第1頁/共1頁2022北京五十七中高一12月月考數(shù)學第一部分（選擇題共40分）一?選擇題（共10個題，每題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．）1.設，，則（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調遞增的是．A. B. C. D.3.已知函數(shù)，那么值是（）A.0 B.1 C. D.4.對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）與二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐標系內的圖象可能是（）A B.C. D.5.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是A. B. C. D.6.已知且，則“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A. B. C.5 D.108.已知函數(shù)，若f(x)在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(，1] B.[，] C.(，+∞) D.[1，2]9.函數(shù)在單調遞增，且關于對稱，若，則的的取值范圍是（）A. B.C. D.10.重慶有一玻璃加工廠，當太陽通過該廠生產的某型防紫外線玻璃時，紫外線將被過濾為原來的，而太陽通過一塊普通的玻璃時，紫外線只會損失10％，設太陽光原來的紫外線為，通過x塊這樣的普通玻璃后紫外線為y，則，那么要達到該廠生產的防紫外線玻璃同樣的效果，至少通過這樣的普通玻璃塊數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.9 B.10 C.11 D.12第二部分（非選擇題共110分）二?填空題（共8題，每題4分，共32分）11.函數(shù)的零點個數(shù)是__________．12.函數(shù)的定義域是__________．13.已知，則的大小關系是___________________.(用“”連結)14.已知函數(shù)的圖象恒過定點，則定點的坐標為______.15.若函數(shù)f（x）=的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是：_____________.16.對任意正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．17.已知函數(shù)是定義域為奇函數(shù)，且當時，，若函數(shù)有六個零點，分別記為，則的取值范圍是______________.18.若函數(shù)滿足對于定義域內的任意一個自變量，都有，則稱在上封閉．若定義域，則函數(shù)①；②；③；④，其中在D上封閉的是_______．（填序號）三?解答題（共6個解答題，滿分78分）19.已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調性的定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）解不等式.20.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）函數(shù)的解析式；（2）若，求x范圍；（3）求函數(shù)的值域.21.設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為，面的上下各空白，左右各留空白，怎樣設計畫面的高與寬，才能使宣傳畫所用紙張的面積最小，最小面積是多少？22.己知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若函數(shù)，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，解不等式．23.已知函數(shù).（1）設，當時，求函數(shù)的定義域，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上單調遞減，且最小值為1？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.24.若函數(shù)f(x)滿足：對于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，則稱函數(shù)f(x)為“T函數(shù)”．(I)試判斷函數(shù)f1(x)=x2與f2(x)=lg(x+1)否是“T函數(shù)”，并說明理由；(Ⅱ)設f(x)為“T函數(shù)”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求證：f(x0)=x0；(Ⅲ)試寫出一個“T函數(shù)”f(x)，滿足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的個數(shù)最少．（只需寫出結論）

參考答案一?選擇題（共10個題，每題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．）1.【答案】C【解析】【分析】求得兩集合，再利用交集運算得解【詳解】故選：C【點睛】利用指數(shù)單調性求得集合,交集運算口訣“越交越少、公共部分”2.【答案】D【解析】【詳解】選項中，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；選項中，函數(shù)是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故錯誤；選項中，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；選項中，函數(shù)偶函數(shù)，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，故正確．綜上選．3.【答案】C【解析】【分析】利用解析式直接計算即可.【詳解】由題意，，∴.故選：C.4.【答案】A【解析】【分析】①當0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax為減函數(shù)，二次函數(shù)開口向下，且其對稱軸為x＝，故排除C與D；②當a＞1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax為增函數(shù)，二次函數(shù)開口向上，且其對稱軸為x＝，故B錯誤.【詳解】解：由對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）與二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x可知，①當0＜a＜1時，此時a﹣1＜0，對數(shù)函數(shù)y＝logax為減函數(shù)，而二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x開口向下，且其對稱軸x＝，故排除C與D；②當a＞1時，此時a﹣1＞0，對數(shù)函數(shù)y＝logax為增函數(shù)，而二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x開口向上，且其對稱軸為x＝，故B錯誤，而A符合題意．故選：A．5.【答案】C【解析】【詳解】因為，，所以由根的存在性定理可知：選C.考點：本小題主要考查函數(shù)的零點知識，正確理解零點定義及根的存在性定理是解答好本類題目的關鍵.6.【答案】A【解析】【分析】，或．化簡即可判斷出結論．【詳解】解：由當時，得，推出，當時，得，推出，則是的充分條件，但當時不一定能推出（比如：，，這時無意義）則是的不必要條件，故選：A.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調性、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．7.【答案】B【解析】【分析】構造新函數(shù)，證明它是奇函數(shù)，然后利用奇函數(shù)的性質求值．【詳解】設，則，∴，是奇函數(shù)，又，，∴，．故選：B．8.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)，f(x)在R上是增函數(shù)，則每一段都為增函數(shù)，且左側的函數(shù)值不大于右側的函數(shù)值求解.【詳解】因為函數(shù)，f(x)在R上是增函數(shù)，所以，解得，故選：B9.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的對稱性可求出函數(shù)關于軸對稱，再由單調性將轉化成不等式求解即可.【詳解】解：因為的圖像關于直線對稱，所以圖像關于軸對稱，則有，又在上單調遞增，所以由可得，解得，故選：D.10.【答案】C【解析】【分析】由題意得，化簡得，兩邊同時取常用對數(shù)得，利用對數(shù)的運算性質可得選項.【詳解】由題意得，化簡得，兩邊同時取常用對數(shù)得，因為，所以，則至少通過11塊玻璃.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題（共8題，每題4分，共32分）11.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)，分和時，令即可求解.【詳解】當時，由解得，當時，由解得，所以函數(shù)的零點個數(shù)是2個故答案為：2.12.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)表達式,列出不等式組即可解得其定義域.【詳解】因為函數(shù),所以解得且，即函數(shù)的定義域為.故答案為：.13.【答案】【解析】【分析】利用特殊值即可比較大小.【詳解】解：，，，故.故答案為：.14.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象恒過，利用平移變換即可求解.【詳解】因為恒過點，將圖象向左平移個單位，再向下平移個單位，即可得的圖象，則點平移后得到點，所以恒過點，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是熟記指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點，平移變換左加右減，上加下減即可求出平移后的定點.15.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，有在R上恒成立，則，即可得解.【詳解】若函數(shù)f（x）=的定義域為R，則在R上恒成立，則，解得：，故答案為：.16.【答案】【解析】【分析】采用常數(shù)分離法轉化為恒成立，只需求的最小值即可.【詳解】對任意正實數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，因為，當且僅當即時取“＝”.所以故答案為：17.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)再定義域內是基函數(shù),由圖象可知若函數(shù)有六個零點，,根據(jù)二次函數(shù)可知，，，即,最后整理可得,結合即可求出取值范圍.【詳解】解:因為函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)解析式作出函數(shù)在上的圖象如圖：由圖可知，，且，即，所以是，因為，故，即，故，根據(jù)對勾函數(shù)在上單調減，在上單調增，故而在上單調減，則，故答案為：.【點睛】1.確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法：①利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點．需要注意的是，滿足條件的零點可能不惟一；不滿足條件時也可能有零點．②數(shù)形結合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．2.函數(shù)圖象應用廣泛，是研究函數(shù)性質不可或缺的工具．數(shù)形結合應以快、準為前提，充分利用“數(shù)”的嚴謹和“形”的直觀，互為補充，互相滲透，以開闊解題思路，提升解題效率．18.【答案】②③④【解析】【分析】求出各函數(shù)的值域可判斷，得出結論．詳解】時，；；；．②③④滿足題意．故答案為：②③④三?解答題（共6個解答題，滿分78分）19.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調性的定義證明即可；（2）根據(jù)在區(qū)間上單調遞增，得到，即可解出的集合.【詳解】解：（1）設任意的且，則，且，，，即，即，即對任意的，當時，都有，在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）由（1）知：在區(qū)間上是增函數(shù)；又，，即，即，解得：，即的解集為：.【點睛】方法點睛：定義法判定函數(shù)在區(qū)間上的單調性的一般步驟：1.取值：任取，，規(guī)定，2.作差：計算，3.定號：確定的正負，4.得出結論：根據(jù)同增異減得出結論.20.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先利用奇函數(shù)性質知，求出參數(shù)，再驗證此時確實是奇函數(shù)；（2）直接代入函數(shù)解不等式得，再利用指數(shù)函數(shù)性質解不等式即可.（3）對函數(shù)分離常數(shù)，再利用，逐步計算的范圍，即得值域.【詳解】解：（1）易見，的定義域為R，故在原點處有定義，又由是奇函數(shù)知，，即，故，此時，，對，有，故是奇函數(shù).故函數(shù)的解析式為；（2）由，得，解得，又，故，x的范圍為；（3），因為，，則，即，，故，所以函數(shù)的值域為.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)奇偶性求參數(shù)常見方法：（1）直接利用定義使（或）恒成立，系數(shù)對應相等解得參數(shù)即可；（2）利用特殊值代入（或）計算參數(shù)，再將參數(shù)代入驗證函數(shù)是奇（或偶）函數(shù)即可.21.【答案】畫面的高為，寬為時可使宣傳畫所用紙張的面積最小，最小面積是.【解析】【分析】設畫面的高為厘米，寬為厘米，根據(jù)題干條件得到，然后列出紙張的面積的表達式，再利用換元轉化成只含一個未知量的表達式，利用基本不等式即可求解.【詳解】設畫面的高為厘米，寬為厘米，因為畫面面積為，所以，所以，紙張的面積的表達式，所以，當且僅當，即，且時等號成立，所以畫面的高為，寬為時可使宣傳畫所用紙張的面積最小，最小面積是22【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先將不等式化簡為，再令，通過換元轉化成一元二次不等式即可求解.（2）先結合題干條件利用方程組法求出函數(shù)的解析式，并判斷其單調性，然后將不等式利用函數(shù)的奇偶性轉化為，再利用函數(shù)的單調性解不等式即可.【小問1詳解】因為，所以，所以可化為，即，令，可化為，即，解得，所以，解得，所以不等式的解集為.【小問2詳解】因為為奇函數(shù)，所以，為偶函數(shù)，所以，又因為，所以，即，解得，對于，且，有，又因為，所以，，所以，即，所以為增函數(shù).又因為不等式可化為，且為奇函數(shù)，，所以，因為為增函數(shù)，所以，即，解得，所以不等式的解集為.23.【答案】（1）見解析（2）不存在【解析】【分析】（1）先求得的表達式，根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零列不等式組，解不等式組求得的定義域.利用證得為奇函數(shù).（2）利用復合函數(shù)單調性同增異減求得的取值范圍，根據(jù)在區(qū)間上的最小值列式，由此判斷出不存在滿足要求的實數(shù).【詳解】（1）時，依題意，所以，解得.所以的定義域為.定義域關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù).（2）不存在假設存在實數(shù)滿足條件，記，因，則在上單調遞增，使函數(shù)在上單調遞減，則，由函數(shù)在上最小值為1，則有，不等式組無解，故不存在實數(shù)滿足題意.【點睛】本小題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查函數(shù)單調性的證明，考查根據(jù)函數(shù)的單調性和最值求