14.2三角形全等的判定（三階）-人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)進(jìn)階測試一、選擇題1．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，AD，CE交于點(diǎn)F．則下列說法正確的有（）①∠AFC=120°；②△AEF≌△CDF；③若AB=2AE，則CE⊥AB；④CD+AE=AC．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接CD，BD，點(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn)．若∠ACD=∠BAE，則∠DAE的度數(shù)為（）A．180°?α B．α?90° C．α2 D．3．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖1，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：AB+CD=AD．小明是這樣想的：要證明AB+CD=AD，只需要在AD上找到一點(diǎn)F，再試圖說明AF=AB，DF=CD即可．如圖2，經(jīng)過思考，小明給出了以下3種輔助線的添加方式．①過點(diǎn)E作EF⊥AD交AD于點(diǎn)F；②作EF=EC，交AD于點(diǎn)F；③在AD上取一點(diǎn)F，使得DF=DC，連接EF；上述3種輔助線的添加方式，可以證明“AB+CD=AD”的有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．已知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝10，AC＝6，則AD的取值范圍是（）A．4＜AD＜16 B．2＜AD＜8 C．4＜AD＜10 D．8≤AD≤165．如圖所示，在△ABC中，AB＝8，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，作MF∥AD交AC于F，已知CF＝10，則AC的長為（）A．12 B．11 C．10 D．96．如圖，AD//BC，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，BC=AD+2，CD=7，則BC2A．14 B．9 C．8 D．57．如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連結(jié)PQ交AC邊于D，則DE的長為（）A．12 B．13 C．238．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，CD＝4，則線段DF的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題9．在△ABC中，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，CE交AD于F，EM平分∠BEC交AD延長線于M，連接BM，CM．若∠DFC+∠ABM=180°，5BE=2AE，S△AEF=5，則S10．如圖所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于點(diǎn)E，AD=13cm，AB=7cm，那么DE的長度為cm11．如圖，CA⊥BC，垂足為C，AC=2cm，BC=6cm，射線BM⊥BQ，垂足為B，動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度沿射線CQ運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，滿足PN=AB，隨著P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，△BCA與點(diǎn)P、N、B為頂點(diǎn)的三角形全等（時(shí)間不等于0）．12．在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是.13．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°．E為AB中點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F，AC=6，BC=5．則四邊形FBCD周長的最小值是．14．如圖，在四邊形ABCD中：AB=AD，∠BAD=140°，AB⊥CB于點(diǎn)B，AD⊥CD于點(diǎn)D，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=70°，下列說法：①DF=BE．②△ADF≌△ABE．③FA平分∠DFE；④AE平分∠FAB；⑤BE+DF=EF；⑥CF+CE>FD+EB．其中正確的是：（填寫正確的序號(hào)）三、解答題15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，若過點(diǎn)C在△ABC內(nèi)作直線MN，AM⊥MN于點(diǎn)M，BN⊥MN于點(diǎn)N，則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．16．如圖1，CA⊥AB于點(diǎn)A,（1）如圖1，若∠CPQ=90（2）如圖2，"CA⊥AB,DB⊥AB"改為"∠A=∠B=α(α為銳角)".若∠CPQ=α，

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：①在△ABC中，∠ABC=60°，∴∠ACB+∠CAB=120°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠FCA=1∴∠AFC=180°?(∠FCA+∠FAC)=180°?1故①正確，符合題意；②若△AEF≌△CDF，∴AF=CF，∴∠CAF=∠ACF，∴∠ACB=∠CAB，而由已知條件無法證明∠CAF=∠ACF，故②錯(cuò)誤，不符合題意；③如圖，延長CE至G，使GE=CE，連接BG，∵AB=2AE，∴AE=BE，在△ACE和△BGE中，AE=BE∠AEC=∠BEG∴△ACE≌△BGE(SAS)，∴∠ACE=∠G，∵CE為角平分線，∴∠ACE=∠BCE，∴∠BCE=∠G，∴BC=BG，∵CE=GE，∴CE⊥AB，故③正確，符合題意；④如圖，作∠AFC的平分線交AC于點(diǎn)G，由①得∠AFC=120°，∴∠AFG=∠CFG=12∠AFC=60°∴∠AFG=∠CFG=∠AFE=∠CFD=60°，∵∠EAF=∠GAF，∠DCF=∠GCF，∴△AEF≌△AGF(ASA)，△CDF≌△CGF(ASA)，∴AE=AG，CD=CG，∴CD+AE=CG+AG=AC，故④正確，符合題意；故答案為：C．

【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠ACB+∠CAB=120°，再根據(jù)角平分線的定義求得12（∠ACB+∠CAB）=60°，進(jìn)一步根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠AFC=120°；即可得出①正確；假定△AEF≌△CDF，即可得出∠ACB=∠CAB，根據(jù)條件無法證明∠ACB=∠CAB，故②不正確；如圖，延長CE至G，使GE=CE，連接BG，可根據(jù)SAS證明△ACE≌△BGE，從而得出∠ACE=∠G，進(jìn)一步得出∠BCE=∠G，從而得出△BCG是等腰三角形，再根據(jù)EG=EC，即可得出CE⊥AB，故而得出③正確；如圖，作∠AFC的平分線交AC于點(diǎn)G，可證明△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，從而得出AE=AG，CD=CG，進(jìn)而得出CD+AE=CG+AG=AC，故而得出④2．【答案】C【解析】【解答】解：如下圖，延長AE至F，使得FE=AE，∵點(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn)，∴BE=DE，在△BEF和△DEA中，BE=DE∠BEF=∠DEA∴△BEF≌△DEA(SAS)，∴BF=DA，∠F=∠DAE，在AF上取一點(diǎn)G，使得AG=CD，在△ABG和△CAD中，AB=CA∠BAE=∠ACD∴△ABG≌△CAD(SAS)，∴∠ABG=∠CAD，BG=AD，∴BF=BG，∴∠F=∠BGF=∠DAE，設(shè)∠BAE=∠ACD=x，∠DAE=∠F=∠BGF=y，∵∠BAC=α，∴∠DAE=∠BAC?∠BAE?∠CAD，即y=α?x?∠CAD，∵∠ABG=∠BGF?∠BAE，即∠ABG=y?x，又∵∠ABG=∠CAD，∴∠CAD=∠ABG=y?x，∴y=α?x?(y?x)=α?y，∴y=α2，即故答案為：C【分析】延長AE至F，使得FE=AE，根據(jù)全等三角形判定定理可得△BEF≌△DEA，則BF=DA，∠F=∠DAE；在AF上取一點(diǎn)G，使得AG=CD，根據(jù)全等三角形判定定理可得△ABG≌△CAD，則∠ABG=∠CAD，BG=AD，進(jìn)而可得BF=BG，則∠F=∠BGF=∠DAE，設(shè)∠BAE=∠ACD=x，∠DAE=∠F=∠BGF=y，結(jié)合∠DAE=∠BAC?∠BAE?∠CAD以及∠ABG=∠BGF?∠BAE，可得y=α?x?(y?x)=α?y，化簡即可求出答案．3．【答案】B【解析】【解答】解：①如圖1，過作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，可得∠DFE=90°，則∠DFE=∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠FDE=∠CDE，在ΔDCE和ΔDFE中，∠C=∠DFE∠CDE=∠FDE∴ΔDEF?ΔDCE(AAS)；∴CE=EF，DC=DF，∠CED=∠FED，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=EB，∴EF=EB，在RtΔABE和RtΔAFE中，BE=FEAE=AE∴RtΔAFE?RtΔABE(HL)；∴AF=AB，∴AD=AF+DF=AB+CD．②如圖2，作EF=EC，交AD于點(diǎn)F；∵EF=EC，DE=DE，∠FDE=∠CDE，∴根據(jù)SSA不能證明ΔDEF?ΔDCE，∴這種輔助線的添加方式不能證明結(jié)論AD=AB+CD．③如圖3，在AD上取一點(diǎn)F，使得DF=DC，連接EF，在ΔDCE和ΔDFE中，DC=DF∠CDE=∠FDE∴ΔDEF?ΔDCE(SAS)；∴CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=EB，∴EF=EB，在RtΔABE和RtΔAFE中，BE=FEAE=AE∴RtΔAFE?RtΔABE(HL)；∴AF=AB，∴AD=AF+DF=AB+CD．故答案為：B．【分析】先利用“AAS”證出△DEF≌△DCE，再利用全等三角形的性質(zhì)可得CE=EF，DC=DF，∠CED=∠FED，再利用“HL”證出Rt△AFE≌Rt△ABE，可得AF=AB，再在AD上取一點(diǎn)F，使得DF=DC，連接EF，利用“SAS”證明△DEF≌△DCE，可得CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°，再逐項(xiàng)分析判斷即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：如下圖所示：延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，因?yàn)锳D是△ABC中BC邊上的中線，所以BD=CD，在?ADB和?CDE中AD=DE∠ADB=∠CDEBD=CD，則?ADB≌?CDESAS，則AB=CE=10，在?ACE中CE?AC<AE<AC+CE，即4<AE<16，又AE=2AD，故2<AD<8.

【分析】本題主要考查了倍長中線法、三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系.

延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，結(jié)合已知條件可證得?ADB≌?CDE，得到AB=CE=10，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到：5．【答案】A【解析】【解答】解：延長FM到點(diǎn)N使MN=FM，連接BN，延長MF交BA的延長線于點(diǎn)E，如圖，

∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴BM=CM，

∵∠BMN=∠CMF，MN=FM，

∴△BMN≌△CMF（SAS），

∴∠MFC=∠N，BN=CF=10，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵M(jìn)F∥AD，

∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE，

∴∠E=∠AFE，

∴△AEF為等腰三角形，

∴AE=AF，

∵∠MFC=∠AFE，

∴∠N=∠E，

∴△BEN為等腰三角形，

∴BN=BE，

∵BN=10，BE=AB+AE=AB+AF，AB=8，

∴AF=2，

∴AC=AF+FC=12.

故答案為：A.

【分析】依據(jù)SAS判定△BMN≌△CMF推出∠MFC=∠N，BN=CF=10，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得△AEF和△BEN為等腰三角形，從而得到AF=AE=CF-AB，即可求得.6．【答案】A【解析】【解答】延長DE，CB交于點(diǎn)F∵AD//BC∴∠DAE=∠FBE∵點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，∴AE=BE在△ADE和△BFE中，∠DAE=∠FBE∴△ADE?△BFE(ASA)∴∠ADE=∠BFE，AD=BF∵DE平分∠ADC∴∠ADE=CDE∴∠BFE=CDE∴CD=CF∴BC+BF=BC+AD=7∵BC=AD+2解得BC=∴B故答案為：A．【分析】延長DE，CB交于點(diǎn)F，通過ASA證明△ADE?△BFE，則有∠ADE=∠BFE，AD=BF，然后利用角平分線的定義得出∠BFE=CDE，從而有CD=CF，則通過BC+AD=7和BC=AD+2解出BC，AD的值，從而答案可解．7．【答案】A【解析】【解答】過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．∵在△PFD和△QCD中，∠PFD＝∠QCD∠PDF＝∠QDC∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=12∵AC=1，∴DE=12答案為：A．【分析】由PA=CQ，可過P作PF∥BC交AC于F．構(gòu)造X型全等，即△PFD≌△QCD，得出FD=CD，進(jìn)而得出AE+CD=DE=128．【答案】B【解析】【解答】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC，∴AD=BD，在△ADC和△BDF中∠CAD=∠DBFAD=BD∴△ADC≌△BDF，∴DF=CD=4，故答案為：B【分析】根據(jù)等角的余角相等由∠AFE=∠BFD，∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，得出∠EAF=∠FBD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAD=45°=∠ABC，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AD=BD，然后利用ASA判斷出△ADC≌△BDF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論DF=CD=4。9．【答案】2510．【答案】3【解析】【解答】證明：如圖，過C作CF⊥AB的延長線于點(diǎn)F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴∠BFC=∠CED=90°，在△AFC和△AEC中，∠FAC=∠EAC∠CFA=∠CEBAC=AC，

∴△AFC≌△AEC（AAS），∴∵∠ABC+∠D=180°，∴∠FBC=∠EDC，∴△FBC≌△EDCAAS，∴BF=ED∴AB+AD=AE+ED+AF?BF=2AE，∵AD=13cm，AB=7cm，∴13+7=2AE，∴AE=10cm，∴DE=AD?AE=13?10=3cm．故答案為：3.【分析】過C作CF⊥AB，證得△AFC≌△AEC，得到CF=CE，再由∠ABC+∠D=180°，根據(jù)全等的性質(zhì)，得到BF=ED，進(jìn)而得到答案.11．【答案】4或8或12【解析】【解答】解：①當(dāng)P在線段BC上，AC=BN=2時(shí)，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，

∴△ACB≌△NBPHL，

則BC=PB=6cm，

∴CP=0cm，

即時(shí)間為0秒，不合題意舍去；

②當(dāng)P在線段BC上，AC=BP=2時(shí)，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，

∴△ACB≌△PBNHL，

∴CP=BC?PB=6?2=4cm，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為③當(dāng)P在射線BQ上，AC=BP=2時(shí)，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，

???????∴△ACB≌△PBN，∴CP=BC+BP=6+2=8cm，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8÷1=8秒；④當(dāng)P在射線BQ上，AC=NB=2時(shí)，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，

???????∴△ACB≌△NBP，則BP=CB=6cm，∴CP=CB+BP=6+6=12cm，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12÷1=12秒；綜上，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)4或8或12秒時(shí)，△BCA與點(diǎn)P、N、B為頂點(diǎn)的三角形全等，故答案為：4或8或12．

【分析】本題分兩種情況：①當(dāng)P在線段BC上，②當(dāng)P在射線BO上，再分別分AC=BP=2和AC=BN=2兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)全等三角形邊的性質(zhì)計(jì)算出PB的長，繼而可得CP的長.12．【答案】9＜AB＜19【解析】【解答】解：延長AD到E，使DE=AD，連接BE.在△ADC和△EDB中，∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∵AC=5，AD=7，∴BE=5，AE=14.在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，∴AB邊的取值范圍是：9＜AB＜19.故答案為9＜AB＜19.

【分析】延長AD到E，使DE=AD，連接BE，利用SAS證明△ADC≌△EDB，則可得出AC=BE，由于AE和BE的長已知，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系即可求出AB的范圍.13．【答案】16【解析】【解答】解：∵BF∥AC，

∴∠EBF＝∠EAD，

在△BFE和△ADE中，

∠EBF=∠EADBE=AE∠BE