第六章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CLinearAlgebra二次型線性代數(shù)第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形在二次型的討論中,非常重要的問(wèn)題之一就是:一個(gè)一般形式的實(shí)二次型可否等價(jià)轉(zhuǎn)化為只包含平方項(xiàng)的二次型?本小節(jié)將回答這個(gè)問(wèn)題,并介紹常用的轉(zhuǎn)化方法。

若二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換轉(zhuǎn)化為如下只包含平方項(xiàng)的形式

,（6.4）

則稱（6.4）式為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.

易知,標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的矩陣為對(duì)角陣.

我們介紹兩類化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的常用方法:正交變換法、配方法。

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、配方法一、正交變換法目錄/Contents第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、規(guī)范形與慣性指數(shù)一、 正交變換法

若線性變換中矩陣C為正交矩陣,則稱為正交變換.在各種線性變換中,正交變換具有很多優(yōu)點(diǎn),具有幾何不變性.

已知實(shí)對(duì)稱矩陣必存在正交矩陣使為對(duì)角矩陣.只要作正交變換,二次型就可化為標(biāo)準(zhǔn)形.

定理6.1

任意n元實(shí)二次型=,都存在正交變換,使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形

,

其中是矩陣的特征值.

一、 正交變換法例4

用正交變換把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出相應(yīng)的正交變換,

解

二次型的矩陣為

,

其特征多項(xiàng)式為

所以A的特征值為.

.

一、 正交變換法

將代入方程組

解得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

再將代入上述方程組解得一個(gè)特征向量

一、 正交變換法對(duì)施行正交化得

再將單位化得

取正交陣,作正交變換,

則二次型成為標(biāo)準(zhǔn)形.

一、 正交變換法

例5已知二次型在正交變換下得到標(biāo)準(zhǔn)形為,求a的值及正交矩陣Q.

解

二次型的矩陣為

,

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形可知A有零特征值,故,得到.

一、 正交變換法令得特征值為.

將代入

解得特征向量

,

一、 正交變換法分別將代入上述方程組求解得到相應(yīng)特征向量

.

由于已正交化,只需單位化,得到正交矩陣

二次型經(jīng)過(guò)正交變換X=QY即可得到標(biāo)準(zhǔn)形.

一、 正交變換法例6試把二次曲線轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形.

解

記,其矩陣為.該矩陣的特征多項(xiàng)式為

可知其特征值分別為2,4,對(duì)應(yīng)的特征,.

向量分別為一、 正交變換法記,可知Q矩陣為正交矩陣.令,則故二次曲線方程可轉(zhuǎn)化為,即.根據(jù)正交變換的幾何不變性可知,二次曲線刻畫(huà)的是半軸長(zhǎng)分別為2,的橢圓形.

,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、配方法一、正交變換法目錄/Contents第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、規(guī)范形與慣性指數(shù)二、配方法配方法是一種配完全平方的初等方法.下分兩種情況舉例說(shuō)明.

1．如果二次型中,某個(gè)變量平方項(xiàng)的系數(shù)不為零,如有,先將含有的所有項(xiàng)集中,配成平方項(xiàng);再對(duì)其它含平方項(xiàng)的變量配方,直到所有變量都配成平方和的形式.

2．如果二次型中沒(méi)有平方項(xiàng),而有某個(gè),則可作線性變換

,

化成含有平方項(xiàng)的二次型,然后再配方.二、配方法例7

用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.

解因?yàn)?.

令即,

二次型化為

.

對(duì)配方得二、配方法再對(duì)配方得

令,即

,于是二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形

.

.

二、配方法將兩次線性變換表示為矩陣形式:

,C1=,

,C2=,

其中,故,所以系數(shù)

矩陣為=.

二、配方法例8用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.

解

注意該二次型不包含平方項(xiàng),因此我們首先進(jìn)行如下線性變換

,

得到.對(duì)配方得,

.

二、配方法令,即,

可得標(biāo)準(zhǔn)形同時(shí)也是規(guī)范形:.

兩次線性變換的矩陣分別為,,

故線性變換的矩陣為

.=

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、配方法一、正交變換法目錄/Contents第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、規(guī)范形與慣性指數(shù)三、規(guī)范形與慣性指數(shù)通過(guò)例4和例7,對(duì)二次型進(jìn)行不同的可逆線性變換,得到不同形式的標(biāo)準(zhǔn)形:

.

由此可見(jiàn),一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的.觀察得到,在標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)相同,同時(shí)負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)也相同.這并非偶然.

三、規(guī)范形與慣性指數(shù)定義6.3

形如,的標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型的規(guī)范形.

根據(jù)定義,規(guī)范形即系數(shù)為1,-1,0的標(biāo)準(zhǔn)形.任何一個(gè)二次型都可以化為規(guī)范形.首先利用正交變換法或者配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形

然后把其中的湊成平方數(shù)再作線性變換即可.

三、規(guī)范形與慣性指數(shù)例9

將例4中的標(biāo)準(zhǔn)形化成規(guī)范形.

解

對(duì)二次型作線性變換

,

則二次型的規(guī)范形為.

三、規(guī)范形與慣性指數(shù)

定理6.2（慣性定理）任何一個(gè)實(shí)二次型都可以經(jīng)過(guò)可逆線性變換化為規(guī)范形,且規(guī)范形是唯一的.（證明從略）

定義6.4

實(shí)二次型的規(guī)范形中,正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱為正慣性指數(shù),負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)

數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù),符號(hào)差.

根據(jù)慣性定理,任何實(shí)對(duì)稱矩陣都合同于對(duì)角矩陣

且此對(duì)角矩陣唯一,其中r是矩陣A的秩,p,r-p分別為正負(fù)慣性指數(shù).

正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)之差稱為二次型的三、規(guī)范形與慣性指數(shù)推論

設(shè)A,B均為實(shí)對(duì)稱矩陣,A與B合同當(dāng)且僅當(dāng)A與B具有相同的慣性指數(shù).

從化標(biāo)準(zhǔn)形為規(guī)范形的過(guò)程看到,標(biāo)準(zhǔn)形中正（或負(fù)）平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)就是正（或負(fù)）慣性指數(shù).雖然一個(gè)二次型有不同形式的標(biāo)準(zhǔn)形,但每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形中所含正（或負(fù)）平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是一樣的.

三、規(guī)范形與慣性指數(shù)例10設(shè)二次型的正負(fù)慣性指數(shù)均為1,求和常數(shù)a.

解

根據(jù)慣性指數(shù)可得,

的規(guī)范形為

,

且秩為2.,

由于秩為2,則,可得或者.若則A的秩為1,矛盾;故.

二次型矩陣為e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF