2025-2026學(xué)年江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將一元二次方程(x?1)2=7化成一般形式，正確的是A.x2?2x+6=0 B.x2?2x?6=0 C.2.若關(guān)于x的方程2(x?4)2=m+3有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是A.m≥0 B.m>?3 C.m≥3 D.m≥?33.有下列說(shuō)法：(1)三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；(2)等弧所對(duì)的圓心角相等；(3)相等的圓心角所對(duì)的弦相等；(4)三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等；(5)外心在三角形的一邊上的三角形是直角三角形；其中正確的有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4.如圖，⊙O的半徑為5，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為D，且CD=1，則AB的長(zhǎng)為(

)A.3

B.6

C.8

D.105.如圖，在扇形OAC中，B是AC上一點(diǎn)，且AB、BC分別是⊙O的內(nèi)接正六邊形、內(nèi)接正五邊形的邊，則∠B的度數(shù)為(

)A.96°

B.104°

C.114°6.若x=29?32，則xA.6 B.?6 C.?4 D.4二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。7.若關(guān)于x的一元二次方程(a+3)x2+4x+a2?9=0的一個(gè)根是08.方程3x(x?2)=x?2的根是

.9.某廠2022年和2024年的利潤(rùn)分別為15300萬(wàn)元與18680萬(wàn)元，設(shè)該廠利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)題意可列方程

.10.已知α、β是方程x2?3x?1=0的兩個(gè)根，則α2+3β=11.如圖，AB是半圓O的直徑，∠ABD=32°，點(diǎn)C是BD上一點(diǎn)(不與B，D重合)，則∠DCB=

12.已知⊙O的半徑為134，圓心O到某直線的距離為10，則該直線與⊙O的位置關(guān)系是

.13.如圖，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD=9，DC與⊙O相切于點(diǎn)C，連接AC，且AC=DC，則BD的長(zhǎng)為

.

14.如圖，圓錐的底面半徑OB=6cm，高OC=8cm，則該圓錐的側(cè)面積是

cm2

15.如果關(guān)于x的方程x3+ax2+bx+c=0的根分別為?2，1，3，那么a16.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=4，將AB沿著弦AB翻折后，恰好經(jīng)過(guò)弦AC的中點(diǎn)D，則弦BC的長(zhǎng)為

.

三、解答題：本題共10小題，共88分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題8分)

用兩種方法解一元二次方程：x218.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x?a?2=0(a≠0).

(1)求證：該方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，則19.(本小題8分)

某公司應(yīng)用AI技術(shù)，制作一款3D打印的“青龍”文創(chuàng)產(chǎn)品，平均每天可以售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，公司采取了降價(jià)措施.假設(shè)在一定范圍內(nèi)，“青龍”的單價(jià)每降1元，公司平均每天可多售出2件.如果降價(jià)后公司銷售這批“青龍”每天可盈利1250元，那么“青龍”的單價(jià)降了多少元？20.(本小題8分)

如圖，在⊙O中，兩條弦AC與BD相交于點(diǎn)M，且AC=BD，連接MO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E.求證：

(1)MA=MB；

(2)MO平分∠AMB.21.(本小題8分)

如圖，一幅書畫在裝裱前的尺寸大小是12dm×7dm，裝裱后上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，且上邊襯寬度是左邊襯寬度的一半.若裝裱前的面積是裝裱后面積的34，求左邊襯的寬度.22.(本小題8分)

如圖是由小正方形組成的6×8網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，A，B，C為三個(gè)格點(diǎn).僅用無(wú)刻度直尺在網(wǎng)格中完成作圖.(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說(shuō)明)

(1)在圖①中，畫出△ABC的外心O；

(2)在圖②中，畫出△ABC的內(nèi)心P.23.(本小題10分)

如圖是一張長(zhǎng)40cm、寬24cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個(gè)無(wú)蓋紙盒.

(1)這個(gè)無(wú)蓋紙盒的長(zhǎng)為______cm，寬為______cm；(用含x的式子表示)；

(2)若要制成一個(gè)底面積是720cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，求x的值；

(3)當(dāng)x為______時(shí)，該長(zhǎng)方體紙盒的容積是2048cm24.(本小題8分)

如圖，CD為⊙O的直徑，D為△ABC邊AB上的中點(diǎn)，且∠ACB=90°，△ABC的兩邊CA，CB分別交⊙O于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E.

(1)判斷直線ME與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若OC=2.5，AM=4，則AE的長(zhǎng)為______.25.(本小題10分)

閱讀材料；

①用配方法分解因式：a2+6a+8.

解：原式=a2+6a+9?1=(a+3)2?1=(a+3+1)(a+3?1)=(a+4)(a+2).

②已知M=a2?2a?1，利用配方法求M的最小值.

解：M=a2?2a?1=a2?2a+1?2=(a?1)2?2，

∵(a?1)2≥0，∴(a?1)2?2≥?2，答案和解析1.【答案】B

【解析】解：(x?1)2=7，

x2?2x+1=7，

x2?2x+1?7=0，

x22.【答案】D

【解析】解：∵關(guān)于x的方程2(x?4)2=m+3有實(shí)數(shù)根，

∴m+3≥0，

解得：m≥?3，

故選：D.

根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可．

3.【答案】C

【解析】解：(1)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本小題說(shuō)法錯(cuò)誤；

(2)等弧所對(duì)的圓心角相等，說(shuō)法正確；

(3)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，故本小題說(shuō)法錯(cuò)誤；

(4)三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，說(shuō)法正確；

(5)外心在三角形的一邊上的三角形是直角三角形，說(shuō)法正確；

則正確的有3個(gè)，

故選：C.

根據(jù)確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、三角形的內(nèi)心的定義、三角形的外心的定義判斷即可．

本題考查的是確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、三角形的內(nèi)心的定義、三角形的外心的定義，掌握相關(guān)的定理、定義是解題的關(guān)鍵．4.【答案】B

【解析】解：連接OA，

∵OC⊥AB，

∴AB=2AD，

∵OC=5，CD=1，

∴OD=OC?CD=4，

∴AD=OA2?OD2=52?42=3，

∴AB=2AD=2×3=6.

故選：B.

連接OA，由垂徑定理得到5.【答案】C

【解析】解：連接OB，

∵AB、BC分別是⊙O的內(nèi)接正六邊形、內(nèi)接正五邊形的邊，

∴∠AOB=360°÷6=60°，∠BOC=360°÷5=72°，

∵OA=OB，OB=OC，

∴∠OBA=∠OAB=60°，∠OBC=∠OCB=54°，

∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=114°，6.【答案】D

【解析】解：原式變形為：2x+3=29.

兩邊同時(shí)平方可得：(2x+3)2=(29)2，即4x2+12x+9=29，即4x2+12x?20=0，

兩邊同時(shí)除以4得：x2+3x?5=0，即x2+3x=5；7.【答案】?3

【解析】解：把x=0代入一元二次方程(a+3)x2+4x+a2?9=0得a2?9=0，

解得a1=3，a2=?3，

∵a+3≠0，

∴a=?3.

故答案為：?3.8.【答案】x1=2，【解析】解：3x(x?2)=x?2，

3x(x?2)?(x?2)=0，

(x?2)(3x?1)=0，

x?2=0或3x?1=0，

所以x1=2，x2=13.

故答案為：x1=2，x2=13.

9.【答案】15300(1+x)【解析】解：根據(jù)題意得：15300(1+x)2=18680.

故答案為：15300(1+x)2=18680.

利用該廠2024年的利潤(rùn)=該廠2022年的利潤(rùn)×(1+該廠利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率10.【答案】10

【解析】解：由條件可知α2?3α?1=0，

∴α2=3α+1，

∴α2+3β=3α+3β+1，

∴α2+3β=3α+3β+1=3×3+1=10，

故答案為：11.【答案】122

【解析】解：∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABD=32°，

∴∠DAB=58°，

由題可知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠DCB=180°?DAB=122°；

故答案為：12.【答案】相交

【解析】解：∵(134)2=16916=10916，(10)2=10，10916>10，

∴13.【答案】3

【解析】解：連接OC、BC，

∵AC=DC，

∴∠A=∠D，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°，

∴∠ACO=∠BCD=90°?∠OCB，

∴∠A=∠ACO=∠BCD=∠D，

∴BC=BD，∠ABC=2∠D=2∠A，

∴∠A+∠ABC=3∠A=90°，

∴∠A=30°，∠ABC=60°，

∴△OBC為等邊三角形，

∴OB=BC=BD=OA，

∵AD=9，

∴3BD=9，

∴BD=3；

故答案為：3.

由題易得14.【答案】60π

【解析】【分析】

此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式求法，正確的記憶圓錐側(cè)面積公式是解決問題的關(guān)鍵．首先根據(jù)底面半徑OB=6cm，高OC=8cm，求出圓錐的母線長(zhǎng)，再利用圓錐的側(cè)面積公式求出即可．

【解答】

解：∵它的底面半徑OB=6cm，高OC=8cm.

∴BC=82+62=10(cm)，15.【答案】?2

【解析】解：x3+ax2+bx+c=0的根分別為?2，1，3，

代入得?8+4a?2b+c=01+a+b+c=027+9a+3b+c=0，

解得a=?2.16.【答案】2【解析】解：連接BD，作BE⊥AC于點(diǎn)E，則∠AEB=∠BEC=90°，

∵將AB沿著弦AB翻折后，恰好經(jīng)過(guò)弦AC的中點(diǎn)D，

∴∠BAD=∠BAC，

∵BD與BC所對(duì)的圓周角相等，

∴BD=BC，

∴BD=BC，

∴DE=CE，

∵AB=AC=4，

∴AD=CD=12AC=2，

∴DE=CE=12CD=1，

∴AE=AD+DE=3，

∴BE=AB2?AE242?32=7，

∴BC=BE2+CE2=(7)2+17.【答案】x1=1，【解析】解：法一，

x2?4x+3=0，

(x?1)(x?3)=0，

則x?1=0或x?3=0，

所以x1=1，x2=3；

法二，

x2?4x+3=0，

x2?4x+4=?3+4，

(x?2)2=1，

則x?2=±1，18.【答案】：∵Δ=22?4a(?a?2)

=4a2+8a+4

=4(a+1)【解析】(1)證明：∵Δ=22?4a(?a?2)

=4a2+8a+4

=4(a+1)2≥0，

∴該方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=?2a，x1x2=?a?2a，

(x1?1)(x2?1)=x1x19.【答案】“青龍”的單價(jià)降了15元．

【解析】解：設(shè)“青龍”的單價(jià)降了x元，則公司平均每天售出(20+2x)件，

由題意得：(40?x)(20+2x)=1250，

整理得：x2?30x+225=0，

解得：x1=x2=15，

答：“青龍”的單價(jià)降了15元．

設(shè)“青龍”的單價(jià)降了x20.【答案】證明見解析．

【解析】證明：(1)∵AC=BD，

∴AC=BD，

∴AD=BC，

∴∠A=∠B，

∴MA=MB；

(2)過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，ON⊥BD于點(diǎn)N，

∴AF=12AC，BN=12BD，

∵AC=BD，

∴AF=BN，

∵M(jìn)A=MB，

∴MF=MN，

在Rt△MFO和Rt△MNO中，

OM=OMMF=MN，

∴Rt△MFO≌Rt△MNO(HL)，

∴∠AME=∠BME，

∴MO平分∠AMB.

(1)根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等證得∠A=∠B，進(jìn)而證得結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)21.【答案】左邊襯的寬度為1dm.

【解析】解：設(shè)左邊襯的寬度為xdm，則上邊襯的等寬為12xdm，

根據(jù)題意得：(12+2x)(7+2×12x)×34=12×7，

整理得：x2+13x?14=0，

解得：x1=?14(不符合題意，舍去)，x2=122.【答案】如圖①中，點(diǎn)O即為所求；

如圖②中，點(diǎn)P即為所求

【解析】(1)如圖①中，點(diǎn)O即為所求；

(2)如圖②中，點(diǎn)P即為所求．

(1)線段AB的垂直平分線與AC的交點(diǎn)O即為所求；

(2)取格點(diǎn)E，F(xiàn)，作射線CE，BF交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．

本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．23.【答案】(40?2x)，(24?2x)；

x=2；

4cm

【解析】(1)用一張長(zhǎng)40cm、寬24cm的矩形紙板，將四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的正方形，制成一個(gè)無(wú)蓋紙盒，這個(gè)無(wú)蓋紙盒的長(zhǎng)為(40?2x)cm，寬為(24?3x)cm，

故答案為：(40?2x)，(24?2x)；

(2)由題意得，(40?2x)(24?2x)=720，

解得x1=2，x2=30(舍去)，

所以x=2；

(3)這個(gè)長(zhǎng)方體的紙盒的長(zhǎng)(40?2x)cm，寬為(24?2x)cm，高為xcm，由題意得，

x(40?2x)(24?2x)=2048，

解得x=4，

故答案為：4cm.

(1)根據(jù)長(zhǎng)方體表面展開圖的特征得出答案即可；

(2)根據(jù)底面積的計(jì)算方法列方程求解即可；

24.【答案】直線ME與⊙O相切；

理由：在Rt△ACB中，D是斜邊AB中點(diǎn)，

∴CD=12AB=AD，

∵CD是直徑，

∴∠CMD=90°，即DM⊥AC，

∴M是AC中點(diǎn)，

∵O是CD中點(diǎn)，

∴OM是△CAD的中位線，

∴OM//AD，

∵M(jìn)E⊥AD，

∴OM⊥ME，

∵OM為半徑，

∴直線ME與⊙O【解析】(1)直線ME與⊙O相切；

理由：在Rt△ACB中，D是斜邊AB中點(diǎn)，

∴CD=12AB=AD，

∵CD是直徑，

∴∠CMD=90°，即DM⊥AC，

∴M是AC中點(diǎn)，

∵O是CD中點(diǎn)，

∴OM是△CAD的中位線，

∴OM//AD，

∵M(jìn)E⊥AD，

∴OM⊥ME，

∵OM為半徑，

∴直線ME與⊙O相切；

(2)∵OC=2.5，AM=4，

∴CD=5，AC=8，

∴AB=2CD=10，

∵∠A=∠A，∠AEM=∠ACB=90°，

∴△AEM∽△ACB，