2025年大學《物理學》專業(yè)題庫——磁場分布與電場分布的關(guān)系研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡要回答下列問題：（1）法拉第電磁感應定律的內(nèi)容是什么？其微分形式與積分形式有何聯(lián)系？（2）感生電場與靜電場有何本質(zhì)區(qū)別？其產(chǎn)生機制是什么？（3）位移電流的物理意義是什么？它為什么是必要的？（4）為什么說安培定律在時變條件下需要修正？修正項的物理意義是什么？二、一個邊長分別為L和2L的矩形導線框，總電阻為R。該線框以恒定速度v平行于長邊進入一個寬度為L，磁感應強度為B的均勻磁場區(qū)域。求線框進入磁場過程中感應電流的大小和方向。三、一個半徑為R的無限長直導線通有隨時間變化的總電流I(t)，電流方向沿z軸正方向。求距離導線垂直距離為r（r>R）處的位移電流密度大小。四、一個半徑為R的圓形平行板電容器，極板間真空，充電過程中電場隨時間的變化率為dE/dt。求：（1）電容器極板邊緣（r=R）處的位移電流密度大小。（2）在極板之間，半徑為r（r<R）處的總電流密度大小。五、一個邊長為L的正方形導線回路，置于磁感應強度為B的均勻磁場中，磁場方向垂直于回路平面向里。若磁場以dB/dt的速率均勻增加，求回路中的感應電動勢。六、一個無限長直螺線管，單位長度匝數(shù)為n，通有變化的電流I(t)。求：（1）螺線管內(nèi)部（r<R，R為螺線管半徑）距軸線r處的磁感應強度B(r)。（2）螺線管內(nèi)部距軸線r處的位移電流密度j_d的大小。（3）螺線管外部（r>R）任意處的磁感應強度B(r)。七、一個半徑為R的金屬球，初始時帶有電荷Q，然后通過一個電阻為R的導線緩慢放電。求：（1）球表面電荷隨時間變化的規(guī)律Q(t)。（2）球表面附近（距離球心r≈R）的感生電場E(r,t)的表達式。（3）導線中的電流I(t)的表達式。八、一個長為l，寬為w的矩形導線框，電阻為R，以角速度ω繞垂直于矩形平面的軸勻速轉(zhuǎn)動，軸位于矩形中心，矩形平面始終位于磁感應強度為B的均勻磁場中，且磁場方向與轉(zhuǎn)軸平行。求線框轉(zhuǎn)動過程中產(chǎn)生的感應電動勢的最大值。試卷答案一、（1）法拉第電磁感應定律指出，閉合回路中感應電動勢的大小等于穿過該回路磁通量變化率的負值，即ε=-dΦ_B/dt。其微分形式為?×E=-?B/?t，它描述了渦旋電場與磁通量變化率的關(guān)系，是積分形式的基礎。（2）感生電場是無源場（?·E=0），其電場線是閉合曲線（?×E≠0），由變化的磁場產(chǎn)生（?×E=-?B/?t）。靜電場是有源場（?·E=ρ/ε?），其電場線起于正電荷，終于負電荷，是保守場（?×E=0）。（3）位移電流是由變化的電場產(chǎn)生的，其實質(zhì)是電容器極板間電位移矢量通量隨時間的變化率（j_d=?D/?t）。它對于在非導體介質(zhì)中以及真空中維持安培環(huán)路定律的閉合性是必要的。（4）穩(wěn)恒電流的安培環(huán)路定律∮B·dl=μ?I_enc只適用于穩(wěn)恒條件。對于時變電場，變化的電場會產(chǎn)生位移電流，進而產(chǎn)生磁場，使得安培環(huán)路定律不再成立。位移電流項μ?ε?dΦ_E/dt的引入，修正了安培定律，使其適用于時變電磁場，保證了磁場方程的對稱性。二、進入磁場過程，只有長邊2L切割磁感線產(chǎn)生動生電動勢。設感應電動勢為ε。ε=B·L·v=B·L·v（方向：逆時針）感應電流大小I=ε/R=B·L·v/R。方向為逆時針。三、無限長直導線電流變化，在其周圍產(chǎn)生時變的磁場。根據(jù)安培-麥克斯韋定律：∮B·dl=μ?(I_enc+j_d·A_enc)取以導線為中心，半徑為r的圓形安培環(huán)路（r>R），環(huán)路方向與電流方向成右手螺旋關(guān)系?！覤·dl=B·(2πr)=μ?I(t)+μ?j_d·(πr2)由于對稱性，位移電流密度j_d在環(huán)路上處處相等。j_d=(μ?I(t)+B·2πr)/(μ?πr2)=I(t)/(πr2)+2B/rr>R處位移電流密度為j_d=I(t)/(πr2)+2B/r。（注意：題目要求r>R，此答案已調(diào)整，原答案基于r<R的推導，此處按r>R重新審視，位移電流主要貢獻來自變化電場，安培定律直接給出總電流，需更清晰界定。修正：考慮位移電流是變化電場所致，而總電流變化產(chǎn)生磁場，更準確的位移電流密度應源于電容器充電等過程。按題意求r>R處的位移電流密度，應理解為與該點磁場變化率相關(guān)的部分。設位移電流密度為j_d，則由安培定律：B·2πr=μ?I(t)+μ?j_d·πr2。j_d=(2B/r-I(t)/r2)·(r2/πr)=2B/πr-I(t)/(πr2)。此為r>R處的位移電流密度表達式。）（更正思路：位移電流密度j_d=?D/?t。對于長直導線，假設周圍存在變化電場D(t)，則j_d=?D/?t。題目未直接給出電場信息，但可從總電流變化推斷。位移電流是變化電場所致。）四、（1）取半徑為r（r<R）的圓形環(huán)路，中心在導線軸上，環(huán)路方向順時針。根據(jù)安培-麥克斯韋定律：∮B·dl=μ?(I_enc+j_d·A_enc)∮B·dl=B·(2πr)I_enc=0（r<R，導線電流未包含在內(nèi)）A_enc=πr2j_d=?D/?t。對于平板電容器，極板間電位移矢量D=εE。j_d=ε·(dE/dt)代入安培定律：B·(2πr)=μ?·ε·(dE/dt)·πr2B=(μ?ε·r·dE/dt)/(2)極板邊緣（r=R）處的位移電流密度大小j_d(R)=ε·(dE/dt)。（2）在極板之間，半徑為r（r<R）處的總電流密度大小即為位移電流密度，因為極板間無傳導電流。j(r)=j_d=ε·(dE/dt)。五、設感應電動勢為ε。ε=-dΦ_B/dtε=-d(B·S)/dt=-d(B·πR2)/dt（磁場垂直于回路平面）ε=-πR2·(dB/dt)。感應電動勢大小為πR2·(dB/dt)。六、（1）取以螺線管軸線為圓心，半徑為r的圓形安培環(huán)路（r<R），環(huán)路方向與電流方向成右手螺旋關(guān)系。根據(jù)安培-麥克斯韋定律：∮B·dl=μ?(I_enc+j_d·A_enc)B·(2πr)=μ?·n·I(t)+μ?·j_d·(πr2)位移電流密度j_d=?D/?t。對于螺線管內(nèi)部電場，通常認為E=0（理想導體內(nèi)或遠離端點的區(qū)域），因此D=εE=0，j_d=0。B·(2πr)=μ?·n·I(t)B(r)=μ?·n·I(t)/(2πr)（僅適用于r<R，且內(nèi)部無位移電流項）（2）螺線管內(nèi)部（r<R）距軸線r處的位移電流密度j_d的大小為0。（基于理想螺線管內(nèi)部電場為零的假設）（3）取以螺線管軸線為圓心，半徑為r（r>R）的圓形安培環(huán)路，環(huán)路方向與電流方向成右手螺旋關(guān)系。根據(jù)安培-麥克斯韋定律：∮B·dl=μ?(I_enc+j_d·A_enc)B·(2πr)=μ?·n·I(t)+μ?·j_d·(πr2)考慮遠場區(qū)域，理想螺線管產(chǎn)生的磁場通常認為是軸對稱的，且隨距離衰減?？傠娏鱅_enc=n·I(t)發(fā)生變化，其產(chǎn)生的位移電流項j_d=?D/?t也隨距離變化。由對稱性，j_d在環(huán)路上處處相等。j_d=(μ?nI(t)/(2πr))/(πr2)=μ?nI(t)/(2πr3)B(r)=μ?nI(t)/(2πr)*(1/r2)=μ?nI(t)/(2πr3)（修正：需重新審視安培定律應用。更準確的處理是考慮總電流變化率。位移電流密度j_d=?D/?t=ε?·?E/?t。螺線管內(nèi)部電場E=0，外部電場通常也認為很小或忽略。因此，外部磁場主要由總電流變化率產(chǎn)生。安培定律為：B·(2πr)=μ?·dI(t)/dt。B(r)=μ?·dI(t)/dt/(2πr)）（再修正：外部磁場更準確的來源是位移電流?？紤]螺線管外部，總電流I_enc=0。安培定律為：B·(2πr)=μ?·j_d·(πr2)。j_d=?D/?t。理想螺線管外部電場通常認為近似于變化電流產(chǎn)生的位移電流場。j_d=ε?·(dE/dt)。如何關(guān)聯(lián)？外部E場與內(nèi)部變化關(guān)系復雜。更簡潔地，利用全電流：B·(2πr)=μ?·I(t)+μ?·∫_all_spacej_d·dA。對于遠場，位移電流項主導。j_d與變化率相關(guān)。更簡單的理解，外部磁場由總電流變化率產(chǎn)生位移電流，該位移電流產(chǎn)生外部磁場。外部磁場B(r)=μ?/(4π)·(dI(t)/dt)·(2πr)/r2=μ?dI(t)/dt/(2r)。這個形式與內(nèi)部磁場形式不同，表明外部場與內(nèi)部場來源不同。標準結(jié)果：B(r)=(μ?n/(2r2))·(r2·dI(t)/dt)=(μ?nI(t)/r2)·(dI(t)/dt)。但這是基于位移電流產(chǎn)生磁場。安培定律形式∮Bdl=μ?I_enc+μ?ε?dΦ_E/dt。外部I_enc=0。外部場主要源于位移電流。標準結(jié)果應為B(r)∝I(t)/r2*(dI(t)/dt)。）七、（1）球通過電阻R緩慢放電，等效于RC電路放電過程。Q(t)=Q?*e^(-t/RC)（Q?為初始電荷）（2）球表面電荷Q(t)變化，產(chǎn)生時變的電場。根據(jù)法拉第電磁感應定律（取球表面為閉合回路）：ε=-dΦ_E/dt取半徑為r的同心球面為高斯面，r≈R。ε=-A_E·(dE/R)/dt（假設電場E沿徑向，且在球面上近似均勻）ε=-4πR2·(dE/dt)/dt球表面附近（r≈R）的感生電場大小E(R,t)=-ε/(4πR2)=-Q?·(d/dt(e^(-t/RC)))/(4πR2)=-Q?·(-1/RC)·e^(-t/RC)/(4πR2)=(Q?/(4πR2RC))·e^(-t/RC)。方向：沿球面切線方向，形成閉合回路。（方向隨時間變化，由楞次定律判斷，總是阻礙Q變化）（3）導線中的電流即為球上的電荷變化率。I(t)=-dQ(t)/dt=-d(Q?e^(-t/RC))/dt=Q?/(RC)·e^(-t/RC)。方向：與Q?變化方向相反。八、設線框轉(zhuǎn)動角速度為ω，t時刻法向速度為v=ωr，r為距轉(zhuǎn)軸距離。線框切割磁感線產(chǎn)生動生電動勢。考慮線框轉(zhuǎn)動，不同位置切割速度不同。取線框平面與磁場方向夾角為θ(t)=ωt。線框轉(zhuǎn)動過程中，產(chǎn)生動生電動勢。感應電動勢ε隨時間變化。ε(t)=∫?^w∫?^l(v⊥×B)·dl'=∫?^w∫?^l(vsinθ×B)·dl'v=ωrsinθ，r是距轉(zhuǎn)軸距離，dl'是線元。取轉(zhuǎn)軸為原點，沿寬邊方向為y軸，沿長邊方向為x軸，磁場B沿z軸。v=ω(-rsinθi+rcosθj)v⊥=ω(-rsinθi+rcosθj)×k=ωrcosθj-ωrsinθiv⊥×B=(ωrcosθj-ωrsinθi)×Bk=ωrBcosθi+ωrBsinθjε(t)=∫?^l∫?^w(ωrBcosθi+ωrBsinθj)·(dx'i+dy'j)ε(t)=∫?^l∫?^w(ωrBcosθdx'+ωrBsinθdy')θ=ωt，r=√(x'^2+y'^2)ε(t)=ωB∫?^l∫?^wr(cosθdx'+sinθdy')ε(t)=ωB∫?^l∫?^w√(x'^2+y'^2)(cos(ωt)dx'+sin(ωt)dy')利用對稱性，計算y方向積分：∫?^wsin(ωt)dy'=wsin(ωt)計算x方向積分：∫?^l√(x'^2+y'^2)cos(ωt)dx'（令x'=rcosφ）=∫_φ1^φ2rcosφcos(ωt)rd(cosφ)（φ1,φ2對應x'=0和x'=l）=∫_φ1^φ2r2cos2φcos(ωt)d(cosφ)=(1/3)r3|_φ1^φ2cos2φcos(ωt)=(1/3)[l3cos2(φ2)cos(ωt)-0]（φ2對應x=l）（此積分形式復雜，需更簡便方法。考慮最大電動勢情況。）最大感應電動勢發(fā)生在線框運動速度方向與磁場方向垂直變化率最大的時刻，即線框平面與磁場方向垂直時（θ=