第四章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CLinearAlgebra線性方程組線性代數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解一、齊次線性方程組解的性質(zhì)目錄/Contents第二節(jié)齊次線性方程組及其

基礎(chǔ)解系一、齊次線性方程組解的性質(zhì)為了方便起見(jiàn),我們運(yùn)用齊次線性方程組的矩陣形式（4.5）來(lái)討論齊次線性方程組解的性質(zhì):

性質(zhì)1若,是齊次線性方程組（4.5）的兩個(gè)解,則也是齊次線性方程組（4.5）的解.

證由條件,,,,

所以也是方程組（4.5）的解.

于是有一、齊次線性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)2若是齊次線性方程組（4.5）的解,l是任意實(shí)數(shù),則也是齊次線性方程組（4.5）的解.

若是齊次線性方程組（4.5）的解,是任意實(shí)數(shù),則也是齊次線性方程組（4.5）的解.性質(zhì)3e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解一、齊次線性方程組解的性質(zhì)目錄/Contents第二節(jié)齊次線性方程組及其

基礎(chǔ)解系二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解定義4.1設(shè)V表示齊次線性方程組（4.4）的全體解向量所構(gòu)成的集合,

是V中的一部分解向量,1.

線性無(wú)關(guān);

2.方程組（4.4）式的任意一個(gè)解向量均可由

線性表示.

則稱

為方程組（4.4）的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

當(dāng)齊次線性方程組（4.4）的系數(shù)矩陣A秩時(shí),方程組（4.4）此時(shí)方程組（4.4）不存在基礎(chǔ)解系.如果滿足:注僅有零解,二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解當(dāng)時(shí),定理4.3如果齊次線性方程組（4.4）的系數(shù)矩陣A的秩,則方程組（4.4）必存在基礎(chǔ)解系,且它的任意一個(gè)基礎(chǔ)解系中的解向量個(gè)數(shù)為.

方程組（4.4）的基礎(chǔ)解系是否存在？若存在，如何求解？證

設(shè)系數(shù)矩陣A的秩,則A中必有一個(gè)r階子式,不妨設(shè)A的左上角的r階子式,即

,二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解則系數(shù)矩陣A經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q后一定可化為一個(gè)行最簡(jiǎn)形式的矩陣,

.

即二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解于是得到方程組（4.4）的一個(gè)同解方程組

,

（4.7）

其中稱之為自由未知量（可以任意取值的未知量）,若對(duì)它們分別?。ü灿薪M）,

二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解則由方程組（4.7）可求得方程組（4.4）的個(gè)解

.

二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解下面我們證明就是方程組（4.4）的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

因?yàn)樗〉膫€(gè)維向量

,

所以它們的加維向量組也線性無(wú)關(guān).

線性無(wú)關(guān),因而z也是方程組（4.7）的解,

二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解設(shè)是方程組（4.4）的任意一個(gè)解,因此把代入方程組（4.7）z,得用列向量表示上述結(jié)果,

,

即

.

這就說(shuō)明方程組（4.4）的任意一個(gè)解可由解向量線性表示,就是方程組（4.4）的一個(gè)基礎(chǔ)解系.所二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解有二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解如果是方程組（4.4）的一個(gè)基礎(chǔ)解系,一解可表示為:

.由于它包含了方程組（4.4）的所有解,所以就稱它為方程組（4.4）的通解.

則方程組（4.4）的任其中是任意實(shí)數(shù),二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解例7,求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系并寫出它的通解.

,

解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換:

,

二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解于是得到同解方程組,對(duì)自由未知量分別取

,代入同解方程組,得

從而得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,

因此該方程組的通解為

,

（為任意實(shí)數(shù)）

二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解例8當(dāng)參數(shù)a為何值時(shí),齊次線性方程組

有非零解,并求通解.

解由克萊姆法則,系數(shù)行列式,即時(shí),方程組有非零解.

二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換:

于是得到同解方程組,對(duì)自由未知量取1,代入同解方程組,得.從而得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系:,因此該方程組的通解為

,（k為任意實(shí)數(shù)）.

二、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解例9設(shè)A為矩陣,是A的轉(zhuǎn)置矩陣,證明:.

證

若能證明齊次線性方程組與是同解方程,則根據(jù)定理4.3得,即.

顯然齊次線性方程組的解也是的解.

設(shè)b是的解,則,得,由內(nèi)積的性質(zhì)得,所以齊次線性方程組與是同解方程.則.即b是的解.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C28318