程組,其特點是自上而下的各個方程所含未知量個數(shù)依次減少.顯然方程組(1)與(4)等價.得得一、初等變換和初等矩陣從階梯形方程組(4)

的值,

的值代入(4)的第二個方程,

的值,

、

的值同時代入第一個方程,求得

的值,則得到原方程組(1)的解.下面我們把這一過程敘述如下:

方程組(4)中第三個方程乘以,得

(5)

方程組(5)中第一個方程和第二個方程分別加上第三個方程的2倍和

1倍,得

(6)

一、初等變換和初等矩陣方程組(6)中第一個方程加上第二個方程的倍,得(7)

顯然方程組(1)到(7)都是同解方程組,所以原方程組(1)的解為

以上解線性方程組的方法稱為高斯消元法.由原方程組(1)到階梯形方程組(4)稱為消元過程,由方程組(5)到(7)稱為回代過程.

一、初等變換和初等矩陣由消元法的求解過程可以看到,我們對方程組反復(fù)進(jìn)行如下三種變換:

1、對調(diào)兩個方程的位置;

2、用一個不等于零的數(shù)乘某一個方程;

3、把某一個方程的若干倍加到另一個方程上.

以上三種變換的每一種都稱為方程組的初等變換.

一、初等變換和初等矩陣由引例的求解過程可知,對方程組(1)進(jìn)行初等變換,相當(dāng)于對它的系數(shù)和右端項所構(gòu)成的增廣矩陣

的各行進(jìn)行相應(yīng)的變換,這種變換稱為矩陣的初等行變換.對矩陣的變換除了初等行變換外,還有初等列變換.下面我們引入矩陣初等變換的定義.

一、初等變換和初等矩陣定義2.17

以下三種變換稱為矩陣的初等變換:

（1）對調(diào)矩陣的兩行（列）（對調(diào)第i、j兩行,記作,對調(diào)第i、j兩列,記作）;

（2）用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）（用數(shù)乘第i行,記作,用數(shù)乘第i列,記作）;

（3）把矩陣的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上（第j行的k倍加到第i行上,記作,第j列的k倍加到第i列上,記作）.

一、初等變換和初等矩陣定義2.18

由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣,稱為初等矩陣.

因為初等變換有三種,所以初等矩陣也有三類,以下是與上述三種初等變換相對應(yīng)的三類初等矩陣.

(1)

對調(diào)單位矩陣的第i、j兩行（列）,得初等矩陣記為

例如3階矩陣

一、初等變換和初等矩陣(2)用數(shù)乘單位矩陣的第i行（列）,得初等矩陣,例如三階矩陣

(3)把單位矩陣的第j行(第i列)的k倍加到第i行(第j列)上,得初等矩陣,例如三階矩陣一、初等變換和初等矩陣三類初等矩陣都是可逆矩陣,而且可以驗證:

由此可見初等矩陣的逆矩陣仍然是同類初等矩陣.

對以上三類初等矩陣分別求行列式,可得一、初等變換和初等矩陣矩陣的初等變換與初等矩陣有著非常密切的關(guān)系,這種關(guān)系可以由以下定理給出.

定理2.2

設(shè)A為矩陣,若對A作一次初等行變換,則相當(dāng)于在A的左邊乘上一個相應(yīng)的m階初等矩陣;若對A作一次初等列變換,則相當(dāng)于在A的右邊乘上一個相應(yīng)的n階初等矩陣.

一、初等變換和初等矩陣?yán)?0設(shè),

設(shè)對A施以第(1)種初等行變換,例如交換A的第一行與第二行,有一、初等變換和初等矩陣另一方面,表示交換的第一行與第二行得出的第(1)種初等矩陣,則用左乘A,有

可以驗證,同樣可以驗證,對第(2),(3)種初等行變換,均有:“對A施以某種初等行變換,等于用同種初等矩陣左乘A”.

一、初等變換和初等矩陣設(shè)對A施以第(3)種初等列變換,例如將A的第三列乘2加于第一列,有

另一方面,表示將的第三列乘2加于第一列得出的第(3)種初等矩陣.用右乘A,有

可以驗證.同樣可以驗證,對第(1),(2)種初等變換均有:“對A施以某種初等列變換,等于用同種初等矩陣右乘A”.

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、矩陣的等價一、初等變換和初等矩陣目錄/Contents第五節(jié)矩陣的初等變換三、用初等變換求逆矩陣四、用初等變換求解矩陣方程及線性方程組二、矩陣的等價定義2.19

若矩陣A經(jīng)有限次初等變換化為矩陣B,則稱矩陣A與B等價,記作.

矩陣的等價具有以下性質(zhì):

其中A、B、C均為矩陣.

反身性:;

性質(zhì)1

對稱性:若,則;

性質(zhì)2

傳遞性:若,,則.

性質(zhì)3二、矩陣的等價

性質(zhì)4矩陣A與B等價的充要條件:

,

證明,則必存在有限個初等矩陣、、…、和、、…、,

使得

其中,.二、矩陣的等價例31已知

對矩陣A進(jìn)行初等行變換

.二、矩陣的等價

矩陣B稱為行階梯形矩陣,(1)自上而下的各行中,第一個非零元素左邊零的個數(shù)依次增加,使非零行呈階梯形,且

每個階梯僅有一行;

(2)元素全為零的行(若有的話)都位于矩陣的最下面.

其特點是:二、矩陣的等價

繼續(xù)對上面的行階梯形矩陣B進(jìn)行初等行變換

上面矩陣C稱為行最簡形矩陣.其特點是:

(1)

具有行階梯形矩陣的特點;

(2)

每一行第一個非零元素都為1,且該元素所在列的其余元素都為0.

二、矩陣的等價

對上面的行最簡形矩陣C進(jìn)行初等列變換

上面矩陣D稱為A的等價標(biāo)準(zhǔn)形(簡稱標(biāo)準(zhǔn)形),其特點是左上角是一個單位矩陣,其余元素都為0.

二、矩陣的等價

定理2.3任何一個矩陣A總可以經(jīng)過有限次行初等行變換化為行階梯形矩陣,并進(jìn)一步化為行最簡行矩陣.

定理2.4任何一個矩陣A都有等價標(biāo)準(zhǔn)形,矩陣A與矩陣B等價,當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的等價標(biāo)準(zhǔn)形.

定理2.5

n階方陣A可逆的充分必要條件是.

二、矩陣的等價

定理2.5

n階方陣A可逆的充分必要條件是.

證明必要性

設(shè)n階方陣A可逆,則由定理2.3可知,A一定等價于n階標(biāo)準(zhǔn)形矩陣D,即.所以必存在有限個初等矩陣、、…、和、、…,使得

由于方陣A可逆及這些初等矩陣均可逆,則矩陣D可逆,所以,這說明D中沒有任何一行任何一列的元素全為零,即D的主對角元素全為1,故,所以A與I等價,即.

二、矩陣的等價

充分性設(shè),則必存在有限個初等矩陣和、、…、,、、…、,

使得,

對上式兩邊取行列式,

得,

所以,即為可逆矩陣.

二、矩陣的等價

定理2.6

n階方陣A可逆的充分必要條件是它可以表示成若干個初等矩陣的乘積.證明

必要性設(shè)A為n階可逆陣,則由定理2.4可知,,從而,因此存在有限個初等矩陣和、、…、,、、…、,使得

,

即

所以A可以表示成若干個初等矩陣的乘積.

充分性

設(shè)A可以表示成若干個初等矩陣的乘積,而初等矩陣是可逆的,且可

逆矩陣的乘積仍是可逆的,所以A是可逆矩陣.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、矩陣的等價一、初等變換和初等矩陣目錄/Contents第五節(jié)矩陣的初等變換三、用初等變換求逆矩陣四、用初等變換求解矩陣方程及線性方程組三、用初等變換求逆矩陣如果A可逆,則也可逆,根據(jù)定理2.6,可以表示成若干個初等矩陣的乘積.不妨假定存在m個初等矩陣

,使得

,

上式同時右乘A得以及利用分塊矩陣把以上兩式合并為

三、用初等變換求逆矩陣因此,若方陣A可逆,則分塊矩陣經(jīng)有限次初等行變換一定可以化為分塊矩陣,

即.

類似地,我們可以推出用初等列變換求n階可逆矩陣A的逆矩陣的方法.

.三、用初等變換求逆矩陣?yán)?3

解

.

所以

.

設(shè),求.三、用初等變換求逆矩陣?yán)?4

判斷下列矩陣是否可逆,若可逆求其逆矩陣

解

由于左邊一個方陣最后一行為全零行,所以矩陣A不可逆.

,三、用初等變換求逆矩陣?yán)?5設(shè)的行最簡形矩陣為F,求F,并求一個可逆矩陣P,使.

解把A用初等行變換化成行最簡形矩陣,即為F.但需求出P,故按上段所述,對作初等行變換把A化成行最簡形矩陣,便同時得到F和P.

三、用初等變換求逆矩陣故為A的行最簡形矩陣,而可逆矩陣.

上述解中所得,可繼續(xù)作初等行變換,則F不變而由此可知本例中使的可逆矩陣P不是惟一的.

P變.

注e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、矩陣的等價一、初等變換和初等矩陣目錄/Contents第五節(jié)矩陣的初等變換三、用初等變換求逆矩陣四、用初等變換求解矩陣方程及線性方程組四、用初等變換求解矩陣方程及線性方設(shè)矩陣方程

其中A是n階方陣,X是矩陣（未知）,B是矩陣.

若A可逆,則.

先構(gòu)造矩陣然后對矩陣進(jìn)行初等行變換,當(dāng)左側(cè)矩陣A化為單位矩陣I時,則右側(cè)矩陣B就化為,即

四、用初等變換